资源简介

8.4.1 平面
【教学目标】
1.正确理解平面的概念；
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.
【自主学习】
1、平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).
(3)平面的表示
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.
2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
点A在直线上，则， 点A在直线外，则;
点A在平面内，则， 点A在平面外，则;
直线 在平面内，则， 直线 在平面 外，则 ;
平面与平面相交直线，则.
3、平面的基本事实
文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B, C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l
4、基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
【课内探究】
例1. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
例2. 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
例3. 已知：△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，
求证：P，Q，R三点共线．
【当堂检测】
一、单选题
1．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点 B．空间中两条直线
C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点
2．如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
， B．，
C．， D．，
3．已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对
4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
A． B．
C． D．
5．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ）
A．两个公共点 B．三个公共点
C．四个公共点 D．两条平行直线
6．在正三棱柱中，，，分别在上，且，则过三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列语句不是公理的是（ ）
A．过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面
B．经过一条直线与直线外一点有且只有一个平面
C．经过两条平行线有且只有一个平面
D．经过两条相交直线有且只有一个平面
8．下列说法正确是（ ）
A．三棱锥是四面体，正三棱锥是正四面体
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．平行的线段在直观图中仍然平行
D．圆心和圆上两点可确定一个平面
三、填空题
9．三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．
10．点在直线上，可用集合符号表示为______．
11．对于结论“若，且，则”，用文字语言可以叙述为_ _.
12．在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①与共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，；
④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为.
其中正确的有___________（填写序号）.
四、解答题
13．如图，正方体中的12条棱，可以确定多少个平面？
14．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．
15．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
16．如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.

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