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第十八章 平行四边形
18.2.1 直角三角形斜边上的中线
掌握直角三角形斜边上的中线的性质.
理解直角三角形斜边上的中线的性质.
【学习目标】
【学习重点】
【学习难点】
运用直角三角形斜边上的中线的性质.
复习旧知 导入新课
上节课我们学习了矩形的性质，
大家还记得有哪些吗？
矩形对边平行且相等.
1
矩形是轴对称图形.
2
矩形的四个角都是直角
1
矩形的对角线相等,且互相平分.
2
合作交流 探索新知
在一个Rt△ABC形状的马路上，两辆汽车在进行比赛，起点均是O点，终点分别为B点和C点.其中O为AC边的中点，请问这个比赛公平吗？
A
B
C
O
A
B
C
D
O
该矩形中，观察Rt△ABC，其中BO
是斜边上的中线，BO与AC有什么关系？
∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴
BO = BD = AC.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学 语言
A
B
C
D
在Rt△ABC中,
∵∠ABC = 90°，BD为AC边的中线,
∴BD = AC.
A
B
C
D
Rt△ABC中，BD是斜边AC的中线，
你能找出几条相等的边和相等的角？
A
B
C
D
由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”可知，
BD = AD = CD
直角三角形斜边上的中线将直角三角形分为了两个等腰三角形.
A
B
C
D
由BD = AD可知，∠1=∠3，
由BD = CD可知，∠2=∠4，
1
3
4
2
又∠1+∠2+∠3+∠4 =
∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°.
被直角三角形斜边上的中线分成的两个等腰三角形的底角互余.
A
B
C
D
∵点D在边AC上，
∴∠5 +∠6 = 180°.
5
6
被直角三角形斜边上的中线分成的两个等腰三角形的顶角互补.
A
B
C
D
∵∠5为△BCD的外角，
∴∠5 =∠2 +∠4，
5
4
2
同理可得，∠6 =∠1+∠3.
6
1
3
被直角三角形斜边上的中线分成的两个等腰三角形中，一个三角形的顶角等于另一个三角形的两底角和.
应用迁移 巩固提高
例1.如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD = AB，
则下列结论错误的是（　　）
A
A．∠B = 30° B．AD = BD
C．∠ACB = 90° D．△ABC是直角三角形
A
C
B
D
例2.如图，在Rt△ABC中,∠ACB =90°，如果CD、CM分别 是斜边上的高和中线，AC =2，BC =4，那么下列结论
中错误的是（　　）
C
A．∠ACD =∠B B．CM =
C．∠B = 30° D．CD =
C
A
D
M
B
例3.如图，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，
BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接
DE，DF．若DE =kDF，则k 的值为（　　）
A
A．1
B．2
C．3
D．4
A
D
B
E
C
F
M
随堂练习 巩固新知
1.在Rt△ABC中，∠ACB =90°，点D为斜边AB的中点，
若CD = 3 cm，则下列说法正确的是（　　）
C
A．AC = 3 cm B．BC = 6 cm
C．AB = 6 cm D．AC = AD = 3 cm
C
A
D
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18 cm，AC的长6 cm，则AD的长为
（　　）
C
A．13 cm B．12 cm C．5 cm D．8 cm
C
D
A
E
F
B
3.如图，在△ABC中，AB =AC =3，BC =4，AE平分
∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则
△BDE的周长是（　　）
C
A．3
B．4
C．5
D．6
A
D
B
E
C
4.如图，△ABC中，AB =AC =16，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为26，则BC的长为（　　）
A
A．20
B．16
C．10
D．8
A
B
D
C
E
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，CD为AB边上的高，
CE为AB边上的中线，AD =2，CE =5，则CD =（　　）
C
A．2 B．3 C．4 D．2
A
B
D
C
E
6.如图，∠ACB =90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE =CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若BF =8，则AB的长为（　　）
A
A．6 B．7 C．8 D．10
F
E
C
A
D
B
7.如图，△ABC中，AB =AC =10，BC=8，AD平分∠BAC
交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的
周长为（　　）
C
A．28 B．20 C．14 D．18
C
E
A
D
B
当堂检测 及时反馈
1.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC =72°，点F在AB上，满足DE =DF，则∠CEF的度数为 ．
54°或 144°
C
E
A
D
B
2.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 度．
30
C
E
A
D
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，AB =10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 ．
D
C
A
B
D
A．3 B． C．6-3 D． 3-3
A
B
C
F
4.如图，在等边△ABC中，AB =6，∠AFB =90°，则CF的最小值为（　　）
5.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（　　）
A．下滑时，OP增大
B．上升时，OP减小
C．无论怎样滑动，OP不变
D．只要滑动，OP就变化
C
A′
A
P′
P
B
B′
O
6.直角三角形斜边上的高与中线分别为5 cm和6 cm，则它的
面积为（　　）cm2．
A
A．30 B．60 C．45 D．15
7.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE =5，BC =8，则△DEF的周长是（　　）
C
A．21 B．18 C．13 D．15
C
E
A
D
B
F
8.直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线
长是（　　）
D
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
9.如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B =2∠A，则
△BCD是（　　）
D
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
C
A
D
B
10.如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，下列结论中错误的有（　　）
（1）∠ACD =∠ECB；（2）CD垂直平分线段EB；
（3）点E在线段AC的垂直平分线上．
C
A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个
B
A
D
C
E
11:如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB = 4.求矩形对角线的长.
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
A
B
C
D
O
∴ AC与BD相等且互相平分.
∴ OA =OB.
又 ∠AOB =60°，
∴ △OAB是等边三角形.
∴ OA =AB =4.
∴ AC =BD =2OA =8.
拓展延伸 能力检测
B
A
D
C
E
1.如图，在△ABC中，∠ABC =90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD =∠CED．
证明：∵在△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC中点，
∴AD = BD．
∵DE⊥AC，
∵∠A +∠C = 90°，
∴∠ABD =∠CED．
∴ AD = AC ，BD = AC ．
∴∠CED +∠C = 90°．
∴∠A=∠ABD，
∴∠A =∠CED，
B
A
D
C
E
B
A
D
C
E
N
M
B
A
D
C
E
N
M
图1
图2
2.如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
解：（1）证明：如图，连接DM，ME，
B
A
D
C
E
N
M
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM =BC，ME=BC，
∴DM =ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
B
A
D
C
E
N
M
∴∠DME =180°﹣2∠A；
（2）在△ABC中，∠ABC +∠ACB =180°﹣∠A，
∵DM =ME =BM =MC，
∴∠BMD +∠CME =（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
=360°﹣2（180°﹣∠A），
=2∠A，
B
A
D
C
E
N
M
∴∠DME =180°﹣（360°﹣2∠A），
=2∠A﹣180°．
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：在△ABC中，∠ABC +∠ACB =180°﹣∠A，
∵DM =ME =BM =MC，
∴∠BME +∠CMD =2∠ACB +2∠ABC，
=2（180°﹣∠A），
=360°﹣2∠A，
总结反思 知识内化
直角三角形
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.直角三角形斜边上的中线将直角三角形分为了两个
等腰三角形.
3.被直角三角形斜边上的中线分成的两个等腰三角形
的底角互余.
4.被直角三角形斜边上的中线分成的两个等腰三角形
的顶角互补.
5.被直角三角形斜边上的中线分成的两个等腰三角形
中，一个三角形的顶角等于另一个三角形的两底角和.

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