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首先要突出说明的是选题的现实价值，每一个研究的目的都是为了指导现实生活，一定要讲清本选题的研究有什么实际作用、解决什么问题；其次再写课题的理论和学术价值。
7.3 万有引力理论的成就
第七章 万有引力与宇宙航天
上一节课我们学习了万有引力知道：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们的距离r的二次方成反比。如果用公式表示可以写成.
当我们知道万有引力后，在实际中万有引力理论又有哪些成就？
导 入
“称量”地球的质量
01
“称量”地球的质量
“称量”地球质量时，我们应该选择哪个物体作为研究对象？运动哪些物理规律？需要忽略哪些次要因素？
第一个称出地球质量的人
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量M 。因此，卡文迪什被称为“第一个称出地球质量的人”。
算一算：设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
方法一：重力加速度法(g、R）
科学真是迷人。根据零星的事实，增加一点猜
想，竟能赢得那么多的收获！ ——马克·吐温
想一想：还有其他方法吗？
算一算：已知月球绕地球周期T=27.3天，月地平均距离r=3.84×108m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
方法二：环绕法（T、r）
忽略太阳及其他天体对月球的引力。
计算天体的质量
02
1、根据天体表面重力加速度求天体质量
——重力加速度法(g、R法)或自力更生法
基本思路
G重 = F引
R-----中心天体的半径
g-----中心天体表面的重力加速度
注意:
（1）此法适用于无卫星的天体或虽有卫星，但不知道其有关参量。
（2）有时没有直接告诉天体表面的重力加速度，但可以间接求出，也适用此方法。
物体在天体表面附近受到的重力近似等于万有引力
2、根据行星或卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供求中心天体质量
R
太阳
r
v
地球
R
地球
r
v
月球（或人造卫星）
R
r
v
月球
月球
卫星
R
中心天体
r
v
环绕
天体
——“环绕法（T、r）” 或“借助外援法”
最常用：
即：
基本思路
F引 = F向
行星（或卫星）做匀速圆周运动，万有引力提供所需的向心力
以月球绕地球做匀速圆周运动为例（已知引力常量G），若：
已知条件：月球线速度 v
月球轨道半径 r
已知条件：月球角速度 ω
月球轨道半径 r
已知条件：月球公转周期 T
月球轨道半径r
★其他环绕天体围绕中心天体做匀速圆周运动时，求解中心天体质量的方法类似。
（1）只能求出中心天体的质量M，不能求出环绕天体的质量m。
特别说明：
（2）地球的公转周期（365天）、地球自转周期（1天）、月球绕地球的公转周期（27.3天）等，在估算天体质量时，常作为已知条件。
（3）有些题目中，引力常量G不是已知条件，但已知地球表面重力加速度g和地球半径R，地球质量M等（地球质量M有时也不告诉），处理方法：
假设有一质量为m’的物体在地球表面（忽略地球自转，G=F引）
GM=gR2 （地球质量未知，利用黄金代换式整体代换）
（地球质量已知）
计算中心天体的密度
03
基本思路
计算天体的密度
1、重力加速度法(g、R法)或自力更生法
????
?
????
?
基本思路
计算天体的密度
2、“环绕法（T、r）” 或“借助外援法”
同理:可用v-r、ω-r、v-T等求质量的方法求天体的密度。
r=R
结论：当卫星环绕中心天体表面运动时，轨道半径r≈R，则此中心天体的密度为：
R
r
发现未知天体
04
到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。
天王星
疑问：是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
天王星
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
(英)亚当斯 (法)勒维耶
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。
在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
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冥王星的发现
哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
预言哈雷彗星回归
课堂小结
典例
04
1．下列说法正确的是（　　）
A．在不用考虑物体本身的大小和形状时，物体可以被视为质点是运用了极限思想
B．曲线运动中，加速度一定不为零
C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律
D．“笔尖下发现的行星”——天王星的发现确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈
B
2．2022年11月27日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为 ，角速度大小为 ，引力常量为，则地球的质量为（　　）
A
B
C
D
C
3．中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为h，运行周期为T，地球半径为R，万有引力常量为G，由此可得到地球的平均密度为（　　）
A
B
C
D
C
4．若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有T/6时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度 为（????）
A
B
C
D
C
5．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为 ；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为 ，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　）
A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为
D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间为
A
设地球质量为M，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r和R，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为，近地卫星Ⅱ的周期为T。根据开普勒第三定律
对于卫星Ⅱ
对于地球
对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得
当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为时 ，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为t。若两卫星同向运行，则有
若两卫星相向运行，则有
6．从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍。设火星表面重力加速度为 ，月球表面重力加速度为 。若在火星表面将一质量为 的物体竖直上抛，物体上升的最大高度为 ；在月球表面将一质量为的物体以相同的初速度竖直上抛，物体上升的最大高度为 。下列表达式正确的是（　　）
A
B
C
D
D
检 测
05
1．假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的2/3。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（　　）
A
B
C
D
D
2．月球绕地球做圆周运动，月球到地心的距离为，月球绕地球转一圈需要的时间为 ，地球的半径为 ，则地球表面的重力加速度可表示为（　　）
A
B
C
D
B
3．下列说法正确的是（　　）
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D．天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
CD
4．用弹簧测力计测量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随测量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球的质量为m地，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（???）
A．在北极地面测量时，弹簧测力计的读数为
B．在赤道地面测量时，弹簧测力计的读数为
C．在北极上空高出地面h处测量时，弹簧测力计的读数为
D．在赤道上空高出地面h处测量时，弹簧测力计的读数为
AC
5．探月飞船离开地球后关闭推进器，仅仅依靠惯性沿地球与月球的连心线飞往月球。在飞行途中飞船会经过一个特殊的点P，在这一点，飞船所受到的地球对它的引力与月球对它的引力正好抵消（不考虑其他星体对飞船的引力作用）。已知地球质量为6.0×1024kg，月球质量为7.4×1022kg，地球中心与月球中心之间的距离约为 。
（1）在探月飞船到达P点之前，飞船作什么运动？
（2）P点距离月球中心多远？
在探月飞船到达P点之前，飞船作减速运动（加速度逐渐减小的减速运动）
6．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同：若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体。求：
（1）地球半径R；
（2）若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求此时地球自转周期T'。

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