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数列专题突破——由Sn求an
【学习目标】
1.理解Sn与an的关系；
2.会由Sn与an的关系式求通项公式.
【学习过程】
题型一　已知Sn求an
例1　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】　4n－5
【解析】　a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，
因为a1也适合上式，所以an＝4n－5.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________.
【答案】　
【解析】　根据题意，
可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.
由通项公式与求和公式的关系，
可得an＝Sn－Sn－1，
代入化简得
an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.
经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，
所以S1≠a1，
所以an＝
(3)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.
【答案】　
【解析】　当n＝1时，a1＝21＝2.
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝(n≥2)．
显然n＝1时不满足上式，∴an＝
小结：已知Sn求an的常用方法是利用an＝，注意检验a1将结果合并或分段.
跟踪训练1．（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
【答案】　2n＋1
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2_2n+3，则an＝________.
【答案】　
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋3－[(n－1)2－2(n－1)＋3]＝2n－3.由于a1＝2不适合上式，∴an＝.
设数列{an}满足，求{an}的通项公式.
【答案】 .
【解析 】 由，取可求，取时，可得，两式相减可求，由此可得的通项公式．.
数列满足，
当时，得，
时，由可得，
两式相减得：，
∴，
当时，，上式也成立.
∴.
题型二　由an与Sn的关系求通项公式（消Sn）
例2　(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于(　　)
A．27 B．81
C．93 D．243
【答案】　B
【解析】　根据2Sn＝3an－3，
可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，
即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
（2）(2022·沈阳模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＝2Sn＋n＋1，a2＝2，求数列{an}的通项公式an；
【解析】　当n≥2时，
由a＝2Sn＋n＋1，a2＝2，
得a＝2Sn－1＋n－1＋1，
两式相减得a－a＝2an＋1，
即a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2.
∵{an}是正项数列，∴an＋1＝an＋1.
当n＝1时，a＝2a1＋2＝4，
∴a1＝1，∴a2－a1＝1，
∴数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n.
跟踪训练2．（1）已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
【答案】　－2n－1
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，
∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
正项数列{an}的前项和Sn满足：，，求数列{an}的通项公式.
【解析】∵正项数列的前项和满足：
，①
则，②
①②得
即
即
又，，.
又，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列所以.
题型三　由an与Sn的关系求通项公式（消an）
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________.
【答案】　
【解析】　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
两边同时除以Sn＋1Sn，
得－＝－1.
故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
则＝－1－(n－1)＝－n.
所以Sn＝－.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，
故an＝
跟踪训练3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝，an >0 ，an＋1(Sn＋1＋Sn)=2，求{Sn}的通项公式.
【答案】
【解析】 因为 an＋1(Sn＋Sn＋1)=2，所以(Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn)=2
所以Sn＋12－Sn2=2，又因为S12=2
所以数列{Sn2}是首项为2，公差为2的等差数列
则Sn2=2+2（n-1）=2n
由an >0 得Sn=.
小结：　Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．数列专题突破——由Sn求an
【学习目标】
1.理解Sn与an的关系；
2.会由Sn与an的关系式求通项公式.
【学习过程】
题型一　已知Sn求an
例1　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________.
(3)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.
小结：
跟踪训练1．（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2_2n+3，则an＝________.
设数列{an}满足，求{an}的通项公式.
题型二　由an与Sn的关系求通项公式（消Sn）
例2　(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于(　　)
A．27 B．81
C．93 D．243
(2022·沈阳模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＝2Sn＋n＋1，a2＝2，求数列{an}的通项公式an.
跟踪训练2．（1）已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
正项数列{an}的前项和Sn满足：，，求数列{an}的通项公式.
题型三　由an与Sn的关系求通项公式（消an）
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________.
跟踪训练3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝，an >0 ，an＋1(Sn＋1＋Sn)=2，求{Sn}的通项公式.
小结：　

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