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专题40 抛物线及其性质
【考点预测】
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义与方程
题型二：抛物线的轨迹方程
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
题型五：焦半径问题
题型六：抛物线的性质
【典例例题】
题型一：抛物线的定义与方程
例1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C
【方法技巧与总结】
求抛物线的标准方程的步骤为：
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
例2．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.
【答案】
【解析】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，
所以所求抛物线方程是.
故答案为: .
例3．（2022·湖南·高三开学考试）已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
【答案】或或或（写出一个即可）
【解析】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得.
又∵或，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或或或．（写出一个即可）
例4．（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
例5．（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知，，所以．
故选：C.
例6．（2022·北京·高三开学考试）抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，
由抛物线的定义可知：
则，解得：或（舍去），
从而点P的横坐标为1
故选：A
例7．（2022·全国·高三专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为．
因为焦点到准线的距离为4，
所以，所以，
所以抛物线方程为或．
故选：C．
例8．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．
【解析】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，
设所求抛物线的方程为．
因为，
所以．
故所求抛物线的方程为．
题型二：抛物线的轨迹方程
例9．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【答案】D
【解析】因为点不在直线上，
则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，
直线为准线的抛物线；
故选：D
【方法技巧与总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【答案】C
【解析】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
例11．（2022·全国·高三专题练习）若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
例12．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点
的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知点 ，若过 两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故选：A
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
例15．（2022·全国·高三专题练习）斜线段与平面所成的角为，平面内的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线的一支
【答案】C
【解析】当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成
角的平面截圆锥，所得图形为抛物线.
故选C．
例16．（多选题）（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；
对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，
圆的半径，C正确；
对于D，假设存在点，使得，
设，则，整理可得：，
解得：，，或，D正确.
故选：ACD.
例17．（2022·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，
设抛物线的方程为，
可知，解得，
所以该抛物线方程是，
故答案为：
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【答案】
【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
例19．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________．
【答案】，（注：也算对）
【解析】由题意，若时，问题等价于，
则，化简得，
若，也满足题意.
所以动点的轨迹方程为，.
或者根据题意有，则，化简整理得：.
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：，（注：也算对）
例20．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】动圆C与圆A和直线l都相切，
当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，
则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；
当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，
则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；
所以，当时，抛物线不完整，
所以，，，，
故选：ABD
例21．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，
∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．
∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．
∴抛物线的方程为，
又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为②．
综上，得动点M的轨迹方程为或．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
由切线长公式得，，
所以．
故选：B．
【方法技巧与总结】
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。
例23．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
【答案】
【解析】设，则，
因为，
所以
，当时取得最小值4，
故答案为：4
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
例25．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
【答案】【解析】由题设及抛物线定义知：，可得，故，
而的圆心为，半径为1，
所以最小，则共线且，故只需最小，
令，则，且，
当时，，故的最小值为.
故答案为：
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
例27．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，
【答案】6
【解析】因为抛物线上的点到y轴的距离等于到准线的距离减去，而由抛物线的定义知点到准线的距离等于到焦点的距离，所以只需点到Q与到焦点F的距离之和最小，如图所示：
当P，Q，F共线时，到y轴的距离与到点的距离之和最小，
因为点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，
所以，即，解得.
故答案为：
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意知：，；
因为，，
所以；
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：.
例29．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．
【答案】22
【解析】设，则，因为，，
所以，，
则，令，则，
所以，
当时，因为，所以当时，取得最小值，此时最小值为22，
故答案为：22
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故选：C
例31．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知
当在抛物线上移动时，的值在变化，显然移动到时，三点共线，最小，此时，把代入，得，
所以当取最小值时，点的坐标为．
故选：D.
例33．（2022·上海市向明中学高三开学考试）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，的值为6
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
【答案】B
【解析】当时，，故，故A正确；
当时，，由可得，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，
则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，
此点即为取最大值的点，此时，
其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，
故的最大值为，故D正确.
故选：B.
例34．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】由题意，抛物线，可得焦点，
又因为直线的倾斜角为，可得斜率，
故直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，解得，，
因为，所以
可得，
过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，
当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，
所以的最小值为3.
故选：A.
