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专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积
【考点预测】
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
表面积公式
表面积 柱体 为直截面周长
锥体
台体
球
体积公式
体积 柱体
锥体
台体
球
知识点六：空间几何体的直观图
1．斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
【题型归纳目录】
题型一：空间几何体的结构特征
题型二：空间几何体的表面积与体积
题型三：直观图
题型四：最短路径问题
【典例例题】
题型一：空间几何体的结构特征
例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ）
A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形
C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
【答案】D
【解析】对于A，经过不共面的四点的球，即为该四面体的外接球，有且仅有一个，故A正确，
对于B，平行六面体的每个面都是平行四边形，故B正确，
对于C，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故C正确，
对于D，棱台的每条侧棱延长线交于一点，侧棱中有可能与底面垂直，故D错误，
故选：D
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
【答案】D
【解析】A.错误，经过不共线的三点确定一个平面；
B.错误，正八面体的八个面也都是正三角形；
C.错误，侧面都是正方形，但底面如果不是正多边形，也不是正棱柱，比如侧面是正方形，但底面是菱形的柱体不是正四棱柱；
D.正确，底面是直角三角形，一条侧棱和底面垂直，并且垂直落在非直角顶点处的三棱锥，即可满足条件.
故选：D
例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ）
A．三棱锥是正四面体 B．三棱锥不是正四面体
C．有一个面是正三角形 D．是正三角形且
【答案】C
【解析】由正三棱锥的定义，得三棱锥是正三棱锥等价于“有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形”，
对于A：因为三棱锥是正四面体等价于四个面是全等的正三角形，
所以“三棱锥是正四面体”是“三棱锥是正三棱锥”的充分不必要条件，
即选项A错误；
对于B：因为一个正三棱锥可能是正四面体，也可能不是正四面体，
所以“三棱锥不是正四面体”是“三棱锥是正三棱锥”的既不充分也不必要条件，即选项B错误；
对于C：因为三棱锥是正三棱锥等价于有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“有一个
面是正三角形”是“三棱锥是正三棱锥”的必要不充分条件，
即选项C正确；
对于D：因为三棱锥是正三棱锥等价于有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形，当但正三角形不一定是，所以“是正三角形且”是“三棱锥是正三棱锥”的充分不必要条件，即选项D错误.
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;
③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
故选：A
例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】C
【解析】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
故选：.
例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
故选：A.
例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式 定理 解法 函数 方程 常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V 棱数E 面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.
【答案】
【解析】因为某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，
则该32面体的棱数：；
因为顶点数V 棱数E 面数F之间总满足数量关系，
设顶点的个数为，则，
解得，
故答案为：；.
例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设正方体的棱长等于，
的中点到旋转轴的距离等于，而、两点到旋转轴的距离等于，
的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大．
由此可得A、C项不符合题意，舍去．
又在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面，
B项不符合题意，只有D项符合题意．
故选：D．
例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱
【答案】CD
【解析】
题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，
且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；
题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③中的几何体是三棱锥；
题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，
且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱.
故选:CD.
例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.
【答案】
【解析】根据题意， 碳（）由个顶点，有个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，
设正五边形有个，正六边形有个，
则，解得：，所以六元环的个数为个，
故答案为：
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的基本概念.
题型二：空间几何体的表面积与体积
例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积 下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．
故选：AC．
例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意得，
解得，又，则，．
故选：B.
例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知：，，故，则，所以.
故选：A.
例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上 下底面圆的直径，且，.，O分别为上 下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】分别过作圆柱的母线，连接，设圆柱的底面半径为
则三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥
即，则
圆柱的侧面积为
故选：D．
例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.
取BC的中点E，连接.
因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.
因为，所以在直角三角形中,，
则的面积为，
故该四棱锥的侧面积是.
故选：C
例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，设，则，.
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以等腰梯形的面积为，得.
所以，，，故方亭的体积为.
故选：C.
例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2cm，3cm.
设该棱台的高为h，则由棱台体积公式，
得： 得，
所以侧面等腰梯形的高，
所以，
故选：C
例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，
则其面积为，得，
所以扇环的两个圆弧长分别为和，
设圆台的上底半径，下底半径分别为，圆台的高为，
则
所以，，又圆台的母线长
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
故选：D.
例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，
设圆台上底面圆的半径，则
所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，
所以母线长，
所以，
故选：C.
例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：
连接，
因为，，且，
所以平面，
所以，
，
故选：D
例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．
【答案】
【解析】将鲁班锁补成正方体，然后以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点，
观察图形可知，到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在、、
、、、、、中取得，
结合图形可知、、、、
、、、，
则，，
，，
，
，
，，
所以，到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值，
所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），
设该正方体的棱长的最小值为，则，该正方体的表面积为.
故答案为：.
