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专题07 不等式与不等式组
【考情预测】
本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主，体现了不等式的工具性，年年考查,是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2023年浙江各地中考还将继续考查这两个知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1、不等式的概念、性质及解集表示
1）不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2）不等式的基本性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3）不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
2、一元一次不等式及其解法
1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
3、一元一次不等式组及其解法
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组（其中） 数轴表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
4、列不等式（组）解决实际问题
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
【重难点突破】
考点1. 不等式的定义及性质
【解题技巧】
（1）含有不等号的式子叫做不等式．
（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．
【典例精析】
例1.（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
【答案】A
【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得，解得．故选：A．
【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
例2.（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏宿迁·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
变式2．（2021·浙江丽水市·中考真题）若，两边都除以，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】解：，两边都除以，得，故选：A．
【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
变式3．（2022·吉林·中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【详解】解：由题意，用不等式表示为，故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键．
考点2. 一元一次不等式解集及数轴表示
【解题技巧】
（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．
（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
【典例精析】
例1.．（2022·浙江嘉兴·中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：3x＋1＜2x 解得： 在数轴上表示其解集如下：
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于向左拐”是解本题的关键．
例2.（2022·浙江温州·中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）12；（2），见解析
【分析】（1）先计算算术平方根，乘方，绝对值，再作加减法；
（2）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上．
【详解】（1）原式．
（2），移项，得．
合并同类项，得．两边都除以2，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【点睛】本题主要考查了实数的运算和解不等式，解决问题的关键是熟练掌握实数的运算顺序和各运算法则，解不等式的一般方法，在数轴上表示不等式的解集．
【变式训练】
变式1.（2022·浙江丽水·中考真题）不等式3x>2x+4的解集是_____________.
【答案】
【分析】根据不等式的性质在不等式的两边同时减去2x即可求出x的取值范围．
【详解】解：3x＞2x+4，两边同时减去2x，∴x＞4，故答案为：.
【点睛】本题主要考查解不等式，要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，难度不大．
变式2．（2022·浙江绍兴·中考真题）关于的不等式的解是______．
【答案】
【分析】将不等式移项，系数化为1即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
变式3．（2022·浙江金华·中考真题）解不等式：．
【答案】
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
【详解】解：，，，，∴．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式解法的基本步骤是解题的关键．
考点3. 一元一次不等式组的解集及数轴表示
【解题技巧】
不等式解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来；
（2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．”
【典例精析】
例1.（2022·湖南娄底·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集中是否含有等号确定圆圈的虚实，方向，表示即可．
【详解】∵ 不等式组中，解①得，x≤2，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤2，数轴表示如下：故选C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集的数轴表示方法，熟练掌握解不等式的基本要领，准确用数轴表示是解题的关键．
例2.（2022·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组
【答案】
【分析】分别解出不等式①和②，再求两不等式解的公共部分，即可．
【详解】解不等式①：解不等式②：
∴原不等式组的解是
【点睛】本题考查解不等式组，注意最终结果要取不等式①和②的公共部分．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江温州市·中考真题）不等式组的解为______．
【答案】
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【详解】解：，由①得，x＜7；由②得，x≥；
根据小大大小中间找的原则，不等式组的解集为．故答案为：
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
变式2．（2022·浙江宁波·中考真题）计算(1)计算：．(2)解不等式组：
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
【解析】 (1)解：原式；
(2)解：，解不等式①，得，解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
变式3．（2021·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误，正确的过程见解析
【分析】利用一元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解题．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：由①，得，所以，所以；
由②，得，所以，所以，所以，
将不等式组的解集表示在数轴上：
所以原不等式组的解是．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点4. 一元一次不等式（组）的整数解问题
【解题技巧】
此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．
【典例精析】
例1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）满足不等式组的整数解是____________．
【答案】2
【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x的整数解即可．
【详解】解：，解不等式①得，；解不等式②得，
∴不等式组的解集为：∴不等式组的整数解为2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，解答此类题目的关键是熟练掌握求不等式组解集的方法．
例2．（2022·河北·中考真题）整式的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
【解析】(1)解：∵
当时，；
(2)，由数轴可知，
即，，解得，
的负整数值为．
【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·青海·中考真题）不等式组的所有整数解的和为______.