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】设焦点为，到准线的距离为，则，
所以，
当且仅当P,M,F三点共线时取等号，
故选：A．
例37．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【解析】当时，为抛物线的焦点，设，
则，故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，
此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，
此时，C正确；
当时，，
连接AM，并延长AM交抛物线于点，
此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时
当时，，B错误.
故选：ACD
例38．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，
Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】AC
【解析】抛物线焦点为，准线为，作出图象，
对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．
故选：AC.
例39．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．当最大时，
D．当最小时，
【答案】ABC
【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，所以的最小值是1-=，故正确；
B. 设，则，
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确；
C.如图所示：
当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确；
D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误；
故选：ABC
例40．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
例41．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故选：A.
【方法技巧与总结】
解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。
例42．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．
【答案】
【解析】如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，
过点作的垂线，垂足为，
设，易得，则，
由抛物线的性质可得，，
所以，，解得，故．
故答案为：
例43．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案为：.
例44．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积___________.
【答案】4
【解析】
如图，作于，由抛物线定义知，又点A的横坐标为，则点K的横坐标为，
点F的横坐标为，则轴，则.
故答案为：4.
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于、两点，延长交准线于点，分别过点、作准线的垂线，垂足分别记为、，若，则的面积为________.
【答案】
【解析】由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，设抛物线的准线交轴于点，
不妨设直线的倾斜角为锐角，由抛物线的定义可得，，
因为，则，从而，故是等边三角形，
且，，则，所以，，
故是边长为的等边三角形，故.
故答案为：.
例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
【答案】
【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，
所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：
例47．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
【答案】
【解析】由知，，，准线方程为，如图，
因为，所以，所以；
连接，又，所以为等边三角形，
因为，所以，得，得，
所以，
由，解得，
所以．
故答案为：
例48．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
【答案】
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，则，
所以抛物线的方程为.
故答案为：.
例49．（多选题）（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为抛物线：的焦点为，
所以，所以，
所以抛物线的方程为，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，
所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为，
联立可得，
由已知方程的判别式，
设，，则，，
因为以线段为直径的圆过原点，所以,
所以，所以，
所以或，
当时，由可得或与条件相矛盾，
所以，所以，，
设直线与轴的交点为，则
的面积，
所以的面积，
的面积，
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
又，，，
所以与的面积之和可能为18或，
故选：BC.
例50．（多选题）（2022·云南大理·模拟预测）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为（为坐标原点）
【答案】BC
【解析】
如图，设，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故选项A不正确；
由上述分析可知，
又容易知，
则，，
故成立；
故选项B正确；
；
故选项C正确；
，
故选项D不正确；
故选：BC．
例51．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】由题意得，
则，
即点A到准线的距离为4，
所以点A的横坐标为2，
当时，，
即，
所以.
故选：C.
例52．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知点，设点，，又，故，故，，
故选：C
例53．（2022·山西运城·高三阶段练习（文））过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，则P点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由，得，所以，
所以直线的方程为，即，同理，直线的方程为，
由可得，即点的坐标为，
设的重心坐标为，
则，即，
所以点P的坐标为.
故选：A.
题型五：焦半径问题
例54．（2022·云南·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
【方法技巧与总结】
（1）．
（2）．
（3）．
例55．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【解析】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
例56．（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，
所以．
故选：C．
例57．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：的焦点为，A是C上一点，|AF|=，则=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义可知，解之得．
故选：A．
例58．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
【答案】B
【解析】解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
例59．（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若
轴，且，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，准线方程为：，
因轴，由抛物线的对称性，不妨取，设点B的横坐标为，
依题意，，解得，则或，
点，则直线斜率为，其倾斜角为，有，
若，则直线斜率为，其倾斜角为，有，
所以为或.
故选：A
例60．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，
设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
例61．（2022·江西·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线得，准线为，
设，则由抛物线的定义可得即，
将代入抛物线可得，即或，
当的坐标为时，则的斜率；
当的坐标为时，则的斜率；
故选：C．
例62．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，
所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，
将此方程代入，整理得．
设，，（）则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A．
例63．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作与准线垂直，垂足为，，如图：
当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.
∵抛物线的焦点，∴，
设切线方程为，则，∴，
由解得，，
∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.
故选：C.
