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第14讲：坐标系中特殊三角形存在性问题
一、知识梳理
1、等腰三角形存在性问题（菱形存在性）
①两定一动作两圆一线
②多个动点情况以顶点为分类标准找线段相等。
2、直角三角形存在性问题（矩形存在性）
以直角顶点为分类标准，用好K字型的相似进行处理。
3、等腰三角形存在性问题（正方形存在性）
以直角顶点为分类标准，用好K字型的全等处理。
4.45°角问题
旋转生等腰直角处理。
二、例题讲解
例题1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
例题2.已知反比例函数y＝和一次函数y＝2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标；
（3）利用②的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？
例题3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
三、课堂训练
1.如图，点A（3，1），B（﹣1，n）是一次函数y1＝ax+b 和反比例函数y2＝图象的交点，
（1）求两个函数的解析式
（2）观察图象直接写出y1≥y2自变量x的取值范围．
（3）在平面内求一点M，使△AOM是以OA为直角边等腰直角三角形．
如果还存在其他点M，直接写出答案．
2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
四、举一反三
1.如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，4）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点，
（1）点D的坐标为　 　，点E的坐标为　 　；
（2）动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝S△ODE．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②连接PO、PE，当PO﹣PE的值最大时，求点P的坐标；
③若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
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