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共点力作用下物体的平衡
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
一．共点力作用下物体的平衡
1 . 平衡状态
一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态。
练习：以下四种情况中物体处于平衡状态的有
A. 竖直上抛物体达最高点时
B. 做匀速圆周运动的物体
C. 单摆摆球通过平衡位置时
D. 水平弹簧振子通过平衡位置时
点评：
①平衡的物体不一定静止;
②保持静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于平衡状态。
2 . 平衡条件
物体所受合外力为0，即F合=0
3 . 平衡条件的推论
①物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与其余力的合力等值反向；
②物体在同一平面内的三个不平行的力的作用下处于平衡状态，则这三个力必为共点力；
③物体在三个共点力作用下处于平衡时，表示三力的矢量形成封闭的矢量三角形。
二．共点力作用下物体的平衡
1.求共点力作用下物体平衡问题的一般步骤
例1 如图所示，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环。现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L。则钩码的质量为
第一步：抓关键点→获取信息
第二步：找突破口→构建思路
答案　D
（1）力的合成法
（2）力的分解法
（3）正交分解
二．共点力作用下物体的平衡的处理方法
11 . 静态平衡问题的处理方法
2.动态平衡问题的处理方法
动态平衡问题是指通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．这类问题的特征是“缓慢移动”（即物体速度极小，计算时可认为为零）．
2. 动态平衡问题的处理方法
（1）图解法
能用图象法处理的这类问题往往有如下特点：
①物体受三个力；
②一个力大小方向始终不变（一般是重力）；
③一个力的方向不变
例2．如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑固定斜面上，斜面倾角为α．在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大至水平，在这个过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？
2. 动态平衡问题的处理方法
（1）图象法
能用图象法处理的这类问题往往有如下特点：
①物体受三个力；
②一个力大小方向始终不变（一般是重力）；
③一个力的方向不变
（2）解析法
Mg
FT
FN
【练习1】 (2013·天津卷，5)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)．
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
Mg
FT
FN
Mg
FT
FN
（3）相似三角形法
寻找力的矢量三角形和结构三角形相似
能运用此法求解的题的特点
①物体受三个力平衡
②一个力大小和方向均不变（一般为重力）
③其余力方向变化
例2．如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示.今缓慢拉绳使小球从A点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小FN及细绳的拉力T大小的变化情况是 （ ）
A．FN变大，T变大
B．FN变小，T变大
C．FN不变，T变小
D．FN变大，T变小
C
((4)辅助圆法
能运用此法求解的题的特点
①物体受三个力平衡
②一个力大小和方向均不变（一般为重力）
③另两个力方向均发生变化，但这两个力方向间的夹角始终不变
例3 (2017湖南高考21，多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为 α（ α >π/2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
AD
练习2
（多选）如图所示，两根轻绳一端系于节点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA成α=120°，拉力大小为F2．将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态．则在旋转过程中，下列说法正确的是（　　）
A．F1逐渐增大
B． F1先增大后减小
C． F2逐渐减小
D． F2先减小后增大
BC
3.连接体问题
例4. 如图所示，重量为G的均匀链条，两端用等长的轻绳连接，挂在等高的地方，绳与水平线成θ角．试求：
（1）绳子的张力大小；
（2）链条最低点的张力大小．
常用方法： 整体法和隔离法
图（a）
【解析】（1）以链条为研究时象，它受绳子拉力FT1、FT2及重力G的作用，由于链条处于平衡状态，所以这三个力必相交于一点。其受力情况如图（a）所示．
FT1cosθ ＝ FT2cosθ ①
FT1sinθ＋FT2sinθ＝G ②
由①②式得FT1＝FT2＝
由①②式得FT1＝FT2＝
由①②式得FT1＝FT2＝
由①②式得FT1＝FT2＝
③
对整个链条，由正交分解与力的平衡条件得：
（2）由于链条关于最低点是对称的，因此链条最低点处的张力是水平的，链条左侧半段的受力情况如图（b）所示．
（b）
对左半段链条
FT1 cosθ＝FT ④
由③④得
FT1=
例5. 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是 （ ）
A．FN不变，f变大
B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大
D．FN变大，f变小
B
练习3
如图所示，人重为G1=500N，平台重为G2=300N，人用绳子通过滑轮装置拉住平台，滑轮的重量及摩擦均不计，人与平台均处于静止状态，求人对绳子的拉力及人对平台的压力大小。
三 . 物体平衡中的临界和极值问题
1．临界问题
物体系由于某些原因而发生突变（从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态）时所处的状态，叫临界状态．临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态．
平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解．解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”．
2．极值问题
极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值．求解极值问题有两种方法：
（1）解析法
（2）图解法
x
y
F
θ
G
Ff
FN
(1)地面上的物体受几个力的作用？
(2)三个以上力的平衡问题用什么方法求解？
(3)对列出的方程,求极值问题有几种方法？分别要用到什么知识？
转 原题
由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着拉力与水平方向的夹角α的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样．而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等．
x
y
F
θ
G
Ff
FN
解析显隐
【例6】如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
练习4
直角劈形木块（截面如图所示，∠ACB=37°）质量M =2kg，用外力顶靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块保持静止？（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
20N≤F≤100N
[例7]　如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小．
解析　(1)如图所1示，
对物体受力分析，由平衡条件得
mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝
(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图2所示，由平衡条件得Fcos α＝mgsin α＋Ff
FN＝mgcos α＋Fsin α
Ff＝μFN
解得F(cos α－μsin α)＝mgsin α＋μmgcos α
当cos α－μsin α＝0，
即cot α＝ 时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°
拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切值tan θ0.
解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，由平衡条件得
Fcos θ＋mg－FN＝0① Fsin θ－Ff＝0②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力，则
Ff＝μFN③ 联立①②③式得F＝ ④
(2)使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力等于拖把与地板间的最大静摩擦力，设为Ffm，
则依题意有 Ffm/FN＝λ ⑤
若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应满足Fcos θ＋mg＝FN⑥ Fsin θ≤Ffm ⑦
联立⑤⑥⑦式得F(sin θ－λcos θ)≤λmg ⑧
因为λmg总是大于零，要使得F为任意值时上式总是成立，只要满足sin θ－λcos θ≤0 ⑨
即有tan θ≤λ ⑩
上式取等号即为临界状态，则tan θ0＝λ

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