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第六章 平面向量及其应用
6.2.3 向量的数乘运算
学案
学习目标
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算规则.
2.理解平面向量的数乘运算的几何意义.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
知识汇总
1.向量的数乘运算：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.
由（1）可知，当时，，由（1）（2）可知，.
2.向量数乘的运算律：设，为实数，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
特别地，有，.
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.
4.向量共线定理：向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
习题检测
1.在中，，，若点D满足，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，为线段上的一点，且，则( ).
A.， B.，
C.， D.，
3.若，与的方向相反，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为( )
A. B. C. D.
5.（多选）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6.化简：______________.
7.设向量，不平行，向量与平行，则实数________.
8.设D，E分别是的边AB，BC上的点，，.若(，为实数)，则的值为___________.
9.设，是不共线的两个非零向量，若，，，求证：A，B，C三点共线.
10.如图，在中，，P是BN上的一点，若，求实数m的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：.故选A.
2.答案：D
解析：由，得，整理得，所以，，故选D.
3.答案：B
解析：与的方向相反，存在实数，使，，即，，.
4.答案：B
解析：因为，，三点共线，所以向量.令，，，由，是不共线的向量，得，解得，.故选B.
5.答案：ABC
解析：在中，，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D不正确.故选ABC.
6.答案：
解析：
.
7.答案：
解析：因为向量，不平行，向量与平行，所以存在实数，使得，即，解得，所以.
8.答案：
解析：由已知，
所以，，从而.
9.解析：由题意得，
，
所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线.
10.解析：，
.
，
设，则，
即.
，不共线，，
.
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