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8.4机械能守恒定律
一、机械能
1、动能：
3、重力势能：
v 指相对地面的速度；
① h为物体到零势能面的高度；
② 零势能面的选择：
地面、最低点、最高点、初位置、末位置
2、弹性势能：
机械能=动能+重力势能+弹性势能
建立情景：
1、物体由A运动到B，重力做功：
2、物体由A运动到B，由动能定理得：
①
②
由①②得：
初位置重力势能： ，动能：
末位置重力势能： ，动能：
对单个物体，只有重力做功时，物体机械能守恒
在光滑水平面上, 物体以v0 速度向左运动压缩弹簧，压缩量为△ x时，速度为v
1、物体向左压缩弹簧△x的过程，
2、物体向左压缩弹簧△x的过程，由动能定理得：
由①②化简得：
对多个物体，只有重力或系统内弹力做功时，系统机械能守恒
②
①
弹力做功：
平均力：
二、机械能守恒定律
1、内容：
在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变
2、常用表达式：
注意：要选定零势能面，h1 h2为物体到零势能面的高度
3、条件判断：
①做功：
②能量：只有动能与势能相互转化，不出现其它形式的能量
系统（多个物体）：只有重力或系统内弹力做功
单个物体：只有重力做功
(初位置机械能)
(末位置机械能)
（可受其它力，但其它力不做功）
例：吊车将货物以速度 v 匀速吊起 h
1、画运动情景图，受力分析
由运动状态判断受力：匀速则合力为0
mg
F
h
2、判断机械能是否守恒：
除了重力做功，还有F做功，机械能不守恒
3、机械能的变化：
初位置：
以初位置所在面为零势能
末位置：
机械能增加：
除了重力以外的其它力（即F）做功：
其它力对物体做正功，机械能增加；做负功，机械能减少
(其它力：指除了重力以外的力)
【例1】 下列运动中满足机械能守恒的是
A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
E．物体沿光滑圆弧面从下向上滑动
F．降落伞在空中匀速下降
答案：ACE
情景：弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A 处自由下落，到达A 开始与弹簧接触， B 处小球重力等于弹力，到达C 处被压缩到最低点
从A至C：v 方向一直向下；
形变量△x增大，弹力F一直增大；
A至B：
方向向下，且变小
做加速度减小的加速运动
在B点：
速度达到最大
做加速度变大的减速运动，在C点速度为零
B至C：
方向向上，且增大
F
mg
F
mg
情景：弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A 处自由下落，到达A 开始与弹簧接触， B 处小球重力等于弹力，到达C 处被压缩到最低点
小球：
1、高度下降，重力势能减小
2、v 先增大后减小，动能先增大后减小
3、弹力对球做负功，小球机械能减小
弹簧：
形变量增大，弹性势能增大
2、小球减小的机械能转化为弹簧的弹性势能
小球和弹簧组成的系统：
1、只有重力和系统内弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒
情景：小球位于光滑的斜面体，斜面体M位于光滑的地面上（不固定）。小球从斜面体顶端下滑的过程，小球机械能是否守恒？
1、小球受力分析如图：
FN1
mg
2、斜面体受力分析如图：
小球加速下滑
Mg
FN2
FN1’
斜面体合力水平向右
3、运动情况：
小球一直紧贴着斜面体加速下滑，小球位移 l 如图所示；
斜面体受合力水平向，故水平向右加速运动；
l
4、小球：重力做功，FN1对小球做负功，小球机械能不守恒
斜面体：FN1’对斜面体做正功，斜面体机械能不守恒
小球与斜面体组成的系统：小球重力及弹力系统内弹力
FN1 、FN1’ 做功，系统机械能守恒
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【答案】CD
机械能守恒定律解题步骤：
1、明确研究对象： 单个物体或系统
2、明确过程：
3、判断机械能是否守恒：
4、选零势能面：
5、写初位置系统总的机械能：
6、写末位置系统总的机械能：
解：哪个过程，以哪里为零势能面，由机械能守恒定律得
例如由A位置到B位置的过程
②系统（多个物体）：只有重力或系统内弹力做功
①单个物体：只有重力做功
地面、最低点、最高点、初位置、末位置
如图所示，在水平台面上的A 点，一个质量为m 的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B 点时速度的大小．
解一：以地面为零势能面，物体由A到B的过程，由机械能守恒定律得：
解二：以桌面为零势能面，物体由A到B的过程，由机械能守恒定律得：
解三：以B点所在平面为零势能面，物体由A到B的过程，由机械能守恒定律得：
例4：如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？
M:
m:
1、明确研究对象：
M m 组成的系统
2、明确过程：
静止开始下降h
3、判断机械能是否守恒
4、选取零势能面：
以桌面作为零势能面
5、写初位置系统总的机械能：
h0
h
6、写末位置系统总的机械能：
M:
m:
例4：如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？绳子拉力对M做的功为多少？
