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2023届高考数学三轮冲刺卷：共轭复数
一、选择题（共20小题；）
1. 复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
2. 若复数 与 互为共轭复数，则复数 的模
A. B. 5 C. 7 D. 13
3. 已知复数 （其中 为虚数单位），则其共轭复数 的虚部为
A. B. C. D.
4. 若复数 满足 （其中 为虚数单位），则
A. B. C. D.
5. 以下命题正确的有
①若 ，则 为实数；
②若 ，则 ， 共轭；
③ ；
④ ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 两个共轭复数的差是
A. 实数 B. 纯虚数 C. 零 D. 零或纯虚数
7. 复数 （ 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是
A. B. C. D.
8. 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数．若 ，则
A. B. C. D.
9. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A. B. C. D.
10. 复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
11. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 的共扼复数为
A. B. C. D.
12. 若 ，则
A. B. C. D.
13. 设复数 满足 ，则
A. B. C. D.
14. 如果 是 的共轭复数，那么 的值是
A. B. C. D.
15. 若复数 满足 ，则在复平面内 的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
16. 设 ，则 等于
A. B. C. D.
17. 已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数在复平面内所对应点的坐标为
A. B. C. D.
18. 已知 为虚数单位，且复数 ，则 的共轭复数 所对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
19. 已知 为虚数单位，且复数 ，则 的共轭复数 所对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
20. 复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 共轭复数的概念
当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 的共轭复数用 表示，即若 ，则 ．
22. 方程 的解集为 ．
23. 已知复数 对应的点在第二象限，它的模是 ，实部是 ，则 ．
24. 方程 有虚根 ，则 的模等于 ．
25. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则 的共轭复数是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知 ， 和 是共轭复数，求这两个复数．
27. 【课本练习13.3（1）】写出下列复数的共轭复数：，，，，．
28. 已知复数 与复数 的共轭复数相等，求实数 ， 的值．
29. 求证：若复数 ，则 为纯虚数的充要条件是 ．
30. 已知复数 ．
（1）若复数 与 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求 ；
（2）若实数 ， 满足 ，求 的共轭复数．
答案
1. C 【解析】复数 的共轭复数是 ．
2. A 【解析】 复数 与 互为共轭复数，
，
．
3. A 【解析】由题意，复数 ，则 ，
所以共轭复数 的虚部为 ．
4. D 【解析】设 （），
因为 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ．
5. C
6. D
7. A 【解析】．
所以 的共轭复数为 ，即对应点为 ．
8. A 【解析】设 ，则
故 ，，解得 ，．
即 ．
9. A 【解析】设 ，则 ，由 ，得 ，
所以 ，，所以 ．
10. B
11. B 【解析】由题意，得 ，
所以 ．
12. C 【解析】，，．
13. C
14. A
15. A
【解析】由题得 ，所以 ，
所以在复平面内 的共轭复数对应的点为 ，在第一象限．
16. C
17. A
18. C 【解析】，
．
19. C 【解析】，
．
20. B
21.
22.
23.
24.
25.
【解析】因为 ，所以 ，所以 的共轭复数是 ．
26. 由已知得： 或
所以 ， 或 ，．
27. ，，，，．
28. 因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以
29. 设 ，且 ，则 ．
若 为纯虚数，则 且 ，于是 ．
若 ，由于 ，则 ，
又由 ，则 ，
于是 为纯虚数．
因此 为纯虚数的充要条件是 ．
30. （1） ，
因为复数 与 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
整理得 ，
因为 ，
所以 ，且 ，
解得 ，，
所以复数 ，
所以 的共轭复数为 ．
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