【答案】0
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是解集的公共部分，然后确定整数解，然后将各整数解求和即可．
【详解】解：解不等式，得：x≥﹣2，
解不等式，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所以不等式组的所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，故答案为：0．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，正确求解不等式组的解集是解题的关键．
变式2．（2021·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．
【答案】2
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
变式2．3．（2022·安徽淮南·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2
【答案】C
【分析】①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解；
【详解】依题意得，即：b=3 ,即a=1
所以整理得
解得 所以整数解是0，1故选：C
【点睛】此题考查分式的性质，求一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义法则是解本题关键．
考点5. 根据不等式（组）的解（集）求参数
【解题技巧】
求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．
【典例精析】
例1．（2022·湖南·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值．
【详解】解不等式，，
∴，∴，解不等式，得，∴，
∴的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，∴不等式组的整数解应为：2，3，4，∴的最大值应为5故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
例2．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】##
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【变式训练】
变式1．（2022·四川德阳·九年级专题练习）若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（ ）
A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2
【答案】B
【详解】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x=且x≠5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，7．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，故选B．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】解：由关于的一元一次不等式组可得：，
∵不等式组有解，∴，解得：；故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
变式3．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0 x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
考点6. 一元一次不等式（组）的应用
【解题技巧】
求解此类题目的难点是建立“不等式（组）模型”，通过求解不等式（组）的解集并与实际相结合．
【典例精析】
例1.（2022·浙江杭州·校考模拟预测）某班要奖励学习进步者，班委决定购买三档奖品共20件，预算费用不超过200元，奖品价格如下表所示：
奖品
售价（单位：元/件） 20 12 6
若档奖品购买3件，则档至多能买____________件．
【答案】6
【分析】设档至多能买件，根据题意可列不等式，求解不等式并结合实际情况即可获得答案．
【详解】解：设档至多能买件，由题意，
可得，解得，
∵奖品数为整数，∴．故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
例2.（2022·浙江温州·统考二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．(1)求排球和篮球的单价．
(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？
【答案】(1)排球单价为18元，篮球45元；(2)购买120个排球费用最少；(3)211个
【分析】（1）设排球x元，篮球y元，列出方程组求解即可；
（2）设排球m个，篮球（120-m）个，记总费用为W元，得W=，再根据函数的增减性解答即可；（3）设购进a个排球，b个篮球，c个足球，列出方程组，再求出符合条件的值．
(1)解：设排球x元，篮球y元
由题意得：解得答：排球单价为18元，篮球45元
(2)设排球m个，篮球（120-m）个 记总费用为W元，则W=
∵排球的数量不少于篮球数量的，∴∴
∵，∴∴120≥
∵k=-27＜0，∴W随着m的增大而减小.
∴当x=120时，W的最小值为2160元∴购买120个排球费用最少；
(3)设购进a个排球，b个篮球，c个足球，总量为n，
由题意得解得
∵∴ ∵b为正整数且为20的倍数∴b可取20、40、60
总量∴当b最小=20时，n最小=211
∴学校至少可以购进211个球类器材
【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用，关键是根据题意找出等量关系，列出函数关系式．
【变式训练】
变式1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
【答案】32
【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
变式2．（2019·浙江温州·中考真题）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人 （2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元 ②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队 求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【答案】（1）该旅行团中成人17人，少年5人；（2）①1320元，②最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中当成人10人，少年2人时购票费用最少.
【分析】（1）设该旅行团中成人人，少年人，根据儿童10人，成人比少年多12人列出方程组求解即可；（2）①根据一名成人可以免费携带一名儿童以及少年8折，儿童6折直接列式计算即可；
②分情况讨论，分别求出在a的不同取值范围内b的最大值，得到符合题意的方案，并计算出所需费用，比较即可.
【解析】解：（1）设该旅行团中成人人，少年人，根据题意，得，解得.
答：该旅行团中成人17人，少年5人.
（2）∵①成人8人可免费带8名儿童，
∴所需门票的总费用为：（元）.
②设可以安排成人人、少年人带队，则.
当时，
（ⅰ）当时，，∴，
∴，此时，费用为1160元.
（ⅱ）当时，，∴，
∴，此时，费用为1180元.