例64．（多选题）（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，的纵坐标一定大于
D．不存在使得
【答案】ABD
【解析】对于，易得，由可得，由焦半径公式得点横坐标为，
代入抛物线可得，则，故A正确；
对于，由可得直线的斜率为，
则直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线解得，则，故在的中垂线上，，故B正确；
对于，由抛物线的性质知，以为直径的圆与准线相切的切点纵坐标为，
故当时，为该圆与轴的交点，纵坐标大于或小于均可，故C错误；
对于D，设的中点为，，
则，当轴时，，
则，不存在使得，故D正确；
故选：ABD.
例65．（多选题）（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.
故选：ACD.
例66．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设 是抛物线 的焦点，点A 在抛物线 上， ，若 ，则 ____________.
【答案】
【解析】由可知焦点，，∴ ，
∵，∴
∴ 点 到抛物线准线的距离为 .
∵ 抛物线的准线方程为 ，
∴点A的横坐标
∴ 或 ，
∴ .
故答案为：.
例67．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
【答案】【解析】过作准线的垂线，垂足为，易知：，
可得，如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以.
故答案为：
例68．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
【答案】60°或120°
【解析】如图是抛物线的准线，作，，为垂足，
设，则，
由抛物线定义知，，
过作，垂足为，则易得，所以，
直角三角形中，，，
此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.
故答案为：60°或120°
题型六：抛物线的性质
例69．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由题意可知，所以直线与的方程为，
联立直线方程和抛物线方程，可得，
设
则，
所以.
故选：D.
【方法技巧与总结】
在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算．
例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【答案】AD
【解析】对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
例71．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x
轴的距离为____________．
【答案】4
【解析】抛物线方程化为标准形式为，
由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6，
所以点P到x轴的距离为4．
故答案为：4
例72．（2022·四川省南充市白塔中学高三阶段练习（理））已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______．
【答案】4
【解析】设，而，
则，①
，，，
由，得，
所以，②
联立①②得：.
故答案为：4
例73．（2022·江西南昌·模拟预测（文））抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，
故选：C.
例74．（2022·全国·高三专题练习）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为
故选：B
例75．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的开口朝右，抛物线的开口朝下，抛物线的开口朝左，抛物线的开口朝上.
故选：C.
例76．（2022·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由题可知抛物线的准线方程为，
所以，即，
所以，
∴ ，
所以.
故选：D.
例77．（2022·全国·高三专题练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
例78．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（理））抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
【答案】C
【解析】对于A，由，可得，故A选项不正确；
对于B，设A，B两点的坐标分别为，，
根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，
联立方程，消去x后整理为，则，，
，，
，故B选项不正确；
对于C，，
故C选项正确；
对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，
根据B项可得N点坐标为，
则，
由为等边三角形可得，
则，
则，
由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为，
故D选项不正确．
故选：C.
例79．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，点F到直线
的距离为，则p的值为_____________．
【答案】2或4
【解析】抛物线的焦点为F，则，
则点F到直线的距离为：，
所以，因为，所以或4.
故答案为：2或4.
例80．（2022·河北邯郸·高三开学考试）若抛物线的准线与圆相切，则___________.
【答案】或0
【解析】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为，半径，
由于圆与准线相切，
所以，
解得或0.
故答案为：或0
例81．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知点为抛物线的焦点，经过点的直线交于两点，交轴于点，若，则点的纵坐标为___________.
【答案】
【解析】设，又，
由，得，所以，所以.
如图，过点作轴的垂线，垂足为，
过点作轴的平行线交轴于点，交于点.
由抛物线定义，可得，
所以，故，解得.
故答案为：
例82．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数___________.
【答案】
【解析】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
例83．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：
①；②；③//；
④与的交点在轴上；⑤与交于原点.
其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）
【答案】①②③④⑤
【解析】根据题意，作图如下：
因为在抛物线上，由抛物线的定义，
得，又分别为在上的射影，
所以，即①正确；
取的中点，则，
所以，即②正确；
由②得平分，所以，又因为，
所以//，即③正确；
取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，
且与交于原点，即④⑤正确；
故答案为：①②③④⑤.
例84．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则______．
【答案】0
【解析】因⊙M与抛物线C有且仅有两个公共点，而⊙M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一，
由消去y并整理得：，且，
于是得，解得，
即点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，
由消去x并整理得：，设，则，
所以.
