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第11讲 函数三要素
知识梳理
1．函数的概念
设是两个非空数集，如果按某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作，。
2．函数的定义域与值域
在函数中，叫做自变量，集合叫做函数的定义域；
与的值对应的输出值y叫做函数值；
函数值的集合叫做函数的值域。
3．函数的三要素
函数的构成要素为定义域、对应法则、值域。由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域、值域和对应法则完全一致，我们称这两个函数是同一个函数。
4．函数的表示
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．
5．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。
6． 函数的定义域
(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．
(2) 求定义域的步骤：
① 写出使函数式有意义的不等式(组)；
② 解不等式组；
③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．
(3) 常见基本初等函数的定义域：
① 分式函数中分母不等于零；
② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0；
③ 一次函数、二次函数的定义域为．
④ ，，定义域均为．
⑤ 的定义域为
⑥ 函数的定义域为．
7． 函数的值域
(1) 在函数中，与自变量的值对应的的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．
(2) 基本初等函数的值域：
① 的值域是R．
② 的值域：当时，值域为；当时，值域为．
③的值域为．
④ 的值域是．
⑤ 的值域是．
⑥ 的值域是．
⑦ 的值域是R．
8． 最大(小)值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) 对于任意的，都有；
(2) 存在，使得．
那么称是函数的最大(小)．
二、典型例题
考点1、函数的概念
例1、(1)已知，，，，，是从定义域A到值域B的一个函数，求的值；
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①与； ②与；
③与； ④与．
变式：（1）设集合，，有以下4个对应法则：
①；②；③；④，
其中不能构成从到的函数的是____________．(填序号)
（2）下列各组的两个函数中表示同一函数的是__________．
①与；②与；
③与；④与．
（3）下列所给图形中是函数图象的个数为________．
考点2、函数的定义域
例2、求下列函数的定义域：
（1）函数的定义域为________.
（2）；
（3）已知函数的定义域是，求的定义域．
变式：(1)函数的定义域为(　　)
A.(－2，1) B.[－2，1]
C.(0，1) D.(0，1]
(2)设函数，则函数的定义域为(　　)
A.(－9，＋∞) B.(－9，1)
C.[－9，＋∞) D.[－9，1)
例3、(1)若函数的定义域为，则的取值范围为________；
(2)若函数的定义域为，则实数的取值范围是________．
变式：若函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
考点3、函数的解析式
例4、根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知是一次函数，且；
(2)已知；
(3)若对于任意实数x恒有；
(4)已知，对任意的实数都有．
变式：已知函数满足=x3++1，求．
考点4、函数的值域
例5、 求下列函数的值域
(1)；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
变式：（1）函数的值域
（2）函数的值域是
（3）函数的值域是
考点5、函数的定义域、值域和最值的综合题
例6、已知函数．
(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(2)若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围．
变式：（1）已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为________．
（2）已知函数的定义域和值域都是，则________．
（3）若函数的定义域、值域都是闭区间，则的值为_______．
（4）已知函数的定义域是，值域是，则满足条件的整数数对共有________个．
考点6、分段函数
例7、(1)已知实数，函数若，则的值为______________；
(2)设函数，则满足的的取值范围是____________；
(3) 已知函数则满足不等式的的取值范围是______________．
变式：（1）已知函数则________.
（2）已知实数，函数若，则的值为____________．
考点7、函数及其表示方法的实际应用
例8、如图，有一块四边形绿化区域，其中，，．现准备经过上一点和上一点铺设水管，且将四边形分成面积相等的两部分，设，．
（1） 求之间的关系式；
（2） 求水管的长的最小值．
变式：如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为．
（1）求此框架围成的面积与的函数式，并写出它的定义域；
（2）为何值时，面积最大？最大值是多少？
三、课堂训练
1.函数的定义域为(　　)
A.[0，2) B.(2，＋∞)
C.[0，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
2.如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)
3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是(　　)
A. B.
C. D.
4.设函数则(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
5.已知函数的值域是，则实数的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B.(－1，2]
C.[－1，2] D.[2，5]
6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A. B.
C. D.
7.设若，则＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
8.已知函数若，则实数的取值范围为(　　)
A.(1，＋∞) 　 B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　 D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
9.函数的定义域为________.
10.已知函数满足，则＝________.
11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.
①与表示同一函数；
②函数的图象与直线的交点最多有1个；
③与是同一函数；
④若，则.
12.设函数则使的的集合为_____
四、举一反三
1.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：
①；②；③
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A.①② B.①③ C.②③ D.①
2.设函数，若对任意的都有成立，则的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.[0，2]
C.[2，＋∞) D.(－∞，2)
3.已知函数满足，则的解析式是________.
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