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第15讲 基本初等函数（2）
一、知识梳理
1.指数式与对数式的运算公式
(1)(2);
(3);
(4);
(5)
(6);
(7).
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域
性质 过定点，即
当时，；当时， 当时，；当时，
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
3.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：
值域：
当时，，即过定点
当；当
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
典型例题
考点1、指数与对数的运算
例1、(1)已知a，b，c均为正数，且3a=4b=6c，求证： ；
(2) 若60a＝3，60b＝5，求的值．
变式：（1）设________．
（2）已知正实数均不为1，满足，且，则的值为________．
考点2 、指数函数的图像性质及应用
1.　指数函数的单调性
例2、 (1)下列各式比较大小正确的是(　　)
A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
2.　与指数函数有关的复合函数的单调性
例3、 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
函数的最值问题
例4、如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
变式：（1）设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与的大小关系是(　　)
A.M＝N B.M≤N C.MN
(2)函数的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
(3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
考点3 、对数函数的图像，性质应用运用
例5、（1）已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是________．
①； ②；
③； ④．
（2）已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数，记，，，则的大小关系为________．
（3）已知函数，则不等式的解集为________．
（4）若函数在［－1，1］上是单调增函数，则实数的取值范围是 ___________．
例6、对于函数，解答下述问题：
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；
（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；
（4）若函数的定义域为，求实数a的值；
（5）若函数的值域为，求实数a的值；
（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.
例7、已知f（x）＝log2（4x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设函数g（x）＝log2（a 2x﹣a），其中a＞0，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．
变式：已知．是否存在实数，使f（x）同时满足下列三个条件：①定义域为R的奇函数；②在[1，+∞）上是减函数；③最小值是－1．若存在，求出、；若不存在，说明理由．
课堂训练
1．已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是　 　．
2．已知函数，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）是否存在实数，使得的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3．已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上．
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）函数的图象与直线有两个不同的交点时，求的取值范围．
4．设，
（1）若，求的值；
（2）求的值．
5．已知函数，（为正实数），且函数与的图象在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）对于函数及其定义域，若存在，使成立，则称为的不动点．若在其定义域内存在不动点，求实数的取值范围；
（3）若为正整数，证明：．
（参考数据：，）
举一反三
1.已知函数，且满足．
（1）求的值；
（2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2.已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间[]上的最小值为，其中b∈R．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最小值的表达式；
（3）是否存在实数同时满足以下条件：①；②当的定义域为时，值域为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3.设D是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点．已知
（1）若，求函数f（x）的准不动点；
（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围．
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