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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
例4．（2022·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，
，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是
A． B． C． D．
例10．（2022·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围
【方法技巧与总结】
1．数形结合处理．
2．含参时注意分类讨论．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
【方法技巧与总结】
1．一定要牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
题型四：其他不等式解法
例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．
例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.
例21．（2022·上海·高三专题练习）关于的不等式的解集为_________.
例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得
的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
【方法技巧与总结】
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式平方处理．
题型五：二次函数根的分布问题
例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
例28．（2022·全国·高三专题练习）设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
【方法技巧与总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ）
A． B．
C．的解集为 D．的解集为或
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，时，
C．且时，
D．当时，若，则
12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x，y的关系式，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．对任意实数a，都有成立
C．若对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
D．若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的取值范围是
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则函数的单调递增区间是_______
14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.
15．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
16．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则
的最大可能值为__.
四、解答题
17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
18．（2022·江西·高三期末（文））已知.
(1)解不等式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
19．（2022·全国·高三专题练习）设，若，，求证：
(1)方程有实数根；
(2)；
(3)设，是方程的两个实数根，则．
20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
21．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）是否存在，使同时满足以下条件：
①对任意，且；
②对任意，都有.
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可.
【详解】
由解得，或，
所以不等式的解集为或，
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数型函数的定点求解，代入后再求解一元二次不等式.
【详解】
当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解析式，可得的单调性，根据条件，可得x+2＜x2+2x，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】
函数=，可得x≥0，递增；
当x＜0时，递增；且x=0时函数连续，
所以在R上递增，
不等式，
可化为x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.
故选：C
例4．（2022·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.
【详解】
当时，该不等式为，解集为，不成立；
当时，由不等式的解集为，得，
解得，
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性定义可知为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定的单调性，从而将所求不等式转化为，解不等式可求得结果.
【详解】
定义域为，，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，又，在上均为增函数，
在上为增函数，则在上为减函数；
由可得：，即，
解得：，即不等式的解集为.
故选：D.
【方法技巧与总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
例7．（2022·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.
【详解】
因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得，解不等式即得解.
【详解】
任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，
所以，
即，
即，
又因为，
所以，
此时原不等式解集为．
故选：A
【点睛】
方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.
例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
因为关于的不等式可化为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
要使得解集中至多包含个整数，则且，
所以实数的取值范围是，故选D.
点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.
例10．（2022·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，求出方程的两根，讨论的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
【详解】
解：由题意，令，解得两根为，由此可知，
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}
【解析】
【分析】
（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.
(1)
当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}；
当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|(2)
由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，
所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，
此时A＝{x|－4例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式转化为，构造函数，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.
【详解】
关于的不等式化为：，
令，，
则．
令，在上单调递增，
因此存在，使得，，
，
（1），（2）．
因此存在，使得，
因此函数在内单调递减，在,单调递增．
（1），（2）．
关于的不等式的解集为，其中，
该不等式在中有且只有一个整数解，
实数的取值范围是．
【方法技巧与总结】
1．数形结合处理．
2．含参时注意分类讨论．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】
的解集为，则的两根为，，
∴，∴，，则，即，
，当且仅当时取“=”，
故选：C.
例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值
【详解】
的解集为，则是方程的两个根，故，，故
因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为
故选：D
（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.
【详解】
关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.
【详解】
由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.
【详解】
依题意，，是方程的两个根，且，
于是得，解得：，
因此，不等式为：，解得，
所以不等式 的解集是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
1．一定要牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
题型四：其他不等式解法
例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，结合分式不等式的解法即可求解.
【详解】
由可得，整理可得：，则，解可得：.
所以不等式是的解集为: .
故答案为：.
例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法进行求解.
【详解】
,
故答案为：.
例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意根据分式不等式的解法，得出结论.
【详解】
一个解集为的分式不等式可以是，
故答案为：.（答案不唯一）
例21．（2022·上海·高三专题练习）关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过恒成立，恒成立，将不等式最终转化为，解出即可.
