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专题15单调性问题
【考点预测】
知识点一：单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【方法技巧与总结】
1．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
【题型归纳目录】
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
题型二：求单调区间
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
题型四：不含参数单调性讨论
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
1.可因式分解
2.不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
题型六：分段分析法讨论
【典例例题】
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函
数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.
题型二：求单调区间
例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调
递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递减区间为__________．
【方法技巧与总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出.
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.
例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a的取值范围为________.
例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数在上是单调函数，则的最大值是______.
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则实数a的取值范围是________.
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
题型四：不含参数单调性讨论
例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数，其图象在处的切线过点．
(1)求a的值；
(2)讨论的单调性；
例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数.
试判断函数在上单调性并证明你的结论；
例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数.
当时，求的单调区间
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例21．（2022·江西·二模（文））己知函数．
讨论的单调性；
例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数．
讨论函数的单调性；
情形二：函数为准一次函数
例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
当时，求函数的单调区间；
例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，（
为自然对数的底数，）．
求函数的单调区间；
例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数，其中.
讨论的单调性；
例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.
讨论的单调性；
情形三：函数为二次函数型
1.可因式分解
例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
讨论的单调性；
例29．（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数
讨论f（x）的单调性；
例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．
讨论函数的单调性；
例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.
讨论函数的单调性；
例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．
求函数的单调区间；
例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
2.不可因式分解型
例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
例36．（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．
讨论的单调性;
例38．（2022·全国·二模（理））已知函数．
讨论的单调性；
例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．
试讨论函数的单调性；
例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数.
讨论的单调性；
题型六：分段分析法讨论
例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数（，且）
求函数的单调区间；
【方法技巧与总结】
1．二次型结构，当且仅当时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．
2．对于不可以因式分解的二次型结构，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负．
3．注意定义域以及根的大小关系．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知，为的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
10．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
11．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx
C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
12．（2022·广东·模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空题
13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题为假命题，则实数a的取值范围是___________.
14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
15．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数是上的奇函数，且，若非零正实数满足，则的小值是_______．
四、解答题
17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．
18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性；
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.当时，判断的单调性；
22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.专题15单调性问题
【考点预测】
知识点一：单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【方法技巧与总结】
1．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
【题型归纳目录】
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
题型二：求单调区间
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
题型四：不含参数单调性讨论
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
1.可因式分解
2.不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
题型六：分段分析法讨论
【典例例题】
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函
数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；
【详解】
解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故选：A
例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可；
【详解】
解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，
故选：A
例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数图像判断f(x)单调性，作出其大致图像即可判断各个函数值的大小关系．
【详解】
由图像可知f(x)图像大致如下：
由图可知f(a)>f(b)，f(b)故选：D．
【方法技巧与总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.
题型二：求单调区间
例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
对求导得到关于、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.
【详解】
由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-,0).
故选：A
例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用f(x)的导数的正负即可求其单调性．
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的减区间
【详解】
当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，
故答案为：
【方法技巧与总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出.
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的
取值范围.
【详解】
，
因为在上为单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，
要满足①，或②，
由①得：，由②得：，
综上：实数m的取值范围是.
故选：D
例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.
【详解】
因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数，题意说明的解集是，从而可求得得结论．
【详解】
＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.
故选：A．
例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
依据题意列出关于m的不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】
，
根据题意可知在上恒成立，即在上恒成立，
也就是在恒成立，
而函数在上单调递增，则，故
故答案为：
例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由有两个不相等的实数根求得的取值范围.
【详解】
，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
【答案】(4，5)
【解析】
【分析】
由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.
【详解】
解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
故答案为：.
例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导后，转化为在上有解，转化为在上有解，利用函数单调性求出的最大值即可得解.
【详解】
，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，
即在上有解，
因为，且在上单调递减，
所以当时，，
所以.
故答案为：
例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【详解】
函数h(x)＝ln x－ax2－2x，则 ，
因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，有解，
令，而当x∈[1,4]时，令 ，即为 ，
此时(此时x＝1)，所以a>－1，
又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
故答案为：
例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数在上是单调函数，则的最大值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】
首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a的最大值即可.
【详解】
由题意可得：，由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故，
即在区间上恒成立，据此可得：，
即的最大值是3.
