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9.1.2不等式的性质
第九章 不等式与不等式组
1.掌握不等式的三个性质；
2.能够利用不等式的性质解简单的不等式.
不等式性质的理解及应用.
不等式性质的理解.
【学习目标】
【学习重点】
【学习难点】
创设情境 引入新课
复习回顾
什么是不等式？
用符号“＞”、“＜” 表示大小关系的式子叫做不等式.
什么是不等式的解？
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
不等式中常见的不等号有五种：
“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”.
＞
＜
≥
≤
≠
（1）已知3×5 =15，那么3×5+7 15+7；
完成填空，并总结其中规律.
（2）已知2x×3 = 3a，那么2x×3-5y 3a-5y.
=
=
等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等.
不等式也有这样的性质吗？
合作交流 探索新知
根据发现的规律填空：当不等式两边加或减同一个数（正数或负数）时，不等号的方向 .
不变
＞
＞
＜
＜
用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：
（2）-1＜3，-1+2 3+2 ，-1-3 3-3；
（1）5＞3，5+2 3+2，5-2 3-2；
观察与思考
（3）6＞2，6×5 2×5，6×(-5) 2×(-5)；
（4）-2＜3， (-2)×6 3×6，(-2)×(-6) 3×(-6).
当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向 ；而乘同一个负数时，不等号的方向 .
不变
改变
＞
＜
＜
＞
观察与思考
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
字母表示为：
如果a＞b,那么a±c b±c.
＞
归纳
不等式的性质1
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
归纳
不等式的性质2
字母表示为：
如果a＞b，c＞0，那么ac bc(或 ).
＞
＞
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
归纳
不等式的性质3
字母表示为：
如果a＞b，c＜0，那么ac bc(或 ).
＜
＜
性质2与性质3有什么区别？
设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（4）(m2 +1)a (m2 +1)b(m为常数)
＞
＞
＞
＜
不等式的性质2
不等式的性质3
不等式的性质1，2
不等式的性质2
试一试
（1）a÷3 b÷3
（2）-4a -4b；
（3）2a-3 2b-3；
不等式的性质可以应用在什么地方呢？
利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7＞26；
（2）3x＜2x+1；
（3）x＞50；
（4）-4x＞3.
应用拓展
在解不等式时，可以借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a（a为常数）的形式.
（1）可以根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，
所以x-7+7＞26+7.
所以x＞33.
请试着解答不等式（2）.
不等式（2）的解为x＜1.
这个不等式的解在数轴上可以表示为：
0
33
（3）可以根据 ，不等式两边乘，不等号的
方向 ，
所以x× 50×，
所以 .
请自己完成不等式（4）的求解.
这个不等式的解在数轴上可以表示为：
0
75
不等式的性质1
不变
＞
x＞75
应用迁移 巩固提高
易错点1
例1.已知m＜5，将不等式(m-5)x ＞m-5变形为x＜a或x＞a
的形式．
解：∵m＜5，
此题易忽略运用不等式的性质3时，不等号的方向改变，从而出现由(m-5)x ＞m-5，得到x＞1的错误．
点拨
受思维定式的影响，忽视运用不等式的性质3时要改变不等号的方向.
∴m-5＜0（不等式的性质1）．
由(m-5)x ＞m-5，得
x＜1（不等式的性质3）．
例2.若a＞b，c为实数，试比较ac2与bc2的大小．
解：此题应分c＞0，c=0，c＜0三种情况进行讨论．
此题学生易忽略c=0的情况，从而出现由a＞b得到
ac2＞bc2的错误．
点拨
运用不等式的性质2或性质3时易忽略此数（或式子）为0的情况.
易错点2
①当c＞0时，c2＞0，由a＞b得到ac2＞bc2；
②当c=0时，c2=0，由a＞b得到ac2 =bc2；
③当c＜0时，c2＞0，由a＞b得到ac2＞bc2.
综上所述，当c≠0时，ac2＞bc2；当c=0时，ac2=bc2.
例3．已知关于x的不等式(1-a)x＞2可化为x ＜，试化简：
|a-1|+|a+2|.
解：∵不等式(1-a)x＞2可化为x ＜，
此题先通过利用不等式的性质解不等式得出a的取值范围，并根据这个范围再对绝对值进行化简．
点拨
∴1-a＜0，即a＞1.
∴|a-1|+|a+2| =(a-1)+(a+2)=2a+1.
