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第十六讲 函数与方程
一、知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数，把使的实数称为函数的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数的零点就是方程的实数根_，也就是函数的图象与轴交点的横坐标．所以，函数有零点等价于函数的图象与x轴有交点，也等价于方程有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数在区间上的图象是一条连续的曲线，且有，那么函数在区间内有零点，即存在∈，使得，此时就是方程的根．但反之，不成立．
2．二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
3．二次函数的图象与零点的关系
二次函数的图象
与轴的交点 ， 无交点
零点个数 2 1 0
二、典型例题
考点1、函数零点的求解与判断
例1、（1）已知函数的零点为，则所在的区间是________．(填序号)
①(0，1)； ②(1，2)； ③(2，3)； ④(3，4)．
（2）设函数是定义在R上且周期为1的函数,在区间上，，其中集合,则方程的解的个数是______．
考点2、函数零点的应用
例2、（1）已知函数的一个零点在区间(1，2)内，则实数的取值范围是__________．
(2)已知函数，若恰有四个互异的实数根，则的取值范围是________________．
(3)已知函数若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是________________．
变式：已知函数在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围是________．
考点3、函数零点的综合问题
例3、设函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，求证：函数在区间内有且只有一个零点；
（3）若函数有4个不同的零点，求实数的取值范围．
例4、已知关于的二次方程．
(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；
(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．
变式：（1）已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
（3）已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
（4）设函数，则函数( ）
A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在内无零点D．在区间内无零点，在(内有零点
三、课堂训练
1. 已知函数满足：，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.[1, ＋∞)
3.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
A. 0 B. C. D.
4.函数在的零点个数为________．
5.设函数则满足的x的取值范围是________．
6.若函数f(x)= -x-m无零点,则实数m的取值范围是________．
7.设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 .
8.已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是________．
9.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
10.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为________．
11.设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
.
四、举一反三
1.设函数，．若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
2.已知函数,则关于的零点叙述正确的是( )
A.当时,函数有两个零点 B.函数必有一个零点是正数
C.当时,函数有两个零点 D.当时,函数只有一个零点
3.已知函数，，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
4.函数的零点个数为 (　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
8. 设函数.
（1）若，则的最小值为______；（2）若恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
9.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 .
11. 函数若互不相等，且，则的取值范围为 ．
12. 已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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