（ⅲ）当时，，即成人门票至少需要1200元，不合题意，舍去.
当时，
（ⅰ）当时，，
∴，∴，此时，费用1200元.
（ⅱ）当时，，∴，
∴，此时，不合题意，舍去.
（ⅲ）同理，当时，，不合题意，舍去.
综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中当成人10人，少年2人时购票费用最少.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
变式3．（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）我校参加2022年“校本研修示范校”评比，需要制作几份相同的材料．该材料用A4纸打印，每份有170张纸，纯文字的纸张用黑白打印，含图片的纸张彩色黑白皆可打印，彩色打印费用2元/张，黑白打印费用如下表：
纸张数量（张）
黑白（元/张） 1 0.9 0.8
该材料封面、封底均含图片，打印方案如下：
普通版：封面、封底用彩色打印，其余都用黑白打印；
精美版：含图片纸张用彩色打印，其余都用黑白打印．
(1)若制作1份普通版和1份精美版共需362元，求该材料（1份）中含图片的张数；(2)若每份材料中含图片的纸张数不少于纯文本纸张数的，但又不大于纸张总数的，求制作4份精美版材料的最少费用；(3)在（1）的条件下．原准备参加乐清市评比，已经制作了3份普通版材料；现直接被推荐到温州参评，需提交7份精美版材料，为节约费用，两种版本的材料可以拆开重复利用．请你设计一种制作方案，将还需打印的纸张数量和费用填入下表．（温馨提示：最低费用方案得4分，其它方案酌情给分）
黑白纸张（张） 彩色纸张（张） 费用
【答案】(1)该材料（1份）中含图片的纸张有20张
(2)制作4份精美版材料的最少费为801.2(3)见解析
【分析】（1）设含图片的纸张有张，根据题意：1份普通版的费用+1份精美版的费用=362，即可列出方程，解方程即可；（2）设含图片的纸张有张，制作4份费用为元，根据题意列出关于x的不等式组，解不等式组可得x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用函数的性质即可求得最少费用；（3）7份精美版材料需要含图片的纸张140张，黑白需打印（张）；其中已有含图片的纸张有6张，尚缺140 6=134（张）；黑白的已有（张），尚缺（张），根据以上情况即可确定制作方案．
(1)设含图片的纸张有张
解得 即含图片的纸张有20张；
(2)设含图片的纸张有张，制作4份费用为元
解得：即
随着的增大而增大，当时，有最小值801.2
即制作4份精美版材料的最少费用为801.2元；
(3)7份精美版材料需要含图片的纸张140张，黑白需打印（张）；
其中已有含图片的纸张有6张，尚缺140 6=134（张）；
黑白的已有（张），尚缺（张），
根据黑白打印费用表知，黑白纸张打印601张比打印600张更省钱，填表如下：
黑白纸张（张） 彩色纸张（张） 费用
601 134 748.8
【点睛】本题是方程、函数的应用，理解题意，并正确列出方程及函数关系式是解题的关键．
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专题07 不等式与不等式组
【考情预测】
本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主，体现了不等式的工具性，年年考查,是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2023年浙江各地中考还将继续考查这两个知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1、不等式的概念、性质及解集表示
1）不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2）不等式的基本性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3）不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
2、一元一次不等式及其解法
1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
3、一元一次不等式组及其解法
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组（其中） 数轴表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
4、列不等式（组）解决实际问题
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
【重难点突破】
考点1. 不等式的定义及性质
【解题技巧】
（1）含有不等号的式子叫做不等式．
（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．
【典例精析】
例1.（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
例2.（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏宿迁·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·浙江丽水市·中考真题）若，两边都除以，得（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·吉林·中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
考点2. 一元一次不等式解集及数轴表示
【解题技巧】
（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．
（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
【典例精析】
例1.．（2022·浙江嘉兴·中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
例2.（2022·浙江温州·中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．
【变式训练】
变式1.（2022·浙江丽水·中考真题）不等式3x>2x+4的解集是_____________.
