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第六章 功和能
动能定理
【知识要点】
一、动能
1.定义：物体由于运动而具有的能.
2.公式：Ek＝mv2.
3.单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
4.标矢性：动能是标量，动能与速度方向无关.
5.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔEk＝mv22－mv12.
二、动能定理
1.内容：在一个过程中合力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.
2.表达式：W＝ΔEk＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12.
3.物理意义：合力的功是物体动能变化的量度.
4.适用条件：
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动.
(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功.
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.
5.动能定理表明了“三个关系”
(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功.
(2)因果关系：合外力做功是引起物体动能变化的原因.
(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳.
6.标量性
动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题.当然动能定理也就不存在分量的表达式.
三、　动能定理的基本应用
1.应用流程
2.注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系.
(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理.
(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验.
【配套练习】
1、(多选)关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是(　　)
A.公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B.公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功
C.公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时动能增加，当W<0时，动能减少
D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
2、关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是(　　)
A.合外力为零，则合外力做功一定为零
B.合外力做功为零，则合外力一定为零
C.合外力做功越多，则动能一定越大
D.动能不变，则物体所受合外力一定为零
3、一个质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑水平面上以6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为(　　)
A．Δv＝0 B．Δv＝12 m/s
C．W＝1.8 J D．W＝10.8 J
4、质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，则(　　)
A.质量大的物体滑行的距离大 B.质量小的物体滑行的距离大
C.它们滑行的距离一样大 D.它们克服摩擦力所做的功一样多
5、如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为(　　)
A.μmgR　　　　 B.mgR C．mgR D．(1－μ)mgR
6、一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点．第一次小球在水平拉力F1作用下，从平衡位置P点缓慢地移到Q点，此时绳与竖直方向夹角为θ(如图所示)，在这个过程中水平拉力做功为W1.第二次小球在水平恒力F2作用下，从P点移到Q点，水平恒力做功为W2，重力加速度为g，且θ＜90°，则(　　)
W1＝F1lsin θ，W2＝F2lsin θ
W1＝W2＝mgl(1－cos θ)
W1＝mgl(1－cos θ)，W2＝F2lsin θ
W1＝F1lsin θ，W2＝mgl(1－cos θ)
如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m的物块，站在地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h，当人以速度v从平台的边缘处向右匀速前进位移x时．则(　　)
在该过程中，物块的运动可能是匀速的
在该过程中，人对物块做的功为
在该过程中，人对物块做的功为mv2
人前进x时，物块的运动速率为
(多选)一个质量为m＝1 kg的带孔小球穿在固定的粗糙水平长横杆上，小球与横杆间的动摩擦因数为μ＝0.6.某时刻小球获得一个水平向右的瞬时速度v0＝15 m/s，同时小球受到一个竖直向上的作用力F，F与速度的平方成正比，比例常数为k＝0.4，重力加速度为g＝10 m/s2，则小球运动的整个过程中(　　)
A．作用力F对小球做功为0
B．作用力F对小球做功为－112.5 J
C．摩擦力对小球做功为－112.5 J
D．摩擦力对小球做功为－100 J
如图所示，将质量为m的小球以速度v0由地面竖直向上抛出.小球落回地面时，其速度大小为v0.设小球在运动过程中所受空气阻力的大小不变，则空气阻力的大小等于(　　)
A.mg B.mg C.mg D.mg
小球质量为m，在高于地面h处以速度v竖直上抛，空气阻力为f(f＜mg)．设小球与地面碰撞中不损失机械能．则从抛出直至小球静止的过程中，小球通过的总路程为(　　)
A．mgh＋　　B．mgh＋ C. D.
