资源简介

第七章 《复数》单元测试
一、单选题（共8小题）
1. 已知复数z＝i－，则复数的虚部为(　　)
A. B. － C. － D.
2. 在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D对应的复数是(　　)
A. 1－3i B. －3－i C. 3＋5i D. 5＋3i
3. 复数＋i化成三角形式，正确的是(　　)
A. cos＋isin B. cos＋isin C. cosπ＋isin D. cos＋isin
4. 4(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 150°＋isin 150°)＝(　　)
A. 6＋6i B. 6－6i C. －6＋6i D. －6－6i
5. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A. a－5b＝0 B. 3a－5b＝0 C. a＋5b＝0 D. 3a＋5b＝0
6. 以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　)
A. 3－3i B. 3＋i C. －＋i D. ＋i
7. 复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则(　　)
A. a＝0或a＝2 B. a＝0 C. a≠1且a≠2 D. a≠1或a≠2
8. 若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)
A. 3＋5i B. 3－5i C. －3＋5i D. －3－5i
二、多选题（共4小题）
9. 以下为真命题的是(　　)
A. 纯虚数z的共轭复数等于－z B. 若z1＋z2＝0，则z1＝2
C. 若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数 D. 若z1－z2＝0，则z1与2互为共轭复数
10. 已知复数z满足i2k＋1z＝2＋i(k∈N)，则z在复平面内对应的点可能位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A. (1－i)(1＋i) B. C. D. (1－i)2
12. 已知复数z，下列结论正确的是(　　)
A. “z＋＝0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件
B. “z＋＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件
C. “z＝”是“z为实数”的充要条件
D. “z·∈R”是“z为实数”的充分不必要条件
三、填空题（共4小题）
13. arg＝________.
14. 计算：3(cos 15°－isin 15°)·(1＋i)·(sin 22°＋icos 22°)＝________.
15. 在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－4＋i，3＋2i，1＋5i，那么所对应的复数为________．
16. 计算：＝________.
四、解答题（共6小题）
17. 设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：
(1)z为实数；
(2)z对应的点位于复平面内的第二象限．
18. 已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
19. 在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋2＝0；(2)ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2－4ac<0.
20. 已知复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(1－i)＝z2(1＋i)(i为虚数单位)，|z1|＝.
(1)求z1；
(2)若z1的虚部大于零，且＋1＝n＋i(m，n∈R)，求m，n的值．
21. 将下列复数中代数形式的表示成三角形式：
(1)－1；(2)－i；(3)＋i；
(4)10；(5)4.
22. 已知复数z表示的点在直线y=x上,且|z|=3,求复数z.
1. 【答案】B
【解析】由题可得＝－－i，故可得的虚部为－.
2. 【答案】C
【解析】∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋i－(－i)＝2＋2i.
设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
∴对应的复数为x－1＋(y－3)i，
又∵＝，∴x－1＋(y－3)i＝2＋2i，
由复数相等得∴
∴点D对应的复数为3＋5i.
3. 【答案】B
【解析】复数＋i的模r＝＝1，cosθ＝，sinθ＝，所以可取θ＝，
即＋i＝cos＋isin.
4. 【答案】D
【解析】4(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 150°＋isin 150°)
＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]
＝12(cos 210°＋isin 210°)
＝12
＝－6－6i.
5. 【答案】D
【解析】z＝＋bi＝＋i，由已知＋＋b＝0，得3a＋5b＝0.
6. 【答案】A
【解析】3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3 .∴所求的复数z＝3－3i.
7. 【答案】B
