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第二讲 二项式定理
一、知识梳理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为
2.二项式系数的性质
① ②
③ 若是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大；若是奇数，有，即中间二项的二项式系数相等且最大
④
⑤
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
拓展
1.二项式系数与项的系数是不同的，如的展开式中，第项的二项式系数为，而第项的系数为；
2.二项式系数的性质：
（1）展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；
（2）若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项，即第项的二项式系数最大；若二项式的幂指数是奇数，则展开式的中间两项，即第项和第项的二项式系数最大;
（3）展开式中的所有二项式系数和等于2n，即;
（4）展开式中的奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和.
3.恰当构造二项式，利用二项式定理及二项式系数的性质等可解决近似计算和不等式证明等问题；
4.组合恒等式
① 或
②
③
④
5.涉及二项式定理的题型及解决问题的方法
（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；
（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；
（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩；
（4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．
二、典型例题
考点1、二项展开式中的特定项或系数问题
例1、 (1)在二项式的展开式中，含的项的系数是(　　)
A．10 B．－10
C．－5 D．20
(2)的展开式中的有理项共有__________项．
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式中的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
变式：在二项式的展开式中常数项是__________；系数为有理数的项的个数是____．
考点2、多项展开式中的特定项或系数问题
例2、 (1) 的展开式中的常数项为(　　)
A．32 B．34
C．36 D．38
(2)的展开式中的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
(3)展开式中的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
变式：（1）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
（2）展开式中的系数为(　　)
A．15 B．20 C．30 D．35
（3）①的展开式中的系数为 ；
②展开式中的系数为 ；
③的展开式中项的系数为 。
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
考点3、二项式系数的和与性质
例3、 (1)在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
(2)若__________.
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
变式：若的展开式为，则=________
考点4、二项式定理的应用
例4、 (1)设a∈Z，且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.028的近似值是__________(精确到小数点后三位)．
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)整除问题的解题思路：
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．
(2)求近似值的基本方法：
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
变式：（1）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项为 ，系数最大的项为 ，系数最小的项的系数为 ；（结果用数值表示）
（2），
三、课堂训练
1.若，则
2．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
3．将展开后，常数项是__________．　
4．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于__________．
5．－1＋3C－9C＋27C－…－310C＋311除以5的余数是__________．
6.若能被正整数整除，请写出的最大值，并给予证明
四、举一反三
1．二项式的展开式中的常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
2．设n为正整数，展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　　)
A．16 B．10
C．4 D．2
3．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)
A．－20 B．0
C．1 D．20
4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)
A．－5 B．5
C．90 D．180
5．若展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为(　　)
6．在的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x＝(　　)
A．1 B.
C．1或 D．－1
7．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.
8．(x2＋)5的展开式中，含x4项的系数是________(用数字填写答案)．
9．若二项式的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于________．
10．已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
12．已知，求：
(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
13．设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．
(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；
(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求C－C＋C－C＋C.
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