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三角函数专题：三角函数中ω取值范围的6种常见考法
一、求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
二、已知函数在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围
第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即，求得.
第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围；
第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.
三、结合图象平移求ω的取值范围
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
四、已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
题型一 结合单调性求ω的取值范围
【例1】已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】函数在区间上是单调函数，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式1-3】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-4】将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，如果对于区间上任意的实数，都有，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 结合图象平移求ω的取值范围
【例2】将函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型三 结合对称性求ω的取值范围
【例3】已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四 结合函数最值求ω的取值范围
【例4】已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知函数，若，且在上有最小值但无最大值，则的值为__________.
【变式4-3】若函数在区间内不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 结合零点或方程的解求ω的取值范围
【例5】若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式5-3】设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】函数在上有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 结合零点、对称轴、单调性综合性问题
【例6】已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知函数在上单调递增，且存在唯一，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．三角函数专题：三角函数中ω取值范围的6种常见考法
一、求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
二、已知函数在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围
第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即，求得.
第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围；
第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.
三、结合图象平移求ω的取值范围
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
四、已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
题型一 结合单调性求ω的取值范围
【例1】已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
∵函数在区间内单调递增，
∴，∴，
∵，∴，
若在区间上单调递增，
则，解得，
当时，，
当时，，
当取其它值时不满足，
∴的取值范围为，故选：D
【变式1-1】已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数
，
由函数f(x)在上单调递减，且，
得，，解，.
又因为ω>0，，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是.故选：B
【变式1-2】函数在区间上是单调函数，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】
由，，得，
又在上递增，
所以，解得，
又在上递减，所以，解得，
综上，所述正数的取值范围为.故选: C.
【变式1-3】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位，
得到函数，
若，则，所以，即，
所以的最大值为1.故选：A.
【变式1-4】将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，如果对于区间上任意的实数，都有，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意
向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
故，如果对于区间上任意的实数，
都有，则函数在区间上单调递增，
而函数的单调递增区间满足：，，
∴函数的单调递增区间是，，
∴，，∴，，
当时，，当且时，无解，∴.故选：B.
题型二 结合图象平移求ω的取值范围
【例2】将函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将向右平移个单位长度可得，
因为过点，所以，解得，
又，所以的最小值是2.故选：B
【变式2-1】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将函数的图像向右平移个单位长度后，
得到函数的图像，
即，与函数的图像重合
即，
故
∴，
所以的最小值为.故选：B.
【变式2-2】已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,的周期为,
将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍，，，
，的最小值等于.故选：B
【变式2-3】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的图像向右平移个单位长度后，
可得与函数的图象重合，
，其中，即，
当时，可得，即的最小值为.故选：B.
题型三 结合对称性求ω的取值范围
【例3】已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
则，函数在内有且仅有三条对称轴，
则：满足，解得，即实数的取值范围是.
【变式3-1】若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，得，，，
因为存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，故选：C．
【变式3-2】已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，
画出函数图象，如图：
故必满足，解得.故选：A
【变式3-3】若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，存在在使得的一个对称中心为，
即存在使得时，，
代入， 则，即，即，
因为，，所以，则，
由不等式性质知时，取到最小值，
又由于无法取到，故，
所以的取值范围为.故选：C.
题型四 结合函数最值求ω的取值范围
【例4】已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，恰好取到一次最大值与一次最小值，
可得，解得.故选：A.
【变式4-1】已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数且，
直线为的图像的一条对称轴，
，.
，.又，且在区间上有最大值，无最小值，
，，
，当时，为最大值.故选：D
【变式4-2】已知函数，若，且在上有最小值但无最大值，则的值为__________.
【答案】
【解析】∵，
∴ ①
又∵在上有最小值无最大值， ②
∴ 即： 又因为 所以.
∴ ， ③
∴结合图象，由②③得：， ④
∴由①④得： 解得： 故答案为：.
【变式4-3】若函数在区间内不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，由，有，
由正弦函数的单调性可知：
当，即时，在上单调递增，
最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
由，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
由，此时最小值不存在，符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
有最小值为，不合题意；
综上可知，时，在区间内不存在最小值.故选：D
题型五 结合零点或方程的解求ω的取值范围
【例5】若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在上恰有两个零点，故
故选：D.
【变式5-1】已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
令可得：.
令，解得：.
∵函数在区间内没有零点，区间内不存在整数.
又，∴.又，
∴或，
∴或，解得或.故选：A
【变式5-2】已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】因为经过点，
所以，因为，所以，
即，令，
因为，所以，
因为在上只有一个零点，
所以有，所以的最大值为，故选：C
【变式5-3】设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知函数、在上为增函数，
所以当时，函数单调递增，
当无限接近0时，，当时，，
所以函数在上存在一点，使得，
即在上有且只有一个零点；
所以当时，函数有4个零点，
令，即Z，解得Z，
由题可得区间内的4个零点分别是，
所以即在之间，
即，解得，故选：A
【变式5-4】函数在上有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】得或
解得或或
即或或
因为，函数在上的七个零点依次为：
由于在上有个零点，所以，解得，
则的取值范围是.故选：B.
题型六 结合零点、对称轴、单调性综合性问题
【例6】已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，所以，
由，得，
因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，
所以，解得，
所以的取值范围为，故选：D
【变式6-1】已知函数在上单调递增，且存在唯一，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，
又函数在，内单调递增，
，
，，，
存在唯一，，使得，
，时，，，
，．故选：．
【变式6-2】已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，为的零点，为图象的对称轴，
，且，
相减可得，
即，，即为奇数．
在单调，，
，故奇数的最大值为．
当时，，
，．
此时在上不单调，不满足题意．
当时，，
，，
此时在上不单调，不满足题意．
当时，，
，，
此时在上单调递减，满足题意；
故的最大值为，故选：D．
【变式6-3】已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.故选：A

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