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集合专题：集合中常见的五种参数问题
一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
由集合间关系求解参数的三部曲
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集;[来源.K]
第二步：看集合中是否含有参数，若，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[
三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来
方法二：（1）化简所给集合；
（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；
（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
（2）千万不要忘记考虑空集。
题型一 根据元素与集合的关系求参数
【例1】已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
【答案】
【解析】因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
【变式1-1】已知，则实数______．
【答案】，或
【解析】因为，
（1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去；
（2），解得或；
（3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去；
综上可知，实数a的取值可以为或或.
【变式1-2】设集合，已知且，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】当时，可得或，
若时，则，不合题意；
若时，则，符合题意；
当，可得或，
若，则，不合题意；
若，则，不合题意.
综上所述：.
【变式1-3】已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．2或4
【答案】A
【解析】依题意，
若，则，不满足集合元素的互异性，所以；
若，则或（舍去），此时，符合题意；
若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.
综上所述，的值为.故选：A
题型二 根据元素个数求参数
【例2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，可得.故选：D
【变式2-1】若为单元素集，则实数a的取值的集合为______．
【答案】
【解析】由题意方程只有一解或两个相等的实根，
(*)，，，
此时，方程的解为，满足题意，；
若方程(*)有一个根是，则另一根是，，；
若方程(*)有一个根是，则另一根是，，．
综上，的取值集合为．
【变式2-2】已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时集合，当时集合；；（3）
【解析】（1）是空集，且，
，解得，
的取值范围为：；
（2）①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
（3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得时中至少有一个元素，即
【变式2-3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）.
【解析】（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，∴
∵-1∈A，∴
∴中另外两个元素为，；
（2），，，且，，
，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
∴x∈A，，，
，，，
∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，
∴，
∵，∴2∈A，∴，∴∈A，
设m＝a，同理得∈A，∈A，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
∴、3、，
【变式2-4】已知集合，其中为常数，且．
（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），由，解得，满足题意，因此．
时，中至少有一个元素，，解得，．
综上可得：的取值范围是．
（2），由，解得，满足题意，因此．
时，中至多有一个元素，，解得．
综上可得：的取值范围是．
【变式2-5】数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【解析】（1）由，令，
则由题意关系式可得：，，，
而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，
所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，
以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，
由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，
所以集合M一定存在的元素有，
当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，
所以可得出集合M中元素的个数为.
题型三 根据集合相等求参数
【例3】已知集合，，若，则等于（ ）
A．或3 B．0或 C．3 D．
【答案】C
【解析】由于，故，解得或.
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.
经检验可知符合.故选：C
【变式3-1】若集合，则________．
【答案】
【解析】由题意得：集合
显然，，
【变式3-2】已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.
【答案】a2 020+b2 020=1
【解析】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，
由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，
因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，
因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1.
【变式3-3】设集合，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】①当时，，
则或，
当时，该方程组无解，当时，解得
②当时，，则或.
当时，该方程组无解，当时，解得
③当，即时，显然，则，此时，
当时，该方程组无解，当时，该方程组无解.
综上所述，，或，，故，故选：C
题型四 根据集合间包含关系求参数
【例4】集合，则m＝___．
【答案】
【解析】∵集合，
∴，解得．
【变式4-1】已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，且，所以，
即的取值范围是，故选：A
∴．
【变式4-2】已知.
（1）若是的子集，求实数的值；
（2）若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题得.
若是的子集，则，
所以.
（2）若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
【变式4-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
【答案】{m|m≤3}
【解析】(1)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．[
题型五 根据集合的运算求参数
【例5】设集合．若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【答案】D
【解析】由题可得，，
当时，，满足；
当时， ，则或，即.
综上所述，或.故选：D.
【变式5-1】已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
（1）求A∪B，；
（2）若A∩C≠ ，求a的取值范围.
【答案】（1）A∪B＝{x|1【解析】（1）A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵＝{x|x<2或x>8}，
∴∩B＝{x|1（2）∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，∴a<8.
∴a的取值范围为{a|a<8}.
【变式5-2】已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，集合，
当时，，
所以或，所以.
（2）由，可得，
①当时，可得，解得：；
②当时，则满足，解得：，
综上所述：实数的取值范围是.
【变式5-3】已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1），或；（2）
【解析】（1）若，则，
所以，或，
所以或；
（2）因为，所以，
当时，则，解得，此时，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，
所以若，m的取值范围为.
【变式5-4】设R为全集，，，且，求的取值范围．
【答案】.
【解析】因为，
所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
【变式5-5】设全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），当时，，
，；
（2）因为，，
又中只有一个整数，所以这个整数必定是，
故，，
所以，．集合专题：集合中常见的五种参数问题
一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
由集合间关系求解参数的三部曲
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集;[来源:]
第二步：看集合中是否含有参数，若，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[
三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来
方法二：（1）化简所给集合；
（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；
（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
（2）千万不要忘记考虑空集。
题型一 根据元素与集合的关系求参数
【例1】已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
【变式1-1】已知，则实数______．
【变式1-2】设集合，已知且，则实数的取值集合为__________.
【变式1-3】已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．2或4
题型二 根据元素个数求参数
【例2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若为单元素集，则实数a的取值的集合为______．
【变式2-2】已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【变式2-3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【变式2-4】已知集合，其中为常数，且．
（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
【变式2-5】数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
题型三 根据集合相等求参数
【例3】已知集合，，若，则等于（ ）
A．或3 B．0或 C．3 D．
【变式3-1】若集合，则________．
【变式3-2】已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.
【变式3-3】设集合，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
题型四 根据集合间包含关系求参数
【例4】集合，则m＝___．
【变式4-1】已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知.
（1）若是的子集，求实数的值；
（2）若是的子集，求实数的取值范围.
【变式4-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
题型五 根据集合的运算求参数
【例5】设集合．若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【变式5-1】已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
（1）求A∪B，；
（2）若A∩C≠ ，求a的取值范围.
【变式5-2】已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【变式5-3】已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【变式5-4】设R为全集，，，且，求的取值范围．
【变式5-5】设全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．

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