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第5讲 复数
知识梳理
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
典型例题
考点1、复数的概念
例1、（1）若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为(　　)
A. B．－ C.i D．－i
（2）复数的共轭复数是(　　)
A．－＋i B．－－i
C.－i D.＋i
（3）已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于(　　)
A．－4 B．4
C．1 D．－1
考点2 、复数的运算
命题点1 复数的乘法运算
例2、(1)(1＋i)(2－i)等于(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
(2)i等于(　　)
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
命题点2　复数的除法运算
例3、(1)等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
(2)已知i是虚数单位，若复数z满足z(1＋i)＝1－i，则等于(　　)
A．i B．－i C．1＋i D．1－i
命题点3　复数的综合运算
例4、(1)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则等于(　　)
A. B．3＋4i
C．5 D．7
(2)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
变式：(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，＝4，则a为(　　)
A．1或－1 B．1
C．－1 D．不存在的实数
考点3、复数的几何意义
例5、(1)i是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③B点对应的复数．
变式：(1)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．
三、课堂训练
1．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则等于(　　)
A．－8－6i B．－8＋6i
C．8＋6i D．8－6i
2．设复数z＝，则|z|等于(　　)
A．4 B．2 C. D．1
3．已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则(　　)
A．z＋1是实数 B．z＋1是纯虚数
C．z＋i是实数 D．z＋i是纯虚数
4．已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|等于(　　)
A．1 B.
C. D．5
5．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a等于(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
6．若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
7．设复数z满足z(1－i)＝2(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　)
A．|z|＝2
B．复数z的虚部是i
C.＝－1＋i
D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限
四、举一反三
1.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
2．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
3．i是虚数单位，复数＝________.
4．已知复数z满足z＋＝0，则|z|＝________.
5．若复数z＝1－i，则z＋的虚部是________．
6．已知复数z满足(1－i)z＝i3，则|z|＝________.
7．已知i为虚数单位，复数z(1＋i)＝2－3i，则z的虚部为________．
8．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
9．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
10．若复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
11．已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.
12．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1,8] B.
C. D.
13．给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
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