变式2．（2022·浙江绍兴·中考真题）关于的不等式的解是______．
变式3．（2022·浙江金华·中考真题）解不等式：．
考点3. 一元一次不等式组的解集及数轴表示
【解题技巧】
不等式解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来；
（2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．”
【典例精析】
例1.（2022·湖南娄底·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2.（2022·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组
【变式训练】
变式1．（2021·浙江温州市·中考真题）不等式组的解为______．
变式2．（2022·浙江宁波·中考真题）计算(1)计算：．(2)解不等式组：
变式3．（2021·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
考点4. 一元一次不等式（组）的整数解问题
【解题技巧】
此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．
【典例精析】
例1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）满足不等式组的整数解是____________．
例2．（2022·河北·中考真题）整式的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【变式训练】
变式1．（2022·青海·中考真题）不等式组的所有整数解的和为______.
变式2．（2021·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．
变式3．（2022·安徽淮南·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2
考点5. 根据不等式（组）的解（集）求参数
【解题技巧】
求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．
【典例精析】
例1．（2022·湖南·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【变式训练】
变式1．（2022·四川德阳·九年级专题练习）若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（ ）
A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2
变式2．（2021·黑龙江中考真题）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
变式3．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
考点6. 一元一次不等式（组）的应用
【解题技巧】
求解此类题目的难点是建立“不等式（组）模型”，通过求解不等式（组）的解集并与实际相结合．
【典例精析】
例1.（2022·浙江杭州·校考模拟预测）某班要奖励学习进步者，班委决定购买三档奖品共20件，预算费用不超过200元，奖品价格如下表所示：
奖品
售价（单位：元/件） 20 12 6
若档奖品购买3件，则档至多能买____________件．
例2.（2022·浙江温州·统考二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．(1)求排球和篮球的单价．
(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？
【变式训练】
变式1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
变式2．（2019·浙江温州·中考真题）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人 （2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元 ②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队 求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
变式3．（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）我校参加2022年“校本研修示范校”评比，需要制作几份相同的材料．该材料用A4纸打印，每份有170张纸，纯文字的纸张用黑白打印，含图片的纸张彩色黑白皆可打印，彩色打印费用2元/张，黑白打印费用如下表：
纸张数量（张）
黑白（元/张） 1 0.9 0.8
该材料封面、封底均含图片，打印方案如下：
普通版：封面、封底用彩色打印，其余都用黑白打印；
精美版：含图片纸张用彩色打印，其余都用黑白打印．
(1)若制作1份普通版和1份精美版共需362元，求该材料（1份）中含图片的张数；(2)若每份材料中含图片的纸张数不少于纯文本纸张数的，但又不大于纸张总数的，求制作4份精美版材料的最少费用；(3)在（1）的条件下．原准备参加乐清市评比，已经制作了3份普通版材料；现直接被推荐到温州参评，需提交7份精美版材料，为节约费用，两种版本的材料可以拆开重复利用．请你设计一种制作方案，将还需打印的纸张数量和费用填入下表．（温馨提示：最低费用方案得4分，其它方案酌情给分）
黑白纸张（张） 彩色纸张（张） 费用
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专题07 不等式与不等式组
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·广西·中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先移项，合并同类项，再不等式的两边同时除以2，即可求解．
【详解】，，，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
2．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
【详解】∵不等式的解集为x≤4，∴数轴表示为： ，故选C．
【点睛】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
3．（2022·广东深圳·中考真题）一元一次不等式组的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解出不等式组的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解．
【详解】解：不等式，移项得：，
∴不等式组的解集为：，故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示解集，根据不等式的解集，利用找不等式组的解集的规律的出解集是解题的关键．
4．（2022·台湾·统考模拟预测）有一间公司请水电工程厂商安装日光灯管，厂商提供两种方案如表所示．
方案 施工内容 施工费用（含材料费）
基本方案 安装90支日光灯管 45000元
省电方案 安装120支日光灯管 60000元
已知支功率皆为瓦的灯管都使用小时后消耗的电能（度），若每支灯管使用时间皆相同，且只考虑灯管消耗的电能并以每度5元计算电费，则两种方案相比，灯管使用时间至少要超过多少小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用？　　
A．12200 B．12300 C．12400 D．12500
【答案】D
【分析】根据题意可列不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意，得，解得，
灯管使用时间超过12500小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．
5．（2022·湖南湘潭·中考真题）若，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
【详解】解：A．因为，不等边两边同时加上2得到，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为，不等边两边同时乘-3得到，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为，不等边两边同时除以4得到，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为，不等边两边同时减1得到，故原选项错误，此项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．
6．（2021·河北中考真题）已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可．
【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得，
∴“”中应填的符号是“”，故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键．