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知或在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可.
【详解】
，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即或在[1,2]上恒成立，
即或在[1,2]上恒成立.
令，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以或,
即 或 ，又a>0，所以或a ≥1,
故答案为：　
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
题型四：不含参数单调性讨论
例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数，其图象在处的切线过点．
(1)求a的值；
(2)讨论的单调性；
【解析】
(1)解：因为函数，
所以，，
则，
所以函在处的切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，解得；
(2)由（1）知；，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以
即当时，，当时，，
所以在上递增，在上递增；
例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数.
试判断函数在上单调性并证明你的结论；
【解析】
解：函数在上为减函数，证明如下：
因为，所以，
又因为，所以，，所以，
即函数在上为减函数.
例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
【解析】
(1)的定义域为，
，，
依题意得，所以.
(2)∵， ，
因为当时，，所以在上单调递增，且，故，即，∴：在上单调递增；
，，
∴，
而，，
∴在上单调递减，且，故，
∴，
∴在上单调递增，且，
故，即，∴函数在上单调递增；
例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数.
当时，求的单调区间
【解析】
当，定义域为，
，
在上单调递减，又
所以当时，单调递增
当时，，单调递减
所以的递增区间是，递减区间是
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例21．（2022·江西·二模（文））己知函数．
讨论的单调性；
【解析】
，
①当时，恒成立，在上单调递增
②当时，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【解析】
(1)由题设，且，则，
所以，，故在处的切线方程为.
(2)由且，
当时，即在定义域上递减；
当时，在上，递减，在上，递增，
综上，时递减；时在上递减，上递增.
例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数．
讨论函数的单调性；
【解析】
∵，
（Ⅰ）当时，在上单调递增，
（Ⅱ）当时，令，则，
令，则，
∴在上单调递增， 上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
情形二：函数为准一次函数
例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
当时，求函数的单调区间；
【解析】
，
.
当时，恒成立，则在上为减函数，
当时，令，可得，则，解得，
令，解得，
综上，当时，的减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，（为自然对数的底数，）．
求函数的单调区间；
【解析】
函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数，其中.
讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
当时，由于在上单调递增，所以至多有一解；
又，则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.
讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
情形三：函数为二次函数型
1.可因式分解
例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
讨论的单调性；
【解析】
由题意得的定义域为.
，由，得，
①若，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
②若，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例29．（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【解析】
(1)当时，
，
故切线方程为：
(2)
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数
讨论f（x）的单调性；
【解析】
(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，令，解得：
∴当时，；当时，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.
例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．
讨论函数的单调性；
【解析】
函数，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增.
综上可得：当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为，减区间为.
例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.
讨论函数的单调性；
【解析】
若时，，在上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．
求函数的单调区间；
【解析】
函数的定义域为
则：
当，时，恒成立，所以单调递减；
当时，令，解得或(舍去)，
令，，令，
所以在上单调递减；上单调递增．
综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为(0，)
例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【解析】
(1)解：当时，，
所以，
所以，，
故在点处的切线方程是，即；
(2)解：因为定义域为，
所以，
因为，
当，即当时，由，解得或，
当时，恒成立，
当，即当时，由，解得或，
综上，当时，的递增区间是，，
当时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，；
2.不可因式分解型
例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
【解析】
由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
例36．（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
【解析】
解：由已知可得，故可得．
当时，，故在单调递增；
当时，由，解得，或，
记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．
讨论的单调性;
【解析】
由题，
①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
②当时，令则，：
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
当，即时，，单调递增；
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
例38．（2022·全国·二模（理））已知函数．
讨论的单调性；
【解析】
设．
当时，则，在R上单调递增，
当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．
试讨论函数的单调性；
【解析】
函数定义域为R，求导得，而，
则当时，即在R上为增函数，
当时，由，得，即，解得或，
则有或，由，解得，
所以在上递减，在和上递增．
例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数.
讨论的单调性；
【解析】
定义域为R，
，
当时，恒成立，在R上单调递减，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在R上单调递减，
当时，则在上单调递减，在上单调递增.
题型六：分段分析法讨论
例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数（，且）
求函数的单调区间；
【解析】
的定义域为,（，且）
显见，.
①当时，，.
若，则，，得.
