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计数原理与排列组合
一、知识梳理
1　两个计数原理
(1)分类加法计数原理
完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
2　排列与组合
(1)排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合的定义 合成一组
(2)排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C
[拓展]
1．正确理解组合数的性质
(1)C＝C
从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．
(2)C＋C＝C
从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法．
2．分类加法计数原理中各类办法之间是相互独立的，并列的，互斥的．分步乘法计数原理中各步之间是相互依存的．
二、典型例题
考点1、两个原理的直接应用
例1、已知椭圆＋＝1, 若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的椭圆有(　　)
A．12个 B．16个
C．28个 D．32个
例2、某校为了丰富学生的课外活动，安排了A，B两个活动小组．某班甲、乙、丙、丁4名同学报名参加，每人只报一项，则4名同学的不同报名方案的种数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．16
例3、如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
方法技巧
1．分类、分步的应用技巧
(1)分类：一般按特殊情况优先分类，每类中再分步计数，当分类不多时，可用枚举法，当分类较多时，也可用间接法求解．
(2)分步：先按一定的顺序分步，再按特殊要求分类．
2．涂色、种植问题的解题关注点和关键
(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．
(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理．
[提醒]　对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解．
考点2、排列的应用
例4、(1)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．
(2)在数字1,2,3与符号“＋”“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．
变式：（1）若本例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3这三个数字必须相邻”，则这样的全排列方法有________种．
（2）若本例(2)中条件变为：符号“＋”与“－”都不相邻，则这样的全排列有________种．
求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数
分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列
间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法
2.解决有限制条件排列问题的策略
(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．
(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．
考点3、组合问题
例5、(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
(2)甲、乙两人从4门选修课中各选修2门，则甲乙所选的课程中至少有一门相同的选法共有(　　)
A．30种　　　　　　　　　　 B．36种
C．60种 D．144种
(3)共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是________．
变式：（1）将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)
A．10种 B．9种
C．12种 D．8种
（2）现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________．
考点4、排列、组合的综合应用
1. 简单的排列、组合的混合应用
例6、(1)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A．12种　　　　　　　　 B．18种
C．24种 D．36种
(2)将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有(　　)
A．18种 B．20种
C．21种 D．22种
2.分组、分配问题
例7、有4个不同的球和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
变式：（1）将6名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为(　　)
A．60 B．30
C．15 D．10
（2）将5名交警分配到三个拥挤的路口疏导交通，其中一个路口1人，另两个路口各2人的不同安排方案共有________种．
A．360 B．180
C．90 D．60
（3）某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是(　　)
A．18 B．24
C．36 D．42
课堂训练
1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)
A．30　　　　　　　　 B．42
C．36 D．35
2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
3．从1,3,5中取两个数，从2,4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
5．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为(　　)
A．1 860 B．1 320
C．1 140 D．1 020
6．如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有(　　)
A．360种 B．720种
C．780种 D．840种
7．某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有(　　)
A．36种 B．68种
C．104种 D．110种
8．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
9．乘积(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．
四、举一反三
1．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．
2．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)
A．540 B．480
C．360 D．200
3．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
4．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)
A．18种 B．24种
C．36种 D．72种
5．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)
A．484 B．472
C．252 D．232
6．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
7．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．
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