7．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】解：由题意得，当时，
即时，，则，解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，即时，，则，解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．
8．（2023·成都市·中考模拟）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，
∵该不等式组无实数解，∴，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
9．（2022·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
10．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
【答案】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．
【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，∴，解得，
∵这三个数为边长能构成三角形，∴，解得，
综上所述，的取值范围为，故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
11．（2023·湖北十堰·模拟预测）规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3，若[x+0.5]＝2，且[1﹣x]＝﹣2，则x的取值范围为_____．
【答案】．
【分析】由，可得，解不等式，由，可得，解不等式，取两双边不等式的公共部分即可 ．
【详解】
解：∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴x的取值范围为．故答案为：．
【点睛】本题考查最大整数问题，掌握最大整数的定义，解题关键是根据最大整数列出和两个双边不等式．
12．（2022·湖北十堰·中考真题）关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为_________．
【答案】
【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
【详解】解：该不等式组的解集为故答案为：
【点睛】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，数形结合是解题的关键．
13．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组有解,∴不等式组的解集为 ，
不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，解得．答案为：．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的
答案．
14．（2022·安徽·中考真题）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解： 去分母，得x-3≥2，移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
15．（2022·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】3
【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．
16．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3－5，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】原不等式的解集为；见解析
【分析】通过移项，合并同类项及不等式的两边同时除以2，进行求解并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】移项，得，合并同类项，得，
不等式的两边同时除以2，得，
所以，原不等式的解集为．如图所示：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，及将解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17．（2022·湖北武汉·中考真题）解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得_________；
(2)解不等式②，得_________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集是_________．
【答案】(1)(2)(3)详见解析(4)
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”原则取所含不等式解集的公共部分，即确定为不等式组的解集．
(1)解：解不等式①，得
(2)解：解不等式②，得
(3)解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)解：由图可得，原不等式组的解集是：
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】，在数轴上表示解集见解析
【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
在数轴上表示解集如图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“”时要用实心点表示．
19．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，串联在一起的每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，从左到右的第1个至第3个曲别针所挂卡片上的整数分别为﹣3，﹣1，4．
(1)求前三个曲别针所挂卡片上数的积；(2)若前四个曲别针所挂卡片上数的积不大于它们的和，那么第四张卡片上的整数有最大值还是最小值？并求出这个值．
【答案】(1) (2)第四张卡片上的整数有最大值为0
【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；
（2）设张卡片上的整数为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：；
（2）解：设张卡片上的整数为，根据题意可得，
，即，解得，
∵为整数，∴第四张卡片上的整数有最大值为0．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，一元一次不等式的应用，正确的计算是解题的关键．
20．（2022·河南洛阳·统考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】(1)甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元
(2)购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解；（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元,根据题意即可得到w与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得∴
．
∵，∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程组或函数关系式．
21．（2022·广东·中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解出两个不等式，根据求不等式组解集的口诀得到解集．
【详解】解：解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．
【点睛】本题考查求不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
22．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元
(2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解；（2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．
【解析】(1)解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：
，解得：，∴1.25x=5，
答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；
(2)解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：
，解得：，
∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6种购买方案，
设总费用为w元，∴，∵-1＜0，∴w随a的增大而减小，
∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100-a=75，