例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，
则，
∴，
设三棱柱底面边长为，
则，
∴，
∴三棱柱的侧面积为，
故答案为：
例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.
【答案】2
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.
故答案为：2
例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的个点截去一个正三棱锥，如此共截去个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为
，则原正四面体的表面积为_________．
【答案】
【解析】设正六边形的边长为，根据题意有，可得，
由题意可知，原正四面体的棱长为，故原正四面体的表面积为，
故答案为：.
例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.
【答案】
【解析】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，
因为，，则，，故，
因为平面，平面，，
所以，为直线、的公垂线，故，
因为，，，
所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1
所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为___________．
【答案】
【解析】根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱锥之后的体积，
因为该几何体中间截面三角形边长为，
所以该底面积，
因为圆柱的直径为4，所以该几何体一半的高为2，
所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2，
所以对应正三棱柱的体积，
正三棱锥的体积，
所以该几何体的体积为.
故答案为：
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
题型三：直观图
例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
【答案】【解析】过点作轴，且交轴于点，
过点作轴，且交轴于点，
则，
所以，
则，
所以原三角形的高，底边长为，
其面积为．
故答案为：．
例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题得,
所以.
故选：B．
例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
【答案】C
【解析】解：将其还原成原图，如图，
设，则可得，，
从而，
所以，即，
故是等腰直角三角形.
故选：C.
例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．12 C． D．
【答案】A
【解析】由题设，则原四边形中，又，
故，且，
所以四边形的周长为.
故选：A
例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，，
由此可知平面图形是如下图所示的，
其中，，，
.
故选：D.
例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在是等腰三角形，底角为，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】过点作轴，交轴于点，如图，
在中，，由正弦定理得，，
于是得，由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到轴距离是.
故选：D
【方法技巧与总结】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．
题型四：最短路径问题
例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
【答案】BCD
【解析】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，
由可得，则，，又，则，
即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.
故选：BCD.
例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
如图，将正方形、铺平在同一平面上，
当三点共线时，最小，最小值为，
故答案为：
例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱中，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）
①直三棱柱外接球的体积为
②存在点E，使得为钝角
③截面周长的最小值为
【答案】①③
【解析】取中点，中点，连接，矩形中可得，，
平面，所以平面，
，所以是外心，同理是的外心，
所以的中点是直三棱柱外接球的球心，
由已知，，又，所以，
所以外接球的体积为，①正确；
矩形中，，为直径的圆与相切，切点为的中点，当为切点时，．当是上其他点时，，②错误；
中，，把矩形与矩形摊平，得正方形，
当共线时，最短，最短为，
所以截面周长的最小值为，③正确．
故答案为：①③．
例36．（2022·河南·二模（理））在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
如图，连接、，将△沿翻折到与△在同一个平面，如下图：
已知△为等边三角形，△为等腰三角形，两个三角形有公共边，
则当P是中点时，、P、三点共线，此时取最小值．
故答案为：﹒
例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.
【答案】
【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，
因为，所以，
当虫子沿爬行时，距离最短，
又，
所以虫子爬行的最短距离是.
故答案为：.
例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则的最小值是_____________.
【答案】
【解析】
取中点，连接，由正四面体可知，又，面，
又，面，当最小时，面，故在线段上.
由面可得，又，，，
将沿翻折到平面上，如图所示：
易知，
则，
故的最小值即到的距离，即.
故答案为：.
例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，
，.
故选：C.
例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】将圆锥沿过点母线展开，由，若扇形圆心角为，则，
所得扇形圆心角，
由余弦定理得蚂蚁爬行的最短路径长为.
故选：B
【方法技巧与总结】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】如图是圆锥的轴截面，
由题意母线，高，
则，是锐角，
所以，于是得轴截面顶角，
设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，
当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，
故选：D.
2．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以，，所以，，
为矩形，设，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为，
所以圆锥的体积为.
故选：D
4．（2022·广东深圳·
高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cm B．1cm C．cm D．cm
【答案】D
【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，
则，，解得，．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，
即,过点作,为垂足，
所以，
该圆台形容器的高为，
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.
故选：C
6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】设该圆锥底面圆的半径为，则，故，即，解得
故选：B
7．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上 下底面的边长分别为2 4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
在正四棱台中，点分别为上、下底面的中心，连接，则由题意可知底面，，过点作交于点，则底面，四边形为矩形，，所以，因为，所以，
即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.
故选：B.
8．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，
小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得：，
∴，
故选：D.
