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第7讲 导数与函数单调性
知识梳理
1. 用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1) 确定函数y＝f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(4) 根据(3)的结果确定函数的单调区间．
3.已知函数单调性求参数的值或参数的范围
（1）函数y＝f(x)在区间上单调递增,可转化为在上恒成立，且在的任意子区间上不恒为0；也可转化为 增区间 ；
函数y＝f(x)在区间上单调递减,可转化为在上恒成立，且在的任意子区间上不恒为0；也可转化为 减区间；
（2）函数y＝f(x)的增区间是，可转化为增区间,也可转化为是的两根；
函数y＝f(x)的增区间是，可转化为减区间,也可转化为是的两根；
二、典型例题
考点1、求函数的单调区间
例1、已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.求函数的单调区间.
变式：（1）函数的减区间为________．
（2）函数的增区间为____________.
（3）函数的单调递减区间是________．
考点2、含参数的函数的单调性
例2、已知函数
(1)当时，求的单调性；（2）讨论的单调性
变式：已知函数,求函数的单调性。
考点3、结合函数单调性求参数
例3、设函数，曲线)在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)设函数，
①在区间上单调递增，求实数的取值范围．
②在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．
例4、已知函数，，设.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
变式：（1）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是________．
（2）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
（3）已知函数．若函数在上为单调函数，则的取值范围是________．
（4）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。
（5）若函数在上单调递增,则实数的取值范围是　　　　.
考点4、利用函数单调性解不等式
例5、(1)已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围是　　　　.
(2)已知函数,其中为自然对数的底数,则满足的的取值范围为　　　　.
变式：（1）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
（2）设函数满足，是在上的导数，且则不等式的解集为 .
（3）函数的导函数为，对R，都有成立，若，则不等式的解是_________.
三、课堂训练
1.已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
2.设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率
记为
（1）若方程的表达式；
（2）若的最小值.
3.设函数.
（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；
（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
4.设函数，求函数的单调区间.
5.已知函数的减区间是.
（1）试求m、n的值；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程；
（3）过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.
6.已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围.
四、举一反三
1.函数的单调递增区间是 .
2.已知函数 ，.当 时，讨论函数 的单调性.
3.已知函数
（Ⅰ）如果，求的单调区间；
（Ⅱ）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.
4.设函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
5.已知函数，，其中R.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
6.设
（1）若，求过点（2，）的直线方程；
（2）若在其定义域内为单调增函数，求的取值范围.
7.已知函数，其定义域为 （），设.
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）试判断的大小并说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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