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2022-2023学年湖北省黄冈市武穴市、浠水县部分学校八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．7，24，25 B．8，15，17 C．5，11，12 D．3，4，5
3．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≤﹣3且x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
4．如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（　　）
A．24 B．22 C．20 D．12
5．下列各式运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．＝﹣＝1
6．若△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
7．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（　　）米．
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.2
8．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（　　）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF，下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则；④若AB＝BE，则，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若最简二次根式与可以合并，则m＝　 　．
12．如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是 　 　．（结果保留π）
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，AC在数轴上，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　 　．
14．已知y＝+8x，则的算术平方根为　 　．
15．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，则AC的长为 　 　．
16．若，，那么a2﹣ab+b2的值为 　 　．
17．如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要　 　m．
18．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 　 　．
三、解答题（共66分）
19．计算：
（1）3×（﹣）；
（2）2﹣6+3；
（3）（）2﹣（）（﹣2）；
（4）（2﹣）2022×（2+）2023﹣2|﹣|﹣（﹣）0．
20．先化简，再求值：（3﹣）÷，其中x＝+1．
21．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2cm，AD＝cm，BC＝4cm，CD＝5cm，求四边形ABCD的面积．
22．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿BC平移到△DCE的位置，连接BD交AC于F，求BF的长．
23．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB．
（1）证明：△ECA≌△DCB；
（2）若AE＝1，AD＝2，求AC的长．
24．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1，
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）化简：①＝　 　；
②＝　 　；
（2）化简：+…+；
（3）若a＝，求4a2﹣8a+1的值．
25．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．7，24，25 B．8，15，17 C．5，11，12 D．3，4，5
【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
解：A、∵72+242＝625，252＝625，
∴72+242＝252，
故A不符合题意；
B、∵82+152＝289，172＝289，
∴82+152＝172，
故B不符合题意；
C、∵52+112＝146，122＝144，
∴52+112≠122，
故C符合题意；
D、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≤﹣3且x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
【分析】根据被开方数是非负数，分母不为零，可得，由此求出x的取值范围即可．
解：由题意得：
，
解得x≥﹣3且x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件，分母不为零是解题的关键．
4．如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（　　）
A．24 B．22 C．20 D．12
【分析】利用AAS证明△ABC≌△CED，得DE＝BC，再利用勾股定理可得结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
∴b的面积为4+16＝20，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ABC≌△CED是解题的关键．
5．下列各式运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．＝﹣＝1
【分析】根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
解：A． （2﹣）÷＝2﹣1＝2﹣1，所以A选项符合题意；
B． ＝＝×＝2×3＝6，所以B选项不符合题意；
C． 与不能合并，所以C选项不符合题意；
D． ＝＝3，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
6．若△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
解：A．b2＝（a+c）（a﹣c），
b2＝a2﹣c2，
b2+c2＝a2，
所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝1：：2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180°×＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和等于180°是解此题的关键．
7．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（　　）米．
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.2
【分析】由勾股定理得AC＝8（m），再由勾股定理得CB'＝6（m），即可得出结论．
解：如图，由题意可知，AC⊥BC，
则△ABC是直角三角形，
∵AB＝10m，BC＝6m，
∴AC＝＝＝8（m），
∵A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，
∴A'C＝AC﹣AA'＝8m﹣2m＝6（m），
∴CB'＝＝＝8（m），
∴BB'＝CB'﹣CB＝8﹣6＝2（m），
即B端将沿CB方向移动的距离是2m，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出AC和CB'的长是解题的关键．
8．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（　　）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
【分析】先把被开方数分解因式，再化简求值．
解：∵1＜a＜3，
∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，
∴﹣
＝|a﹣1|﹣|a﹣4|
＝a﹣1+a﹣4
＝2a﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
【分析】先确定DC′＝DP+PC′＝DP+CP的值最小，然后根据勾股定理计算．
解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，
此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．
∵∠ABC＝30°，
∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，
∴CC′＝2CM＝BC，
∴△BCC′是等边三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，
∵BD＝2，
∴DE＝1，
根据勾股定理可得DC′＝＝＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是关键．
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF，下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则；④若AB＝BE，则，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据已知可得∠FAB＝∠EAC，然后利用SAS可判断①△ABF≌△ACE；利用等腰直角三角形的半角模型可证明△FAD≌△EAD，从而可判断②AD平分∠EDF；根据①可得∠FBD＝90°，BF＝CE＝3，然后利用勾股定理求出DF的长，进行求出BC的长，从而可判断③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；根据AB＝BE，易得∠BAE＝∠BEA＝67.5°，然后再求出∠ADE＝67.5°，最后证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，所以DF＝BD，然后进行计算即可判断④若AB＝BE，S△ABD＝．
解：∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠FAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，AF＝AE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
故①正确；
∵∠DAE＝45°，∠FAE＝90°，
∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE，
∵AD＝AD，AF＝AE，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴∠FDA＝∠EDA，
∴AD平分∠EDF，
故②正确；
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB，
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，
∴DF＝＝＝5，
∵△FAD≌△EAD，
∴FD＝ED＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，
∴AB＝6，
故③正确；