答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23．（2022·四川成都·中考真题）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
(1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？
【答案】(1)当时，；当时，(2)0.5小时后
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．
【解析】 (1)由函数图像可知，设时，，将代入，得，则，
当时，设，将，代入得
解得
(2)由（1）可知时，乙骑行的速度为，而甲的速度为，则甲在乙前面，
当时，乙骑行的速度为，甲的速度为，
设小时后，乙骑行在甲的前面则解得
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，立即题意是解题的关键．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·重庆大渡口·校校考二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据关于的不等式组无解求出数的范围，再根据关于的分式方程的解不小于1求出数的范围，然后再取数的范围的公共部分，从而即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
于x的不等式组无解，，；
又解分式方程，得且，
关于y的分式方程的解不小于1，
且，且；综上可知：，
满足条件的所有整数a的和为：，故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握已知一元一次不等式组的解集求参数的范围、已知分式方程的解的范围求参数的取值范围的解题方法是解答此题的关键．
2．（2022·重庆大渡口·校考二模）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则，以上结论正确有( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据程序运行图，对选项逐个判断即可．
【详解】解：①，，停止运行，输出，正确；
②根据题意可得：，解得，x的最大值是8，正确；
③当输入为时，，，继续运行，则，
此时输出结果也为21，但是输入的数不为，错误；
④由题意可得：当时，会不停止运行，解得，正确；正确的是①②④故选：D
【点睛】此题考查了程序流程图，涉及了一元一次不等式（组），解题的关键是理解题意，读懂程序流程图，正确列出不等式．
3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，在中，，即，
所以，，在中，，所以，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
4．（2022·山东泰安·中考真题）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．故选：D．
【点睛】此题考查解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：解得：
又题意得：且∴且，
由得：由得：
∵解集为∴解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
6．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，解①得解集为，解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，∴，解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，故选D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
7．（2021·湖南常德市·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．
【答案】21
【分析】设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可．
【详解】解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得，
，由①得，，结合②得，解得，
所以，刘凯的蓝珠最多有21个．故答案为：21．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，能够找出不等关系是解答此题的关键．
8．（2020·四川绵阳市·中考真题）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
【答案】125
【分析】设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，根据题意列出不等式求出的范围，然后根据题意列出与的函数关系即可求出答案．
【详解】解：设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，
由题意可知：，解得：，
此项目获得利润，
∵∴随的增大而减小，∴当时，
的最大值为万元，故答案为：125．
【点睛】本题考查一元一次不等式和一次函数，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
【答案】504
【分析】设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可求（3a+4b）（x-y）=429，列出不等式组，利用整数解，可求a=3，b=6，即可求解．
【详解】解：设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可得：（3xa+4xb）-（3ay+4yb）=429，解得：（3a+4b）（x-y）=429，
∵，∴11＜x-y＜，
∵a，b，x，y为非负整数，
∴x-y=13，3a+4b=33，∴a=3，b=6，x=13+y，
∴3xa+4b×x+3ay+4y×b=9x+15x+9y+15y =312+48y，
∴当y=4时，312+48y =312+48×4=504，故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，利用整数解求出a，b值是解题的关键．
10．（2022·江苏无锡·统考二模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
【答案】 > 1.27
【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=，可求k>1；根据和，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S1，
∵ ∴ ∴
故答案为：>，1.27．
【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
11．（2022·山东泰安·模拟预测）若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为______．
【答案】14
【分析】由关于的不等式组可得，关于的分式方程可得，再根据不等式组有且只有五个整数解和分式方程的解为非负整数即可得到的值，进而求解．
【详解】解：解关于的不等式组，得，
关于的不等式组有且只有五个整数解，可取6、5、4、3、2．
要取到2，且取不到，，，，
解关于的分式方程，得，
关于的分式方程解为非负整数，，，且是2的整数倍，
又，，的取值为6、8，的所有整数和为，故答案为：14．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键．
12．（2022·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
【详解】解：关于x的不等式，解得：，
关于x的不等式的解也是不等式的解，
，不等式的解集是，，解得：，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
13．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：，解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2 ∵x>m，∴m≤2，故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
14．（2022,山东聊城·中考模拟）若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．
【答案】或1.
分析: 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决.
【解析】∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x-1，
∴2x-1≤x＜2x-1+1，解得，0＜x≤1，
∵2x-1是整数，∴x=0.5或x=1，答案为x=0.5或x=1.
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式.