随堂练习 巩固新知
1.（2019秋 长白县期末）如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确
的是（　　）
A．a+b＜-1 B．ab＜1 C．＜1 D．＞1
D
B
2.（2019秋 衢州期中）已知a＜b，下列不等式中正确的是（　　）
A．＞ B．a-3＜b-3
C．a+3＞b+3 D．-3a＜-3b
3.（2019秋 涪城区校级月考）若x＞y，则a2x与a2y的大小关系是
（　　）
A．＞ B．＜ C．≥ D．无法确定
C
C
4.（2019春 丹东期末）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是
（　　）
A．ac＞be B．-2a＞-2b
C．-a＜-b D．a-2＜b-2
5.（2019春 长春期中）若a＜b，则1-a 1-b．（填“＞”，
“＜”或“=”）
6.（2019春 和平区期末）若x＜y，且（m-2）x＞（m-2）y，则
m的取值范围是 ．
m＜2
＞
7.（2019春 昌平区校级月考）若|2x-1|=1-2x，则x的取值范围
是 ．
x≤
当堂检测 及时反馈
1.（2019秋 余姚市期末）下列选项错误的是（　　）
A．若a＞b，b＞c，则a＞c B．若a＞b，则a-3＞b-3
C．若a＞b，则-2a＞-2b D．若a＞b，则-2a+3＜-2b+3
C
C
2.（2019 济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下
列关系式不成立的是（　　）
A．a-5＞b-5 B．6a＞6b C．-a＞-b D．a-b＞0
0
b
a
1
3.（2019秋 西湖区期末）若x-3＜0，则（　　）
A．x-2＞0 B．2x＞-1 C．2x＜3 D．18-3x＞0
D
A
4.（2019 余杭区二模）已知a=b≠0，则（　　）
A．= B．=
C．a|c+1|＞b|c+2| D．a+c＞b-c
【分析】因为a=b≠0，所以=，A正确；当c=0时，=无意义，B
错误；但c的值无法确定， |c+1|与|c+2|的大小不能确定，
C错误；同理a+c与a-c不能确定大小，D错误.
5.（2019秋 下城区期末）设m、n是实数，a、b是正整数，若
（m+n）a≥（m+n）b，则（　　）
A．m+n+a≥m+n+b B．m+n-a≤m+n-b
C．≥ D．≤
D
【分析】∵a、b是正整数，
若a≥b时，（m+n）a≥（m+n）b ，则m+n≥0，
∴A、B、D正确，C不正确；
若a≤b时，（m+n）a≥（m+n）b ，则m+n≤0，
∴D正确.
6.（2019春 荔湾区期末）已知实数x，y同时满足三个条件：
①x-y=4-p；②x+y=2+3p；③x＞y，那么实数p的取值范围
是（　　）
A．p＞ B．p＜ C．p＞4 D．p＜4
D
【分析】①+②得：x=3+p，
把x=3+p代入①得：y=-1+2p，
∵x＞y，∴3+p＞-1+2p，
∴p＜4．
故选：D．
7.（2019春 谢家集区期末）若-＜-，则3m n．（填“＜、
＞”或“=”号）
＞
8.（2019 下城区一模）已知实数x，y，a满足x+3y+a=4，x-y-3a=0．
若-1≤a≤1，则2x+y的取值范围是 ．
0≤2x+y≤6
【分析】联立方程组，将a作为参数解得：，
∵-1≤a≤1，∴2x+y=3a+3，
可得：0≤2x+y≤6．
9.（2019春 金乡县期末）若点P（1-m，m）在第一象限，则
（m-1）x＞1-m的解集为 ．
x＜-1
10.（2019春 思明区校级期中）小明说不等式a＞2a永远不会
成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就会出现
1＞2这样的错误结论．小明的说法 （填写正确
或不正确）；如果正确请说明理由，不正确请举一个反
例说明： ．
不正确
当a＜0时，a＞2a
11.（2019秋 临安区期中）
（1）若x＞y，比较-3x+5与-3y+5的大小，并说明理由；
（2）若x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，求a的取值范围．
解：（1）∵x＞y，
∴不等式两边同时乘以-3得：-3x＜-3y，
（不等式的基本性质3）
∴不等式两边同时加上5得：-3x+5＜-3y+5；
（不等式的基本性质1）
（2）∵x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，
∴a-3＜0，
解得a＜3.
12.（2019春 常熟市期末）已知：x，y满足3x-4y=5．
（1）用含x的代数式表示y，结果为 ；
（2）若y满足-1＜y≤2，求x的取值范围；
解：（2）根据题意得-1＜≤2，
不等式两边同时乘以4，得-4＜3x-5≤8，
∴解得＜x≤；
不等式两边同时加上5，得1＜3x≤13，
不等式两边同时除以3，得＜x≤，
（3）若x，y满足x+2y=a，且x＞2y，求a的取值范围．
（3）解方程组
得
∵x＞2y，
∴＞2×，
解得a＜10．
拓展延升 能力提升
根据等式的性质和不等式的性质，我们可以得到比较
两个数大小的方法:若A-B ＞0，则A＞B；若A-B=0，
则A=B；若A-B＜0，则A＜B，这种比较大小的方法称
为“作差比较法”，试比较2x2-2x与x2-2x的大小．
解：∵（2x2-2x）-（x2 -2x），
∴2x2 -2x ≥x2-2x．
=2x2-2x-x2+2x=x2≥0，
2.已知不等式2a +3b ＞3a +2b，试比较a、b的大小.
解：根据不等式的性质1，不等式两边都减去(2a +2b)，
即2a+3b-2a-2b＞3a+2b-2a-2b，
得2a+3b-(2a+2b)＞3a+2b-(2a+2b)，
所以b＞a.
总结反思 知识内化
性质1：如果a＞b，那么a±c＞b±c.
不等式的概念
不等式的基本性质
性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
(或＞).
性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
(或＜).
不等式
课堂小结

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