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第6讲 导数的运算及其几何意义
知识梳理
1.定义：函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率：
叫做y=f（x）在处导数，
记作
2.几何意义：函数f（x）在点处的导数的几何意义是在曲线y=f（x）上点处的切线的斜率.相应地，切线方程为.
一、导数的概念及导数的四则运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
(c为常数)
2.导数的运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
3.函数求导应先注意函数的定义域.
4.对复杂函数求导时应注意先对函数进行化简.
5.复合函数求导只要求类型.
二．求曲线的切线方程
1.函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率.
2.切点既在原曲线上，又在切线方程上.既满足曲线的方程，又满足切线方程.
3.求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程：
（1）若是求曲线上在点处的切线的方程，则点为切点，相应地切线方程为.
（2）若是求曲线上过点的切线的方程，则先应把切点设为，相应地切线方程为，再把点代入切线方程，把解出来，有几个就有几条切线方程.
二、典型例题
考点1、导数的计算
例1、求下列函数的导数：
1.； 2.； 3.
变式：（1），若，则等于(　　)
（2）已知，则＝________.
（3）求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3).
考点2 、导数的几何意义
求切线方程
例2、(1)设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
(2)已知函数，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线相切，则直线l的方程为________．
求切点坐标
例3、设函数若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为(　　)
3.求参数的值
例4、(1)已知函数(其中是自然对数的底数，)，若在处的切线与直线垂直，则a＝(　　)
　　　 　　　
(2)已知直线与曲线相切，则的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－1
C．－ D．1
变式：(1)若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________．
(2)直线与曲线相切于点，则的值等于________．
(3)曲线在点(1,0)处的切线方程为________．
(4)已知函数的图象在点处的切线过点(2,7)，则＝________.
(5)已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,2)处的切线方程是________．
(6)已知曲线在点(1,1)处的切线与曲线相切，则a＝________.
三、课堂训练
1.求下列函数的导数：
（1）　 （2）　 　（3）
（4） （5）
（6） （7）
2.已知函数，
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
（3）如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程.
3.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.求函数的解析式；
4.设若，求在点（2，）的切线方程
5.已知曲线C ( http: / / www. / wxc / ) ，直线l:，且l与C切于点，求直线l的方程及切点坐标.
6.设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.
7.已知函数，曲线在点处的切线方程为，求a、b的值
8.已知函数，证明：曲线的切线过点.
四、举一反三
1.已知直线与曲线切于点（1，3），则的值为（　　）
A.3 B.－3 C.5 D.－5
2.曲线在点A（0，1）处的切线斜率为（ ）
A.1 B.2 C. D.
3.曲线在点处的切线方程为（ ）
A.　　　　B. C. D.
4.曲线在点处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A.-9 B.-3 C. 9 D.15
5.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
7.求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.
8.求曲线上的点到直线的最短距离.
9.已知函数，其中.若，求曲线在点处的切线方程；
10.设的导数满足，其中常数.求曲线在点处的切线方程
11.已知为偶函数，曲线过点，.若曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
12.已知函数，求过点且与曲线相切的切线方程
13.设函数 （a，b∈Z），曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
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