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第10讲 期中复习
知识梳理
排列组合 2、二项式定理的解题技巧
3、二项分布及正态分布 4、离散型随机变量及其分布列
5、复数 6、导数的基本运算
7、利用导数求函数单调性、极值、最值综合
二、典型例题
例1、5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（　　）种．
A．480 B．720 C．960 D．1440
变式：（1）2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
（2）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（　　）
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种
例2、现有7位高中毕业生，其中4名男生3名女生，
（1）他们准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种？
（2）他们准备报考6所高等院校，每人报且只报一所，且要求每所院校都有学生报考，不同的报名方法共有多少种？
（3）7人站成一排合影留念，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
（4）7人站成一排合影留念，要求女生按从左到右由高至矮排列，共有多少种不同的排法？
（5）从7人中选取3人进行问卷调查，要求至少有一名女生，共有多少种不同的选法？
例3、的展开式中x4的系数是（　　）
A．﹣210 B．﹣120 C．120 D．210
变式：（1）（多选题）已知（a+b）n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2）已知f（x）＝（x+2）n，n∈N*．设f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
（1）求a0+a1+a2+…+an；
（2）若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；
例4、我国的5G研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通5G基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A和元件B按如图方式连接而成．已知元件A至少有一个正常工作，且元件B正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件A和元件B正常工作超过10000小时的概率分别为和．
（Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率；
（Ⅱ）某城市5G基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数．
变式：（多选题）（1）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（　　）
A．抽取2次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数ξ的期望为2
D．取球次数ξ的方差为
（2）（多选题）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N（9，4），则（　　）
（附：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.955，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.997．）
A．该校学生每周平均阅读时间为9小时
B．该校学生每周阅读时间的标准差为4
C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%
D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为210
例5、（多选题）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝3X+1，则下列结果正确的有（　　）
A．q＝0.2 B．EX＝2，DX＝1.4
C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝7，DY＝16.2
变式：（1）已知x～B（n，p），且E（X）＝6，D（X）＝3，则P（X＝1）＝　 　．
（2）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率c，（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为　 　．
例6、已知复数，（m∈R，i是虚数单位）
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．
变式：已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．
（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；
（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
例7、已知函数（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣2，求a，b的值；
（2）若在区间（2，3）上，函数f（x）不单调，求a的取值范围．
例8、已知函数f（x）＝x2﹣x+alnx（a＜0），且f（x）的最小值为0．
（1）求实数a的值；
（2）若直线y＝b与函数f（x）图象交于A，B两点，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1＜x2，A，B两点的中点M的横坐标为x0，证明：x0＞1．
三、课堂训练
1、数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1，2，…40．现从中任意选取6人分成两组分配到A，B两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8，12，28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是（　　）
A．220 B．440 C．255 D．510
2、将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（　　）
A．420 B．180 C．64 D．25
3、给出下列四个关系式：
①；②；③；④．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、若（　　）
A．64 B．32 C．63 D．31
5、已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布N（453，992），估计这些考生成绩落在（552，651]的人数约为（　　）
（附：Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545）
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
6、（多选题）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
7、现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有　 　种不同着色方法.
8、已知随机变量X～B（4，p），若E（X）＝2，则D（X）＝　 　．
9、已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值．
10、已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使ab＝ba，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．
四、举一反三
1、从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（　　）
A．7 B．9 C．12 D．16
2、将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（　　）种．
A．12 B．36 C．72 D．108
3、3位数学家，4位物理学家，站成两排照像．其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（　　）
A．5040种 B．840种 C．720种 D．432种
4、2020×2019×2018×2017×…×1981×1980等于（　　）
A． B． C． D．
5、已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤3）＝0.84，则P（1≤X≤3）＝（　　）
A．0.34 B．0.48 C．0.68 D．0.84
6、设随机变量X～N（1，δ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）等于（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
7、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
8、有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻．
9、五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返券金额见右上表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ＝，标准差σξ＝，求n、p的值；
（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．
指针位置 A区域 B区域 C区域
返券金额（单位：元） 60 30 0
10、已知函数f（x）＝sinx+lnx﹣1．
（Ⅰ）求f（x）在点（，f（））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值；
（Ⅲ）直接写出函数f（x）在（0，2π）上的零点个数．
11、已知f（x）＝mlnx+x﹣1（m∈R且m为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的m∈（0，+∞），都存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥ex+k（其中e为自然对数的底数），求实数k的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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