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第12讲 函数的性质（1）
知识梳理
1． 函数单调性的定义
（1） 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当时，都有（或都有，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）．
（2） 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．
2． 函数单调性的图象特征
对于给定区间上的函数f（x），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3． 复合函数的单调性
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：同增异减。
4．函数单调性的常用结论
(1)对， 在上是增函数； 在上是增函数。
(2)对勾函数的增区间为和，减区间为和。
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数的单调性与函数和的单调性的关系是同增异减。
5．奇、偶函数的定义
对于函数定义域内任意一个x,都有，则称为奇函数。对于函数定义域内任意一个x,都有，则称为偶函数。
6．奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。．
(3)若奇函数的定义域包含0，则．
(4)若函数是偶函数，则有．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
7．周期性
(1)周期函数
定义：若存在非零常数，对于定义域 ( https: / / baike. / lemma / ShowInnerLink.htm lemmaId=4998487&ss_c=ssc.citiao.link" \t "https: / / baike. / _blank )内的任意x，使 恒成立，则叫做周期函数 ( https: / / baike. / lemma / ShowInnerLink.htm lemmaId=4196788&ss_c=ssc.citiao.link" \t "https: / / baike. / _blank )，叫做这个函数的一个周期。那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
(2)最小正周期
对于一个函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫的最小正周期。
注1：函数奇偶性常用结论
(1)如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
注2：函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值，
(1)若，则．
(2)若，则．
(3)若，则．
二、典型例题
考点1、确定函数的单调性(区间)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1、 (1)函数的单调递增区间为________．
(2)试讨论函数)在(－1,1)上的单调性．
规律方法　(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间；
(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(3)函数的单调性应根据外层函数和内层函数的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
考点2、确定函数的最值
例2、 (1)已知函数，则＝________，函数的最大值是________．
(2)已知函数，.
①当时，求函数的最小值；
②若对任意恒成立，试求实数的取值范围．
规律方法　(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．
(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
考点3、函数单调性的应用
例3、(1)如果函数满足对任意，都有成立，那么的取值范围是________．
(2)定义在R上的奇函数在(0，＋∞)上递增，且，则不等式的解集为________．
变式1：在例题第(1)题中，条件不变，若设，，，试比较的大小．
变式2：在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在R上的奇函数在(0，＋∞)上递增，且，则不等式的解集为________．
规律方法　(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
(2)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
考点4、函数奇偶性的判断　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4、判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)
规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断与是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式奇函数)或(偶函数)是否成立．
考点5、函数奇偶性的应用
例5、(1)已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则等于________．
(2)若函数为偶函数，则＝________.
规律方法　(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值．
考点6、函数的周期性及其应用
例6、若函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则________.
考点7、函数性质的综合运用
例7、(1)已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，则＝________.
(2)已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数满足，则的取值范围是________．
规律方法　(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
三、课堂训练
1.(1)给出下列四个函数：
①；②；③；
④.
其中既不是奇函数，也不是偶函数的是________(填序号)．
(2)设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；②是奇函数；
③是奇函数；④是奇函数．
则上述结论中正确的是________(填序号)．
3．在函数，，，中，偶函数的个数是________．
4．设函数，则下列结论：
①奇函数，且在(0,1)内是增函数；
②奇函数，且在(0,1)内是减函数；
③偶函数，且在(0,1)内是增函数；
④偶函数，且在(0,1)内是减函数．
其中正确的有________(填序号)．
5．设是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且，
当
(1)判定的奇偶性；
(2)试求出函数在区间[－1,2]上的表达式．
6．已知是定义在R上的以3为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围为________．
7．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，则＝________.
8．已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点个数为________．
9．设是(－∞，＋∞)上的奇函数，，当时，.
(1)求的值；
(2)当时，求的图象与轴所围成图形的面积．
10．已知函数的定义域为(为实数)．
(1)当时，求函数的值域；
(2)求函数在区间上的最大值及最小值，并求出当函数取得最值时的值．
四、举一反三
1．若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则＝________.
2．已知函数，，若存在，则实数的取值范围为________．
3．对于任意实数定义设函数，，则函数的最大值是________．
4．已知函数，其中是大于0的常数．
(1)求函数的定义域；
(2)当时，求函数在上的最小值；
(3)若对任意恒有，试确定的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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