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27.3　位似
一、单项选择
1．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，以原点O为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B的坐标为(6，0)，则点A的坐标为（ ）
A．(3，6) B．(2，6) C．(3，5) D．(2.5，5)
2．观察如图所示的图案，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（ ）
A．位似 B．旋转 C．轴对称 D．平移
3. 如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′ B．AO∶AA′＝1∶2
C．C，O，C′三点共线 D．AB∥A′B′
4. 下列各组中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
5．如图所示的△DEF是△ABC位似图形的几种画法中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′.正确的画法是（ ）
7．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．2
9．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．－2a＋3 B．－2a＋1 C．－2a＋2 D．－2a－2
二、填空题
10．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标____________________．
11. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为________________
12．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为____________________
13．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)，B(6，0)两点，以原点O为位似中心，相似比为，将线段AB缩小后得到线段A′B′，则线段A′B′的长度等于__________．
14．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是______________________.
三、解答题
15．画出下列图形的位似中心．
16．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，点A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．
17．如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心O；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为_________________；
(3)以点O为位似中心，在所给方格纸中画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为.
18. 如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A，B，C的坐标分别是(1，－1)，(2，1)，(1，1).
(1)作图：以点O为位似中心在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍(不要求写出作图过程)；
(2)直接写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
19. 如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为多少？
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2)，B(2，－1)，C(4，－3).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1；
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是________．
21．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
(1)求证：△C′D′E′是等边三角形；
(2)求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE∶EF＝1∶2.
答案;
一、
1-9 BDBBA DADA
二、
10. (2，0)或(－，)
11. 9
12. ()6
13. 1
14. (，)
三、
15. 解：图略
16. 解：∵矩形ABCD的周长为24，∴AB＋AD＝12，设AB＝x，则AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x，∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，∴＝，即＝，解得x＝8，
∴AB＝8，AD＝12－8＝4
17. 解：(1)连接C′C，B′B并延长，这两条线段的延长线的交点即为位似中心O，图略
(2) 1∶2
(3)由位似图形的定义可知B1C1∥BC，A1B1∥AB，A1C1∥AC，且＝＝＝＝＝＝，据此可在C′O，B′O，A′O上找到C1，B1，A1三点，再连接A1B1，B1C1，A1C1，即可得所求作的△A1B1C1，图略
18. 解：(1)如图，四边形OA′B′C′为所作
(2)由图可知，A′(－2，2)，B′(－4，－2)，C′(－2，－2)
19. 解：∵直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝－2，∴点A和点B的坐标分别为(－2，0)，(0，1).∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为(－8，－3)或(4，3)
20. 解：(1)如图，△A1B1C1为所作
(2)如图，△A2B2C2为所作
(3)点P的对应点P2的坐标是(2a，－2b).故答案为：(2a，－2b)
21. 解：(1)证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，∴CE∶C′E′＝OE∶OE′，DE∶D′E′＝OE∶OE′，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，∴CE∶C′E′＝DE∶D′E′，∠CED＝∠C′E′D′，∴△CDE∽△C′D′E′，∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形
(2)画法：①在△ABC内画矩形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点G′在AC上，且D′G′∥BC，D′E′∶D′G′＝1∶2；
②连接AE′并延长，交BC于点E，连接AF′并延长交BC于点F，过点E作ED∥E′D′交AB于点D，过点F作FG∥F′G′交AC于点G；③连接DG，则矩形DEFG即为所求作

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