于是，.
若，则，，得，
于是，
∴当时，, 即在上单调递增
②当时，，
若，则，，得.
于是，
若，则，，得，
于是，
∴当时，.即在上单调递减
综上得，的单调递增区间为，单调递减区间为
【方法技巧与总结】
1．二次型结构，当且仅当时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．
2．对于不可以因式分解的二次型结构，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负．
3．注意定义域以及根的大小关系．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知，为的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导得，易知为奇函数，排除A、D选项；
又对求导，易得在是递减，即可求解.
【详解】
，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令，，
当，，在递减，
故选B．
3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，所以在上单调递增，
在上单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
又，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为(Z)，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，
所以在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，则为增函数，又函数为增函数，
所以在R上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，根据单调性解不等式即可得解.
【详解】
的定义域为，
因为，所以在上单调递减，
所以不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，根据导数恒大于等于0可得a的范围，然后判断可得.
【详解】
因为函数是增函数，
所以恒成立，即恒成立，
所以
反之，函数的导数不一定大于0.
故“函数在上是增函数”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意转化为存在，使得，即存在，使得，利用导数求在上的最小值即可.
【详解】
因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以.
故选：A
8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过构造函数得出的不等关系，然后逐项检验即可
【详解】
设
则
所以
设,令,得
易知函数在单调递减
所以,即,即
,所以对
,所以B错
,所以C错
,所以错
故选：A
二、多选题
9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断
【详解】
对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，
对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，
对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，
对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，
故选：BC
10．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【解析】
【分析】
构造函数，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定正确选项．
【详解】
令，所以，
因为，，所以，所以在上单调递增，
又，可得的解集为.
故选：CD.
11．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx
C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，利用基本函数的单调性，可得答案．
【详解】
对于A，∵与，都是增函数，∴在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx，由y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝3﹣x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函数，其开口向上，对称轴为x＝﹣1，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：ABD．
12．（2022·广东·模拟预测）已知，若不等式在上恒成立
，则a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
由条件可得在上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a的范围，由此确定正确选项.
【详解】
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以为，，
故选：AD.
三、填空题
13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
写出，为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数a的取值范围.
【详解】
由题得，为真命题，
所以当时，有解，
令，，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以只需，即实数a的取值范围是.
故答案为：
14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
结合函数的定义域、函数的法则和单调性即可求解，满足题意的答案不唯一.
【详解】
由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义城上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
15．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】
解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数是上的奇函数，且，若非零正实数满足，则的小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数为奇函数，得到，结合函数的单调性，得到，得到，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
因为函数为奇函数，可得，
由，可得，
又因为，可得，所以函数为单调递增函数，
所以，即，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的小值是.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）对进行求导，然后根据的取值范围分类讨论的单调性
（2）通过（1）确定函数的单调性，然后根据零点存在性定理列出关于的不等式解出的范围即可
(1)
，
（Ⅰ）当，即时，
，在单调递减
（Ⅱ）当，即时，
，在单调递增
（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；
当时，，单调递减
综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减
（Ⅱ）当时，在单调递增
（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减
(2)
由（1）知：当时，
即 ，在无零点
当时，
即，在无零点
当时，在单调递增，在单调递减
，
只需 即可
即 ，
综上所述，
18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理．
(1)
，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
(2)
由（1）可知．
①若，则，即，可得，
设，在上单调递减
所以至多有一解且，则，
代入解得．
②若，则，即，可得，
结合①可得，
因为，，
所以在存在一个零点．
当时，，
所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意
综上所述：．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
对求导，讨论、、分别判断的符号，进而确定的单调区间.
【详解】
由题设，，
当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，令 得或，
当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为.
当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
对求导，结合函数定义域，讨论、时的符号，确定的单调区间.
【详解】
函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.当时，判断的单调性；
【答案】函数在上单调递增，在上单调递减
【解析】
【分析】
把代入后对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解.
【详解】
解：当时，，，
，
令，则在上为减函数，且（1），
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以递增区间为，递减区间为.
22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.
【答案】在上单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】
求导函数，判断导函数的符号，确定原函数的单调性，并进一步可证明结论.
【详解】
由已知得， .
因为，所以.
因为当时，，所以在上单调递增;
所以当时，，即.

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