15．（2022·重庆·校考二模）“几处早莺争暖树，谁家春燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
【答案】740
【分析】设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士辆，乙型巴士载x人，甲型巴士载2x人，根据题意，得，求得x，b，后根据不等式的性质，取值的整数性质，讨论计算即可．
【详解】解：设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士辆，乙型巴士载x人，甲型巴士载2x人，
根据题意，得，解得，因为，所以；
因为，且a为整数，b为整数，x为整数，所以，
所以（人），故答案为：740．
【点睛】本题考查了方程组的解法，不等式组的解法，整数的性质，熟练掌握方程组的解法，不等式组的解法是解题的关键．
14．（2022·广西梧州·中考真题）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg (2)
【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，得到总收益为12×3a=36a元；加工成龙眼干后总收益为ax元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax≥36a，解出即可；(2)设龙眼干的售价为y元/千克，当千克时求出新鲜龙眼的销售收益为元，龙眼干的销售收益为元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到，解出；然后再当千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解．
(1)解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，∴ax≥36a，解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg．
(2)解：千克的新鲜龙眼一共可以加工成千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为元，当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴，解出元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，∴，∴龙眼干的销售总收益为，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差元；
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
龙眼干的总销售收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
元，故与的函数关系式为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
15．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根 (3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组，
解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组，解得：，由此即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得，结合函数图像的性质，可知w随m的增大而减小，即当时．
(1)解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
(2)根据题意，得，解得，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
(3)设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，∴w随m的增大而减小，∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
16．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
(1)解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：，解得：；经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，解得：，
∵-0.8＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
17．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：
解不等式：．
解：∵，∴原不等式可化为．
∵两数相乘，同号为正，
∴①或② 由①得，由②得，
∴原不等式的解集为或．
请用以上方法解下列不等式：(1)； (2)
【答案】(1)或 (2)
【分析】（1）根据题意可得两个不等式组: 或，解不等式即可求解；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵， ∴．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
①或②∴解不等式组①，得
解不等式组②，得，故原不等式的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（2）解：由题得不等式，根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得①，或②，∴解不等式组①得，，不等式组②无解，
∴原不等式的解集为．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
18．（2023·河北·一模）对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝．
（解决问题）（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}＝__________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为__________；（2）如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值．
【答案】（1），；（2）－3或0
【分析】（1）确定特殊角的三角函数值，后排序确定中位线即可；根据定义构造不等式组，解不等式组即可；（2）根据不等式的性质，得x＋2＜x＋4,故需要分最大数是2和x+4两种情形解答．
【详解】解：（1）∵sin45°＝，cos60°＝，tan60°＝，且＜＜，
∴M{sin45°，cos60°，tan60°}＝；∵max{3，5－3x，2x－6}＝3，
∴，解①得x≥；解②得，∴x的取值范围为：，故答案为：，
（2）∵2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，根据不等式的性质，得x＋2＜x＋4,需要分最大数是2和x+4两种情形解答，
①当x＋4≤2时，即x≤－2，原等式变为：2（x＋4）＝2，x＝－3，
②x＋2≤2≤x＋4时，即－2≤x≤0，原等式变为：2×2＝x＋4，x＝0，
综上所述，x的值为－3或0．
【点睛】本题考查了新定义问题，中位数，不等式的性质，不等式组，一元一次方程，正确理解新定义，活用分类思想，准确转化为对应的数学模型是解题的关键．
19．（2022·河北沧州·统考二模）解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…
请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
【答案】(1)(2)2或3
【分析】（1）把方程①整体代入③得到关于y的方程，求得，再把代入①得到，从而得到方程组的解；（2）把方程组的解代入得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数解即可．
【详解】（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：，解得：，
把代入①得：，∴原方程组的解是；
（2）由（1）可知方程的解为，
∵方程的解满足，
∴，解得．∴整数a为2或3．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的整数解等知识，读懂题意，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键．
20．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元；（2）花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．
【分析】（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解；（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意可得，，然后求出不等式组的解集，进而根据一次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得：
，解得：，∴花生每千克的售价为50-40=10元；
答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意得：
，解得：，∴，
∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m=30时，w有最大值，最大值为；
答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．
【点睛】本题主要考查一次函数及一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握一次函数及一元一次不等式组的实际应用是解题的关键．
21．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
(2)正整数m的最大值为22
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
【解析】 (1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
根据题意，得．解这个不等式，得．
设获得的利润为w元，根据题意，得
．
∵，∴w随x的增大而减小．
∴当时，w的最大值为．根据题意，得．
解这个不等式，得．∴正整数m的最大值为22．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 ……
脚长（毫米） ……
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
序号n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋号 22 23 24 25 26 27 ……
脚长 ……
脚长 160 165 170 175 180 185 ……
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【答案】（1），；（2）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；（3）应购买44号的鞋．
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；（2）把n用含有an的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