【详解】
解：对于，有，则恒成立，
又恒成立，
又，
，
解得不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题.
例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得
的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
【答案】.
【解析】
【分析】
关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得不等式的解集.
【详解】
若关于的不等式的解集为
则关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得，
则，则.
故解集为：.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．
【方法技巧与总结】
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式平方处理．
题型五：二次函数根的分布问题
例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】
因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.
故选：C
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.
【详解】
已知函数，
则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以，即，
解得 ，
所以实数的取值范围为
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.
例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】
由函数，
且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)= sin2x+3a(cosx sinx)+2a 1≤0恒成立，
∵设，
∴当x∈时,,t∈[ 1,1]，即 1≤cosx sinx≤1，
令t∈[ 1,1],sin2x=1 t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a 2≤0，当t∈[ 1,1]时恒成立，
令g(t)=t2+3at+2a 2，
只需满足或或，
解得或或，
综上，可得实数a的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题先求导函数并根据题意建立关于的方程，再根据根的分布求的取值范围，最后判断得到答案即可.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率即，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，
解得：，
所以的取值可能为，.
故选：AC.
【点睛】
本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.
例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
【答案】或.
【解析】
根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案.
【详解】
由题意得应满足解得：或.
故答案为：或.
例28．（2022·全国·高三专题练习）设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由条件求得的符号，结合条件可得；
（Ⅱ）根据的符号可得.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.
故.
（Ⅱ）函数的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以方程在区间与内分别各有一实根.
【方法技巧与总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合，然后根据并集的定义即可求解.
【详解】
解：因为集合，，
所以，
故选：D.
2．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
，列出不等式，求出，从而判断出答案.
【详解】
，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知，进而分和空集两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：由题知，
因为，
所以，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：D
4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式判断函数关于点成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.
【详解】
，
图象关于点成中心对称，
又的定义域为，
由在上单调递增知，
在上递增，
，，
即，
，解得，又，解得，
所以.
故选：C
5．（2022·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知，进而根据题意求解即可.
【详解】
解：因为，，
若有2个元素，则或，解得或，
所以，实数的取值范围是.
故选：D．
6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，则.对进行讨论，即可求出答案.
【详解】
令，则.
（1）当时，则，
令，
.
故.
（2）当时，则，
令
①当时，，
则
②当时，，
则
故
（3）当时，则在上恒成立，
故.
综上所述：
故选：A.
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断，再化简，利用基本不等式求解.
【详解】
解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，．
又，，，
则（当且仅当，时取“”），
由不等式恒成立，得，解得．
实数的取值范围是．
故选：A．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】
解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用换元法令，不等式可整理为在上恒成立，即，即，求函数的最小值即可得解.
【详解】
设，，
则不等式对任意恒成立，
即转化为不等式在上恒成立，
即转化为在上恒成立，
由对勾函数知在上单减，，
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性求出函数的最值是解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于一般题.
10．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ）
A． B．
C．的解集为 D．的解集为或
【答案】AC
【解析】
由一元二次不等式的解法，再结合根与系数的关系逐个分析判断可得答案
【详解】
解：因为不等式的解集为，其中，
所以，是方程的两个根，所以A正确；
所以，解得，
因为，，所以，
又由于，所以，所以B错误；
所以可化为，
即，即，
因为，所以，
所以不等式的解集为，
所以C正确，D错误，
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法的应用，解题的关键由一元二次不等式的解法可知，且是方程的两个根，再利用根与系数的关系得，再求得，从而可求解不等式，考查转化思想，属于中档题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，时，
C．且时，
D．当时，若，则
【答案】BC
【解析】
对于A，分和时求解不等式；
对于B，根据函数的单调性可判断；
对于C，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式可判断；
对于D，构造函数，看作在y轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率, 数形结合可判断单调性，即可得出结果.
