资源简介

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法
1、形如 (或)型
可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论
2、形如 (或型
（1）先由定义域求得的范围
（2）求得 (或)的范围，最后求得最值
3、形如型
引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如或型，
可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值，
t的范围需要根据定义域来确定．
5、形如型
利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域
6、分式型三角函数值域
（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；
（2）判别式法
题型一 借助辅助角公式求值域
【例1】该函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，又，
所以函数的最大值是2.故选：C.
【变式1-1】已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】根据辅助角公式可得：
，
其中.
由的最大值为2可得,解得.
∴.
∵，∴.
∴当，即时，取得最大值.
故.故选:C.
【变式1-2】已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ,,
，所以，
所以函数的值域为.故选：B
【变式1-3】函数在区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】因为，
所以，
，，，．故选：C．
【变式1-4】己知函数，则的最小值是_________.
【答案】
【解析】由题意可得，
其中，，且．
因为,所以.
所以的最小值是.
题型二 借助二次函数求值域
【例2】求函数的值域.
【答案】
【解析】，，
根据二次函数性质知，当时，；当时，，
故值域为.
【变式2-1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，
设，，则，
由二次函数的图像及性质可知，
所以的值域为，故选：C.
【变式2-2】函数的值域为____________
【答案】
【解析】因为
令，则
所以，所以，故函数的值域为
【变式2-3】函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
令，则．
因为在上单增，所以当时，．故选：C．
题型三 借助换元法求值域
【例3】已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【解析】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.故选：C
【变式3-1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．
【答案】[－1,1]
【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．
【变式3-2】函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【解析】，
令，所以，
则，
所以，
所以原函数可化为，，
对称轴为，所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，
即的最大值为，故选：C
【变式3-3】函数的值域为________．
【答案】
【解析】由于，
令，则，
于是函数化为，
而 ，
所以当时，函数取最大值1，
当时，函数取最小值，故值域为.
题型四 分式型三角函数的值域
【例4】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，
可得，，
，故.故选：B.
【变式4-1】函数的值域为___________.
【答案】
【解析】解：，
因为，所以，所以，所以，
所以的值域是.
【变式4-2】函数的值域为_____________．
【答案】
【解析】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
【变式4-3】当时，函数的最小值是________.
【答案】
【解析】，
当时，，所以，
，即的最小值为.
题型五 含绝对值的三角函数值域
【例5】y＝sin x－|sin x|的值域是（ ）
A．[－1,0] B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,0]
【答案】D
【解析】当 时， ，所以，
当，，
又 ，所以函数的值域为，故选：D.
【变式5-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可，
当时，，其中，,
∴，，
当时，，其中，，
∴，，
∴的值域为.故选：C
【变式5-2】设函数，，则函数的最小值是______．
【答案】0
【解析】∵为偶函数，
∴只需求函数在上的最小值，
此时，
令，则，函数的对称轴为，
∴当时，.
【变式5-3】若不等式在恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵ 不等式在恒成立
∴ ，，∴.
故的取值范围是.三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法
1、形如 (或)型
可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论
2、形如 (或型
（1）先由定义域求得的范围
（2）求得 (或)的范围，最后求得最值
3、形如型
引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如或型，
可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值，
t的范围需要根据定义域来确定．
5、形如型
利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域
6、分式型三角函数值域
（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；
（2）判别式法
题型一 借助辅助角公式求值域
【例1】该函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-1】已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式1-2】已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】函数在区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【变式1-4】己知函数，则的最小值是_________.
题型二 借助二次函数求值域
【例2】求函数的值域.
【变式2-1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】函数的值域为____________
【变式2-3】函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型三 借助换元法求值域
【例3】已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【变式3-1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．
【变式3-2】函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【变式3-3】函数的值域为________．
题型四 分式型三角函数的值域
【例4】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】函数的值域为___________.
【变式4-2】函数的值域为_____________．
【变式4-3】当时，函数的最小值是________.
题型五 含绝对值的三角函数值域
【例5】y＝sin x－|sin x|的值域是（ ）
A．[－1,0] B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,0]
【变式5-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】设函数，，则函数的最小值是______．
【变式5-3】若不等式在恒成立，则的取值范围是______.

展开更多......

收起↑