9．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．与可能垂直
C．直线与平面所成角的最大值是 D．四面体的体积的最大是
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，连接
是以为斜边的等腰直角三角形,
为等边三角形,
面 , ,故A正确
对于B，假设，又
面，，
又,，故与可能垂直，故B正确
当面面时，此时面，即为直线与平面所成角
此时，故C错误
当面面时，此时四面体的体积最大，此时的体积为： ，故D正确
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
二、多选题
11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，BP最小，由于
到直线的距离，故A错误；
对于B，将平面翻折到平面上，如图，
连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，
在三角形ADC中，,，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，
平面，到平面的距离为定值，
又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确；
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故正确．
故选：BCD.
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C． D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】选项A，连接，由正方体可知，且平面，
而，又，所以平面，
而平面，所以，即，故A正确；
选项B，连接，，，，，，
由点，分别为线段，的中点，
得，平面，平面，
故平面，即点到平面的距离为定值，
又，，故为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
选项C，连接，，由点为线段上的动点，
设，，
故，，
所以
，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
故，即，，
故C正确；
选项D，
，
当时，的最小值为，故D错误.
故选：ABC.
14．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积 下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．
故选：AC．
三、填空题
15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如图)，则三角形ABC中边长与正三角形的边长相等的边上的高为______．
【答案】
【解析】设正三角形的边长为a，
∵
∴a=2，=
∴
故答案为：.
16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；
【答案】
【解析】圆柱底面积为，所以底面半径r为3，且圆柱的高h为4，所以圆柱的侧面积为.
故答案为：.
17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
【答案】
【解析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，
由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，则内切圆半径为，即，
所以，解得.
故答案为：
18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.
已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______.
【答案】
【解析】由题知，
因为，所以.
故答案为：.
四、解答题
19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且.
(1)求证：平面；
(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.
【解析】(1)证明：连接，设交于点，连接，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又平面，平面
所以平面；
(2)解：因为平面，
所以即为直线与底面所成的角的平面角，
即为直线与底面所成的角的平面角，
所以，
所以，
，，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
故，
，
所以.
20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
【解析】(1)证明：在矩形和菱形中，，，
所以，
所以，
所以、、、四点共面；
(2)解：在中，矩形中，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
又，
所以
21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．
(1)求证：BC1⊥平面ABC；
(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为，求线段CE的长．
【解析】(1)证明：∵AB⊥平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，
∴AB⊥BC1，
在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，
由余弦定理得，∴BC1＝，
∴BC2＋BC＝CC，∴BC⊥BC1，
又AB，BC 平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC．
(2)∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝S△BCE·AB＝S△BCE·1＝，
∴S△BCE＝＝CE·BC·sin∠BCE＝CE·，∴CE＝1．
22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【解析】(1)连接.
三棱柱中，，．
则，
则，则，∴，
又∵，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，
又由（1）知平面平面，平面平面
则平面，且．
则三棱锥的体积为，
则三棱柱的体积为6，
∵，∴在四边形中，，
又∵四棱锥的体积为，
∴三棱锥的体积为．专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积
【考点预测】
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
表面积公式
表面积 柱体 为直截面周长
锥体
台体
球
体积公式
体积 柱体
锥体
台体
球
知识点六：空间几何体的直观图
1．斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
【题型归纳目录】
题型一：空间几何体的结构特征
题型二：空间几何体的表面积与体积
题型三：直观图
题型四：最短路径问题
【典例例题】
题型一：空间几何体的结构特征
例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ）
A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形
C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ）
A．三棱锥是正四面体 B．三棱锥不是正四面体
C．有一个面是正三角形 D．是正三角形且
例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式 定理 解法 函数 方程 常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V 棱数E 面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.
例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（ ）
A． B．
C． D．
例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱
例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的基本概念.
题型二：空间几何体的表面积与体积
例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上 下底面圆的直径，且，.，O分别为上 下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C．4 D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．
例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.
例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.
例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的个点截去一个正三棱锥，如此共截去个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为，则原正四面体的表面积为_________．
例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.
例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为___________．
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
题型三：直观图
例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．12 C． D．
例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在是等腰三角形，底角为，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【方法技巧与总结】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．
题型四：最短路径问题
例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱中，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）
①直三棱柱外接球的体积为
②存在点E，使得为钝角
③截面周长的最小值为
例36．（2022·河南·二模（理））在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.
例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.
例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则的最小值是_____________.
例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3 B． C． D．
【方法技巧与总结】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，母线长为
，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
2．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cm B．1cm C．cm D．cm
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上 下底面的边长分别为2 4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56 B． C． D．
8．（2022·江西九江·
三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．与可能垂直
C．直线与平面所成角的最大值是 D．四面体的体积的最大是
10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C． D．的最小值为
14．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大
勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
三、填空题
15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如图)，则三角形ABC中边长与正三角形的边长相等的边上的高为______．
16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；
17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.
已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为
______.
四、解答题
19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且.
(1)求证：平面；
(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.
20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．
(1)求证：BC1⊥平面ABC；
(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为，求线段CE的长．
22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．

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