【解析】因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，
所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
8. 【答案】A
【解析】∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
9. 【答案】AD
【解析】对于A，若z为纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)，则＝－bi＝－z，即纯虚数z的共轭复数等于－z，故A正确；
对于B，由z1＋z2＝0，得出z1＝－z2，可设z1＝1＋i，则z2＝－1－i，则2＝－1＋i，此时z1≠2，故B错误；
对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i∈R，则b＋d＝0，但a，c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误；
对于D，z1－z2＝0，则z1＝z2，则z1与2互为共轭复数，故D正确．
10. 【答案】BD
【解析】∵i2k＋1z＝2＋i，∴z＝，∵i1＝i5＝…＝i，i3＝i7＝…＝－i，
∴当k为奇数时，z＝＝＝＝－1＋2i，在复平面内对应的点为(－1,2)，位于第二象限．当k为偶数时，z＝＝＝＝1－2i，在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．
故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限，故选BD.
11. 【答案】BC
【解析】根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}，
当n＝4k(k∈N)时，in＝1；
当n＝4k＋1(k∈N)时，in＝i；
当n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1；
当n＝4k＋3(k∈N)时，in＝－i，
∴M＝{－1,1，i，－i}．
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2 M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i M.
12. 【答案】BC
【解析】对于复数z，若z＋＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z＋＝0，∴“z＋＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件，A错误，B正确；“z＝”是“z为实数”的充要条件，C正确；若z·∈R，z不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z∈R，则z·∈R.∴“z·∈R”是“z为实数”的必要不充分条件，D错误．故选BC.
13. 【答案】
【解析】复数z＝－－i对应的点位于第三象限，且cosθ＝－，所以arg＝.
14. 【答案】6(cos 98°＋isin 98°)
【解析】原式＝3[cos(－15°)＋isin(－15°)]·(cos 45°＋isin 45°)·(cos 68°＋isin 68°)＝3××[cos(－15°＋45°＋68°)＋isin(－15°＋45°＋68°)]＝6(cos 98°＋isin 98°)．
15. 【答案】6－4i
【解析】由题意：＝(－4，1)，＝(3，2)，＝(1，5)，
所以＝＋＝(－4，1)＋(1，5)＝(－3，6)，
所以＝－＝(3，2)－(－3，6)＝(6，－4)，
所以对应的复数为6－4i.
16. 【答案】－2＋i
【解析】方法一　＝＝＝－2＋i.
方法二　＝
＝＝
＝＝－2＋i.
17. 【答案】解　(1)由题意得
解得m＝3(m＝－2舍去)．故当m＝3时，z是实数．
(2)由题意得
即
即
得
解得－5＜m＜－1－.
故当m∈(－5，－1－)时，z对应的点位于复平面内的第二象限．
18. 【答案】解　(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
19. 【答案】解　(1)因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以方程x2＋2＝0的根为x＝±i.
(2)将方程ax2＋bx＋c＝0的二次项系数化为1，
得x2＋x＋＝0.
配方，得2＝，
即2＝－.
由Δ<0，知＝>0.
类似(1)，可得x＋＝±i.
所以原方程的根为x＝－±i.
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
20. 【答案】解　(1)设z1＝x＋yi(x，y∈R)，
则z2＝－x＋yi，
∵z1(1－i)＝z2(1＋i)，|z1|＝，
∴
∴或
即z1＝1－i或z1＝－1＋i.
(2)∵z1的虚部大于零，
∴z1＝－1＋i，∴1＝－1－i，又＋1＝n＋i，
则有＋(－1－i)＝n＋i，
即－－1－－i＝n＋i.
∴
∴
21. 【答案】解　(1)模长r＝1，辐角主值arg(－1)＝π，
∴－1＝cos π＋isin π.
(2)模长r＝＝2，设辐角为θ，tanθ＝－，且(，－1)在第四象限，则辐角主值为π.
∴－i＝2.
(3)模长r＝＝3，
设辐角为θ，tanθ＝1，且在第一象限，
∴辐角主值为，
∴＋i＝3.
(4)设辐角为θ，cosθ＝，
sinθ＝，θ可取，所以原式＝10.
(5)设辐角为θ，sinθ＝，cosθ＝－，θ可取π，所以原式＝4.
22. 【答案】解　设z=a+bi(a,b∈R),
则b=a,且=3,
解得
因此z=6+3i或z=-6-3i.

展开更多......

收起↑