如图所示，一物体由A点以初速度v0下滑到底端B，它与挡板B做无动能损失的碰撞后又滑回到A点，其速度正好为零．设A、B两点高度差为h，则它与挡板碰前的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
12．(多选)如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离.在此过程中(　　)
A.外力F做的功等于A和B动能的增量
B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量
C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
13.2017 年 5 月 5 日，我国自行研制的大型喷气式客机 C919 首飞成功，标志着我国大型客机 项目取得重大突破。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为0的匀加速直线运动，当位移s = 1.6×103 m 时才能达到起飞所要求的速度 v = 80 m/s。已知飞机质量m = 7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的 0.1，取重力加速度 g = 10 m/s2 ，求：（1）飞机起飞时的动能；（2）机滑跑过程中受到的牵引力的大小
14、人们有时用“打夯”的方式把松散的 地面夯实。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施 加一个力，力的大小均为320 N，方向都 与竖直方向成37°，重物离开地面30 cm 后人停止施力，最后重物自由下落把地 面砸深2 cm。已知重物的质量为50 kg，g取10 m/s2 ， cos37°＝0.8。求：（1）重物 刚落地时的速度是多大？（2）重物对地面的平均冲击力是多大？
15. 拖把是由拖杆和拖把头构成的清洁工具，如图所示。若某同学保持拖 杆与竖直方向的夹角θ = 37°，并用沿拖杆方向的恒力 F = 30 N 推动拖 把头，使其由静止开始在水平地面沿直线运动，位移 s = 1 m。已知拖把头的质量m = 1.6 kg，不计拖杆质量，拖把头与地面间的动摩擦因数μ = 0.3， 取重力加速度 g = 10 m/s2 ，sin 37° = 0.6，cos 37° = 0.8，求：拖把头获得的动能
16、如图 所示，一辆汽车正以v1=72 km/h 的速度匀速直线行驶，司机发现在前方150 m处停有一故障车辆，马上进行刹车操作。设司机的反应时间 t1=0.75 s，刹车时汽车 受到的阻力为重力的1/2。取重力加速度g= 10 m/s2 。请计算从发现故障车至停下，汽车在这段时间内发生的位移，据此判断这两辆车是否会相撞
雨滴在空中下落时会受到空气阻力，空气阻力f 的大小与雨滴下落速率v的二次方成 正比，即f = kv2 ，其中k为常数。若质量为m的雨滴，从高h处以初速度v0竖直加速下落， 接近落地前开始做匀速直线运动。已知重力加速度为 g，求该雨滴从高处下落到地面的过程中，空气阻力对其所做的功。
质量为 m 的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P和汽车受到的阻力f 阻均恒定不变。在时间t内，汽车的速度由v0增加到最大速 vmax，则此段时间内汽车沿直线运动的距离为多少？
19、如图所示，木块放在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块。已知子弹受到的平均阻力为 F阻，射入深度为 d，在此过程中木块的位移为 s，求子弹动能的减少量和木块动能的增加量。
20、修建高层建筑常用的塔式起重机如图所示。在起重机将质量 m = 5×103 kg 的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a = 0.2 m/s2 。当起重机的输出功率达到其允许的最大值时，保持该 功率不变直到重物做vmax= 1.02 m/s 的匀速运动。取重力加速度g = 10 m/s2 ， 不计额外功，求：（1）起重机允许输出的最大功率； （2）重物做匀加速直线运动所经历的时间。
21、某一斜面的顶端到正下方水 平面 O 点的高度为 h，斜面与水平面平滑连接。 一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到 水平面上的 A 点停下。已知小木块与斜面、水 平面间的动摩擦因数均为 μ，求木块在水平面上停止点 A 的位置到 O 点的距离 x，并讨论 ：x 与斜面倾角θ 的大小是否有关？
【拓展应用】如图所示，斜面高为 h，水平面上 D、C 两点距离为 L。可以看成质点的物块从斜面顶点 A 处由静止释放，沿斜面 AB 和水平面 BC 运动，斜面和水平面衔接处用一长度可以忽略不计的光滑弯曲轨道连接，图中没有画出，不计经过衔接处 B 点的速度大小变化，最终物块停在 水平面上 C 点。已知物块与斜面和水平面间的滑动摩擦系数均为 μ。请证明：斜面倾角 θ 稍微增加后，（不改变斜面粗糙程度）从同一位置 A 点由静止释放物块，如图中虚线所示，物块仍然停在同一位置 C 点。
22、如下图，MNP为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡板．M相对于N的高度为h，NP长度为s.一物块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞（碰撞前后速度大小不变）后停止在水平轨道上某处．若在MN段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与N点距离的可能值．
23、如图所示，一质量为 m 的小球， 用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点的正下方 P 点。已 知重力加速度大小为 g。 （1）小球在水平拉力的作用下，从 P 点缓 慢地移动到 Q 点，求水平拉力 F 做的功。
（2）小球在水平恒力 F ＝mg 的作用下， 从 P 点运动到 Q 点， 求小球在 Q 点的速度大小。
答案：1、　BC；2、A；3、B；4、BD；5、 D ；6、C；7、B；8、AD；9、D；10、C；11、C；12、BD；13、14、2.5m/s 83000N .15、-12J，6J；16、会撞。17、18、；19、；20、；21、无关；22、2s－或－2s；23、

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