∵AB＝BE，∠ABE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE，
∵BF＝CE，
∴BD＝BF，
∵∠FBD＝90°，
∴DF＝BD，
∴DE＝BD，
∴S△ADE＝S△ABD，
故④错误；
综上所述，正确的个数有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的半角模型是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若最简二次根式与可以合并，则m＝　3　．
【分析】根据同类二次根式的定义和合并同类项法则得出12﹣2m＝m+3，再求出m即可．
解：∵最简二次根式与可以合并，
∴12﹣2m＝m+3，
解得：m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式和同类二次根式的定义等知识点，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：两个或两个以上的二次根式，化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
12．如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是 　　．（结果保留π）
【分析】利用勾股定理求出直角三角形的斜边，再由圆的面积公式计算即可．
解：如图所示：
a＝＝5，
故阴影部分的面积＝π×（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出半圆的直径．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，AC在数轴上，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　　．
【分析】根据题意运用勾股定理求出AB的长，即可得到答案．
解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，
由勾股定理得，AB＝，
则点D表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出AB的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
14．已知y＝+8x，则的算术平方根为　2　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的定义．
15．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，则AC的长为 　4.55　．
【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
解：设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
即AC＝4.55．
故答案为：4.55．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16．若，，那么a2﹣ab+b2的值为 　14　．
【分析】根据完全平方公式可得a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab，然后把a，b的值代入进行计算即可解答．
解：∵a＝，，
∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab
＝（++﹣）2﹣3×（+）（﹣）
＝
＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
17．如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要　7.5　m．
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2＝（2×3）2+4.52＝56.25
所以，x＝7.5花带长至少是7.5m．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
18．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 　16或10或　．
【分析】根据勾股定理先求出BC＝8cm，再由△ABP为等腰三角形，只要求出BP的长即可，分三类，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm；当BA＝BP＝10cm；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理列出方程可求出BP的长．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝xcm，则PC＝（8﹣x）cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，
∴t＝．
综上所述：t的值为16或10或．
故答案为：16或10或．
【点评】本题主要考查了勾股定理、以及等腰三角形的性质，运用分类思想是正确解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．计算：
（1）3×（﹣）；
（2）2﹣6+3；
（3）（）2﹣（）（﹣2）；
（4）（2﹣）2022×（2+）2023﹣2|﹣|﹣（﹣）0．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．
解：（1）原式＝3×（﹣）×2×
＝3×（﹣）×2×5
＝﹣；
（2）原式＝4﹣2+12
＝14；
（3）原式＝2+2+3﹣（5﹣4）
＝2+2+3﹣1
＝4+2；
（4）原式＝[（2﹣）×（2+）]2022×（2+）﹣2×﹣1
＝（4﹣3）]2022×（2+）﹣﹣1
＝2+﹣﹣1
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
20．先化简，再求值：（3﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化是解题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2cm，AD＝cm，BC＝4cm，CD＝5cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．
解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，
∴BD＝＝3（cm），
又∵BC＝4cm，CD＝5cm，
∴CD2＝BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB AD+BC BD
＝×2×+×4×3
＝+6（cm2）．
故四边形ABCD的面积为（+6）cm2．
【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
22．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿BC平移到△DCE的位置，连接BD交AC于F，求BF的长．
【分析】由等边三角形的性质和平移的性质得，CD＝CB，∠DCE＝60°，进而求出∠CBD＝30°，∠BFC＝90°，根据勾股定理求解即可．
解：由等边三角形的性质和平移的性质得，CD＝CB，∠DCE＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BFC＝90°，
∴BD⊥AC，
∴CF＝BC＝1，
∴BF＝＝．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
23．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB．
（1）证明：△ECA≌△DCB；
（2）若AE＝1，AD＝2，求AC的长．
【分析】（1）根据角的和差得到∠BCD＝∠ACE，即可利用SAS证明△ACE≌△BCD；
（2）过点C作CF⊥AD于点F，根据等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式、勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：过点C作CF⊥AD于点F，
∵AE＝1，AD＝2，
∴DE＝AE+AD＝3，
∵CE2+CD2＝DE2，CE＝CD，
∴2CE2＝2CD2＝9，
∴CE2＝CD2＝，
∴S△ECD＝CE2＝，
∵S△ECD＝DE CF＝CF，
∴CF＝，
∵CE＝CD，CF⊥AD，
∴EF＝DE＝，
∴AF＝EF﹣AE＝，
∴AC＝＝＝．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，熟记全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质是解题的关键．
24．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1，
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）化简：①＝　　；
②＝　　；
（2）化简：+…+；
（3）若a＝，求4a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）把各项进行分母有理化，从而可求解；
（3）仿照所给的解答方式进行求解．
解：（1）
＝
＝，
＝
＝，
故答案为：，；
（2）
＝+…+
＝﹣1；
（3）∵a＝
＝
＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，
∴4a2﹣8a+1
＝4（a2﹣2a+1）+1﹣4
＝4×2+1﹣4
＝8+1﹣4
＝5．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
25．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．
【分析】（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25
∴BC＝20，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC＝∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA＝∠ECA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴CE＝DE，AC＝AD＝15，
设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10
在Rt△BED中
∴x2+102＝（20﹣x）2，
∴x＝7.5，
∴CE＝7.5．
（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC＝15，
∴AD＝AC＝15．
②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠CAD，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴CD＝BD＝DA＝12.5，
③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，
则 AB CH＝ AC BC，
∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CH＝12，
在Rt△ACH中，AH＝＝9，
∵CD＝AC，CH⊥BA，
∴DH＝HA＝9，
∴AD＝18．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

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