故答案为：0
例85．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.
【答案】1
【解析】焦点弦中，通径最短，所以若使的直线有且仅有1条，则就是通径，即，.
故答案为：1
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由抛物线的定义可知，为等边三角形，
设准线l与x轴交于点H，则，
，所以.
故选：D
2．（2022·安徽·高三开学考试）已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【答案】C
【解析】设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，
以点为圆心的圆与的准线相切，所以，
圆与轴相交的弦长为6，所以，
所以，解得或.
故选：C.
3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【解析】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故选: B.
4．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
5．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．5
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，准线，直线：，
由消去y并整理得：，设，
则，线段AB的中点Q的横坐标，
过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连PF，如图，
于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连，
则有，当且仅当点与点P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
6．（2022·福建师大附中高三阶段练习）设抛物线的焦点为， 若与抛物线有四个不同的交点， 记轴同侧的两个交点为， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，如图：不妨设在轴右侧
将方程与抛物线方程联立：
，得，
设，在轴同侧，不妨设
则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得：
，即，
由抛物线定义可得，
故选：B．
7．（2022·广东广东·高三阶段练习）在曲线上有两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由已知，
因为，所以，所以，
因为动点在曲线上，所以设，
所以，
又因为，所以.
故选：C.
8．（2022·山东师范大学附中高三期中）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．动点P到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上
【答案】A
【解析】A：过点作垂直准线交准线于点，当在与抛物线的交点时，的值最小，
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离即，
所以，所以A正确；
B：设则，所以，当时，的最小值为，所以B不正确；
C：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，，
联立可得：，
，所以，
所以，，
所以，的中点为，
由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以C不正确；
D：设，，，，由，则，
设直线的方程为：，
所以，切线方程分别为：，即，
同理可得：，
两式联立求出，可得，
因为，在抛物线上，
，整理可得：，
所以，
所以，不在准线上，所以D不正确．
故选：A．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由题意，抛物线的焦点为，
因为，由抛物线的定义，可得，
设，可得，
当时，可得，所以，则，所以B正确；
当时，此时方程无解；
当时，可得，所以，则，所以A正确.
故选：AB
10．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知为曲线上一动点，则（ ）
A．的最小值为2
B．到直线的距离的最小值为
C．的最小值为6
D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离
【答案】BCD
【解析】由题意，曲线，化简可得，
则曲线为抛物线的右班部分，如图所示，
因为抛物线，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，结合图象可得，原点到直线的距离取得最小值，
最小值为，所以B正确；
对于C中，由点到准线的距离为，点到准线的距离为，
则，
所以的最小值为，所以C正确；
对于D中，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以D正确.
故选：BCD.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为，则的最小值为4
【答案】AD
【解析】由抛物线的解析式知，所以抛物线的焦点，准线方程为，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；
设抛物线上点，则，解得，故，则点P的坐标有两个，故选项B错误；
过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为，故选项C错误；
由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，取得最小值，即，故选项D正确，
故选；AD．
12．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于抛物线，，可得，则点，A错；
由抛物线的定义可得，可得，则，可得，B对C错；
，D对.
故选：BD.
三、填空题
13．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若，则___________.
【答案】16
【解析】易知焦点的坐标为，准线方程为，如图，
抛物线准线与轴交点为，作于，于，
，则，
由，得，又，，
所以，，，，
所以.
故答案为：16．
14．（2022·全国·高三专题练习）设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．
【答案】相切
【解析】过点作垂直与准线，垂足为，过点作垂直与准线，垂足为，设的中点为，点作垂直与准线，垂足为，
所以，
由抛物线定义可得，，
所以，又，
所以，即圆心到准线的距离为圆的半径，
所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.
故答案为：相切.
15．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若，则______.
【答案】4
【解析】由抛物线的定义可知，为等边三角形，
设准线与轴交于点，则，.
故答案为：4.
16．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.
