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第9讲 导数综合
知识梳理
1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定．
2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．
3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
用导数解决优化问题的基本思路如下：①分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；②求函数的导数f′(x)＝0，确定极值点；③比较函数在区间端点的值和极值点的值的大小，最大(小)者为函数的最大(小)值；④还原到实际问题中作答．
二、典型例题
考点1、利用导数研究函数的性质
例1、设函数为的导函数
（1）若，，求a的值；
（2）若，且和的零点均在集合中，求的极小值；
（3）若，且的极大值为M，求证：．
变式：设函数
(1)当时,求函数f(x)的单调区间；
(2)当时,求函数在上的最大值.
例2、已知函数＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)试讨论的单调性；
(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围
(2)由(1)知，函数的两个极值为＝b，
考点2、利用导数解决不等式问题
例3、已知函数
当时，求函数的图象在处的切线方程；
若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；
若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．
变式：已知函数.
(1) 当时,求函数f(x)的单调区间;
(2) 当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
例4、已知函数，且.
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.
例5、已知函数，（为常数）．
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且，证明：；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
考点3、利用导数解决实际应用问题
例6、某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
变式（1）：如图,点为某沿海城市的高速公路出入口,直线为海岸线,,,是以为圆心,半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线 -,其中P为上异于的一点,与平行,设.
() 求证:观光专线 的总长度随的增大而减小.
() 已知新建道路的单位成本是翻新道路 的单位成本的2倍.当取何值时,观光专线-的修建总成本最低 请说明理由.
（2）某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB,DC)和两个半圆构成,设,且.
() 若内圈周长为400 m,则取何值时,矩形ABCD的面积最大
() 若景观带的内圈所围成区域的面积为 ,则取何值时,内圈周长最小
三、课堂训练
1.已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
2.设函数，（）.
（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
（参考数据：，）
3.已知函数（）．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若，且，证明：．
四、举一反三
1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
2.设函数，则是( )
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数
3.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是函数的极小值点，则=( )
A.-4 B. -2 C.4 D.2
5.曲线在点处的切线方程为________.
6.已知为偶函数，当 时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.
7.函数在其极值点处的切线方程为____________.
8.已知函数的图像在点处的切线过点，则 .
9.若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线，
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：
10.已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ．
11.已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= ．
12.已知函数．
讨论的单调性；
(II)若有两个零点,求的取值范围.
13.已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
14.设函数
若，求曲线处的切线方程；
讨论函数的单调性.
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