【详解】（1）
（2）由与解得：
把代入得所以
则得：，即
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是．
（3）根据可知能被5整除,而所以
将代入中得故应购买44号的鞋．
【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
23．（2022·山东泰安·中考真题）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】(1)A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元
(2)为使利润最大，购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【分析】（1）设A和B的进价分别为x和y，台数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．
（2）设购买B平板电脑a台，则购进A种平板电脑台，由题意可得到不等式组，解不等式组即可．
【解析】(1)设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元．由题意得，，
解得，答：A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；
(2)设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑台，
由题意，得 ，解得12.5≤a≤15，
∵a为整数，∴a=13或14或15．
设总利润为w，则：w=（700-500）×+（1300-1000）a=-100a+12000，
∵-100＜0，∴w随a的增大而减小，
∴为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台，A种平板电脑＝34台．
答：购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
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专题07 不等式与不等式组
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·广西·中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东深圳·中考真题）一元一次不等式组的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·台湾·统考模拟预测）有一间公司请水电工程厂商安装日光灯管，厂商提供两种方案如表所示．
方案 施工内容 施工费用（含材料费）
基本方案 安装90支日光灯管 45000元
省电方案 安装120支日光灯管 60000元
已知支功率皆为瓦的灯管都使用小时后消耗的电能（度），若每支灯管使用时间皆相同，且只考虑灯管消耗的电能并以每度5元计算电费，则两种方案相比，灯管使用时间至少要超过多少小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用？　　
A．12200 B．12300 C．12400 D．12500
5．（2022·湖南湘潭·中考真题）若，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河北中考真题）已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
8．（2023·成都市·中考模拟）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为____．
10．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
11．（2023·湖北十堰·模拟预测）规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3，若[x+0.5]＝2，且[1﹣x]＝﹣2，则x的取值范围为_____．
12．（2022·湖北十堰·中考真题）关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为_________．
13．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
14．（2022·安徽·中考真题）不等式的解集为________．
15．（2022·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
16．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3－5，并把解集在数轴上表示出来．
17．（2022·湖北武汉·中考真题）解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得_________；(2)解不等式②，得_________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集是_________．
18．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式，并在数轴上表示解集．
19．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，串联在一起的每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，从左到右的第1个至第3个曲别针所挂卡片上的整数分别为﹣3，﹣1，4．
(1)求前三个曲别针所挂卡片上数的积；(2)若前四个曲别针所挂卡片上数的积不大于它们的和，那么第四张卡片上的整数有最大值还是最小值？并求出这个值．
20．（2022·河南洛阳·统考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
21．（2022·广东·中考真题）解不等式组：．
22．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
23．（2022·四川成都·中考真题）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
(1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·重庆大渡口·校校考二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A． B． C． D．
2．（2022·重庆大渡口·校考二模）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则，以上结论正确有( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
4．（2022·山东泰安·中考真题）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
6．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
7．（2021·湖南常德市·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．
8．（2020·四川绵阳市·中考真题）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
9．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
10．（2022·江苏无锡·统考二模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
11．（2022·山东泰安·模拟预测）若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为______．
12．（2022·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
13．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
14．（2022,山东聊城·中考模拟）若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．
15．（2022·重庆·校考二模）“几处早莺争暖树，谁家春燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
14．（2022·广西梧州·中考真题）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg (2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
15．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
16．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
17．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：
解不等式：．
解：∵，∴原不等式可化为．
∵两数相乘，同号为正，
∴①或② 由①得，由②得，
∴原不等式的解集为或．
请用以上方法解下列不等式：(1)； (2)
18．（2023·河北·一模）对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，
例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝．
（解决问题）（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}＝__________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为__________；（2）如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值．
19．（2022·河北沧州·统考二模）解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
20．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
21．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
22．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 ……
脚长（毫米） ……
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
序号n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋号 22 23 24 25 26 27 ……
脚长 ……
脚长 160 165 170 175 180 185 ……
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
23．（2022·山东泰安·中考真题）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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