h0
h
解：以桌面面为零势能面，设刚开始M离桌面高度为h0，对Mm组成系统，从静止开始下落的过程，由机械能守恒定律得：
解得：
M从静止开始下降h 的过程，由动能定理得：
解得：
机械能守恒定律
第一种表达式：
初位置的机械能等于末位置的机械能
1、单个物体：
2、系统（多个物体）：
注意：首先得选定零势能面
注意： ①一般需假设物体到零势能面的高度；
②将每一个物体的重力势能和动能逐个写出来再相加。
初位置m1
机械能
初位置m2
机械能
末位置m2
机械能
末位置m1
机械能
如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．
选择刚开始B所在平面作为零势能面
分析过程：
1、明确研究对象：
AB组成的系统
2、明确过程：
B 由图示位置达到圆柱顶点的过程
3、判断机械能是否守恒
4、选取零势能面：
5、写初位置系统总的机械能：
A的机械能：
B的机械能：
6、写末位置系统总的机械能：
A的机械能：
B的机械能：
B
A
如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．
解：以刚开始B所在平面为零势能面，设刚开始A离桌面高度为h，对AB组成系统，在物体B 达到圆柱顶点的过程，由机械能守恒定律得：
解得：
对B物体，由动能定理得：
解得：
4.如图所示，竖直平面内的 圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O 等高，AD为水平面，B 端在O 的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力的9倍。求：
（1）释放点距 A 的竖直高度；
（2）落点 C 与 A 水平距离。
分析：
2、小球由静止下落至B点,出现初末速度，应该用动能定理；
或者这个阶段只有重力做功，用机械能守恒定律
3、最后做平抛运动，那首先想到平抛运动的知识
1、小球在B点做的是圆周运动，且是最低点，应该首先想到圆周运动在最低点的知识
《全优》P126 滚动检测10 第11题
解：（1）小球在B点受力分析如图，由牛顿第二定律得：
小球由静止下落至B点,以B为零势能面，由机械能守恒定律得：
由①②解得：
①
②
（2）设小球到达最点的速度为v2 ，小球由B点至最高点过程，以B为零势能面，由机械能守恒定律得：
从最高点落到C 做平抛运动，则:
④
⑤
③
落点C 与A的水平距离：
⑥
由上述各式解得：
机械能守恒定律
第二种表达式：
一般用于系统（多个物体），先判断系统总的动能增加还是减少。
2、动能的减少量等于势能增加量
1、动能的增加量等于势能减少量
增加量或者减少量：都是用大的减去小的
①总的动能增加，则总的势能必定减少。
②总的动能减少，则总的势能必定增加。
如果无法掌握第二种表达式，那就放弃它，用第一种表达式完全可以解决所有的问题。
例4：如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？
1、判断哪种形式的能量增加：
从静止开始下降：系统动能增加，重力势能减少
2、写系统动能增加量：
3、写系统势能减少量：
解：从静止开始下降h，由机械能守恒定律得
解得
如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．
1、判断哪种形式的能量增加：
从静止开始下降：系统动能增加，系统势能减少
2、写系统动能增加量：
3、写系统势能减少量：
A 势能的减少量：
B 势能的增加量：
A 动能增加量：
B 动能增加量：
因为系统势能减少，所以A 势能的减少量大于B 势能的增加量
系统势能减少量 = A 势能的减少量 - B 势能的增加量
如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．
解：对AB组成系统，在物体B 达到圆柱顶点的过程，由机械能守恒定律得：
解得：
对B物体，由动能定理得：
解得：
机械能守恒定律第二种表达式：
变化量 = 末 – 初
物体由A运动到B：
重力势能变化量：
①
②
动能的增加量等于重力势能减少量或者动能的减少量等于重力势能增加量
由①②③得：
（第二种表达式）
（第一种表达式）
动能变化量：
（第二种表达式）
机械能守恒定律
第二种表达式：
1、单个物体：
2、系统（多个物体）：
逐个写出每一物体动能变化量，再相加得到系统的动能变化量
逐个写出每一物体重力势能变化量，相加得到系统重力势能变化量
实际应用的公式：
2、动能的减少量等于势能增加量
1、动能的增加量等于势能减少量
变化量 = 末 – 初
注意：
为变化量，
如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．
1、明确研究对象：
AB组成的系统
2、明确过程：
B 由图示位置达到圆柱顶点的过程
3、判断机械能是否守恒
4、写初位置系统动能变化量：
A：
B：
5、写末位置系统势能变化量：
A：
B：
B
A
物体下降，重力势能变化量为负的；物体上升，重力势能变化量为正的；关键在于找初末位置高度差
如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．
解：对AB组成系统，在物体B 达到圆柱顶点的过程，由机械能守恒定律得：
解得：
对B物体，由动能定理得：
解得：

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