【详解】
对于A，由得，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，故A错误；
对于B，时，在上是增函数，则，即，故B正确；
对于C. 在上单调递减，当时，设、，则AB的中点C，又设，
数形结合可知，点D位于点C的下方，即，故C正确；
对于D，设，则表示在y轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率, 数形结合可知，是增函数，当时，，则，即，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题考查二次函数性质的综合应用，对于CD选项的判断，关键是根据函数的单调性，利用数形结合的方法进行判断.
12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x，y的关系式，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．对任意实数a，都有成立
C．若对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
D．若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】
和的值直接代入即可求得，转化为求二次函数最大值的问题，若对任意实数x，不等式恒成立转化为关于的二次函数与轴至多有一个交点的问题，若对任意正实数a，不等式恒成立转化为关于
的一次函数在内恒大于等于零恒成立的问题.
【详解】
对于选项A，，，即，则A选项错误；
对于选项B，，则B选项正确；
对于选项C， 恒成立，
即 恒成立，则，解得,即实数a的取值范围是，则C
选项正确；
对于选项D， 恒成立，令，当时，该函数看成关于的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0，当时，成立，当时，该函数看成关于的一次函数，函数单调递增，当时，
，则实数的取值范围是，则D选项错误；
故选：.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则函数的单调递增区间是_______
【答案】
【解析】
根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.
【详解】
由题知-2和1是的两根，
由根与系数的关系知-2+1= ， 2×1＝ ，
由不等式的解集为，可知，
，
则，
因为函数的定义域为，
令则该函数的增区间为
所以的增区间为
故答案为：.
14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式，求出不等式的解集，再根据解集中整数的情况，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，又解集中的整数有且仅有1，2，3，
所以解得：，即，
故答案为：．
15．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出的取值范围
【详解】
不等式等价于.令，解得或.
当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；
当时，不等式无解，所以不符合题意；
当时，不等式的解集为，则.
综上，的取值范围是.
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.
【答案】3
【解析】
【分析】
可先通过赋值，判断，再令，结合二次函数最值，可得所求最大值.
【详解】
任意满足的实数，都有，
若，则，
可取，，可得，即恒成立，
由于，可得最大取2，
可得，
即有的最大可能值为3.
故答案为：3.
四、解答题
17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）把点代入解析式可得，即得；
（2）利用一元二次不等式的解法即得.
(1)
由题意，，
所以．
所以的解析式为．
(2)
不等式等价于．
解得．
所以不等式的解集为．
18．（2022·江西·高三期末（文））已知.
(1)解不等式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.
（2）由题可得，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.
(1)
当时，可化为，解得，所以；
当时，可化为，解得，所以；
当时，可化为，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
(2)
关于x的不等式在上恒成立等价于，
又，
当且仅当，即时等号成立，所以，
所以，解得.
故实数m的取值范围为.
19．（2022·全国·高三专题练习）设，若，，求证：
(1)方程有实数根；
(2)；
(3)设，是方程的两个实数根，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，结合的范围，即可证明；
（2）由，以及的等量关系，即可证明；
（3）根据根与系数的关系，结合（2）中所求，求得的取值范围，即可证明.
(1)
，，，
有实数根.
(2)
由，得
，
，
，又，
，
解得.
(3)
，是方程的两个实数根，
，
，
．
20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围
(1)
由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
(2)
由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
21．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由原不等式可得，讨论与1的大小关系即可得出不等式的解.
【详解】
由得，
∵，
当，即时，不等式的解为或.
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解，
所以当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）是否存在，使同时满足以下条件：
①对任意，且；
②对任意，都有.
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；（2）存在，，，.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，代入判别式，讨论判别式的符号，可得函数的零点个数；
（2）假设，，存在，由① 对称轴和顶点，由②可得以及
联立求解.
【详解】
解：（1）
，即
又已知
当时，，函数有一个零点；
当时，，函数有两个零点；
（2）假设，，存在，由可得的对称轴为.
即①
又由得
即②
联立① ②可得
故可化作.
由条件② 可得.
∴得.
即
∴ ，解得，
又
，，.
综上所述：存在，，使其满足条件① ②.

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