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第8讲 导数与函数的极值最值
知识梳理
1.函数的极值
（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。极大值与极小值统称为极值.
(2)判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
(3)求可导函数f(x)的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数 ;
②求出方程的定义域内的所有实数根；
③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
④根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值
（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;
（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．
（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：
①求在内的极值；
②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
二、典型例题
考点1、利用导数研究函数的极值
例1、已知函数，求函数的极值.
变式：（1）函数的极大值是________，极小值是________．
（2）已知函数在处有极值10，则
A．18 B .-18 C.16 D.-16
例2、若函数在其定义域内的一个子区间内有极值，则实数的取值范围_____.
变式：已知函数的极大值点和极小值点都在区间内, 则实数的取值范围是 ．
考点2、利用导数研究函数的最值
例3、已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值.
例4、已知函数.
(1) 求函数在上的最值；
(2) 若函数在上的最小值为，求实数的值．
变式：（1）函数在区间上的最小值为______．
（2）设函数．
（）若在上递增，求实数的取值范围；（）求在上的最小值．
考点3、最（极）值的综合问题
例5、设是函数的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.
例6、当时，求证
例7、已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
变式：设函数.
（Ⅰ）若为函数的极值点，求实数；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈，恒有≤4成立.
三、课堂训练
1.已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值点；
(2)若在恒成立，求实数的取值范围．
2.已知函数的定义域为为的导函数．
（1）求方程的解集；
（2）求函数的最大值与最小值；
（3）若函数在定义域上恰有2个极值点，求实数的取值范围.
3.设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是____________．
4.已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）若，使成立，求实数的最大值．
5.已知函数（为实数），（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围_________．
6.设函数，已知和为的极值点.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设，试比较与的大小.
7.设函数f（x）=x2+b ln（x+1），其中b≠0.
（Ⅰ）当b>时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立.
8.设函数，
（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于.
四、举一反三
1.设.若在上存在单调递增区间，求a的取值范围.
2.设，.
（1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系；
3.已知函数
（Ⅰ）证明：曲线
（Ⅱ）若，求a的取值范围.
4.已知函数（）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：
5.已知函数.
（Ⅰ）若，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
6.设函数，其中常数a>1
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性; （Ⅱ）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
7.设函数，其中.证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值.
8已知函数图像上的点处的切线方程为.
（1）若函数在时有极值，求的表达式
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围
9.已知函数其中为常数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有
10. 已知函数，x∈R.（其中m为常数）
（Ⅰ）当m=4时，求函数的极值点和极值；
（Ⅱ）若函数在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围.
11. 已知函数.
（Ⅰ）若，令函数，求函数在上的极大值、极小值；
（Ⅱ）若函数在上恒为单调递增函数，求实数的取值范围.
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