【答案】
【解析】抛物线的准线为，点，设点，
因，则点是线段的中点，即，又点在抛物线上，
因此，解得，即点，
所以直线的斜率.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
(1)求C和的方程；
(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
【解析】（1）设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．
所以焦点的坐标为，
设的方程为且，
联立方程组，整理得，
所以，
所以．
由题设知，解得或（舍去），所以的方程为．
（2）由（1）得线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得，或，即圆心坐标为或，
又由抛物线的准线方程为，
可得点或到准线的距离分别为或，
即圆的半径分别为或，
所以圆的方程为或．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【解析】（1）∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
（2）证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得，则，解得.故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，设.因为三点共线，所以，即，即，整理得.因为，所以.由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立整理得，则.因为关于轴对称，所以，则，解得.故直线的方程为，即直线恒过点.
20．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【解析】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以；
因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以专题40 抛物线及其性质
【考点预测】
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义与方程
题型二：抛物线的轨迹方程
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
题型五：焦半径问题
题型六：抛物线的性质
【典例例题】
题型一：抛物线的定义与方程
例1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
求抛物线的标准方程的步骤为：
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
例2．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.
例3．（2022·湖南·高三开学考试）已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
例4．（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
例5．（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·北京·高三开学考试）抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例7．（2022·全国·高三专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
例8．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．
题型二：抛物线的轨迹方程
例9．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【方法技巧与总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
例11．（2022·全国·高三专题练习）若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例12．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知点 ，若过 两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）斜线段与平面所成的角为，平面内的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线的一支
例16．（多选题）（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
例17．（2022·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
例19．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________．
例20．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C
的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
例21．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【方法技巧与总结】
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。
例23．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
例25．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动
点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
例27．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.
例29．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
例31．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例33．（2022·上海市向明中学高三开学考试）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，的值为6
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
例34．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
例37．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
例38．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
例39．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．当最大时，
D．当最小时，
例40．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
例41．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【方法技巧与总结】
解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。
例42．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．
例43．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
例44．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积___________.
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于、两点，延长交准线于点，分别过点、作准线的垂线，垂足分别记为、，若，则的面积为________.
例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
例47．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
例48．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
例49．（多选题）（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（ ）
A． B． C． D．
例50．（多选题）（2022·云南大理·模拟预测）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为（为坐标原点）
例51．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
例52．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例53．（2022·山西运城·高三阶段练习（文））过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，则P点坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型五：焦半径问题
例54．（2022·云南·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【方法技巧与总结】
（1）．
（2）．
（3）．
例55．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
例56．（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
例57．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：的焦点为，A是C上一点，|AF|=，则=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
例58．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
例59．（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
例60．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
例61．（2022·江西·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
例62．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
例63．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（ ）
A． B． C． D．
例64．（多选题）（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，的纵坐标一定大于
D．不存在使得
例65．（多选题）（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
例66．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设 是抛物线 的焦点，点A 在抛物线 上， ，若 ，则 ____________.
例67．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
例68．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
题型六：抛物线的性质
例69．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【方法技巧与总结】
在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算．
例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
例71．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．
例72．（2022·四川省南充市白塔中学高三阶段练习（理））已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______．
例73．（2022·江西南昌·模拟预测（文））抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
例74．（2022·全国·高三专题练习）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ）
A． B．
C． D．
例75．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（ ）
A． B． C．6 D．
例77．（2022·全国·高三专题练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
例78．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（理））抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
例79．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，点F到直线的距离为，则p的值为_____________．
例80．（2022·河北邯郸·高三开学考试）若抛物线的准线与圆相切，则___________.
例81．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知点为抛物线的焦点，经过点的直线交于两点，交轴于点，若，则点的纵坐标为___________.
例82．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数___________.
例83．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：
①；②；③//；
④与的交点在轴上；⑤与交于原点.
其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）
例84．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则______．
例85．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2022·安徽·高三开学考试）已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
4．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
5．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．5
6．（2022·福建师大附中高三阶段练习）设抛物线的焦点为， 若与抛物线有四个不同的交点， 记轴同侧的两个交点为， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东广东·高三阶段练习）在曲线上有两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．（2022·山东师范大学附中高三期中）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．动点P到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知为曲线上一动点，则（ ）
A．的最小值为2
B．到直线的距离的最小值为
C．的最小值为6
D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离
11．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为，则的最小值为4
12．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为 B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若，则___________.
14．（2022·全国·高三专题练习）设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．
15．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若，则______.
16．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.
四、解答题
17．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
(1)求C和的方程；
(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
20．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．

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