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2023年中考数学总复习专项突破——关于圆的切线的证明题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
2．如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与交于点F，连接AC．
（1）求证：AC为的切线：
（2）若半径为2，．求阴影部分的面积．
3．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB与CD交于点M，点E在AD的延长线上，且∠BED＝∠ACD．
（1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD∥BE，AC＝4，AM＝CD，求BD的长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．
5．AB是⊙O的直径，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2 ，求BC的长．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径.
7．如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E，F分别在AC，BC，AB边上，以AF为直径的⊙O恰好经过D，E，且DE=EF．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若∠B=40°，求∠CDE的度数；
（3）若CD=2，CE=4，求⊙O的半径及线段BE的长．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心作⊙A与BC相切于D，交AB于点F，在BC上取点E，使CE＝AC，连接EA，EF．
（1）求证：EF是⊙A的切线；
（2）若BE＝5，EF＝4，求点C到EA的距离．
10．如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点 ，与边 相交于点 ， ，垂足为点 ，连接 .
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， 的半径 ，求 的长.
11．如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为8， ，求 的长．
12．已知：如图， 为 的直径， ， 交 于D，E是 的中点， 与 的延长线相交于点F．
（1）求证： 为 的切线；
（2）求证： ．
13．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．
14．已知：如图，在矩形 中，若 ，以 为圆心， 长为半径作 交 的延长线于 ，过 作 ，垂足为 ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的长.
15．如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC= ，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
16．已知：如图，在△ABC中， ，以 为直径的⊙O与 交于点 ， ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线.
（2）若⊙O的半径为4， ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2 ，
∴⊙D的半径AD＝2 ．
2．【答案】（1）解：如图，连接OB，
∵AB是的切线，
∴，即，
∵BC是弦，，
∴，
∴，在和中，，
∴，
∴，即，
∴AC是的切线；
（2）解：在中，
由勾股定理得，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．【答案】（1）解： BE与⊙O相切．理由：∵∠BED＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BED．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°．∴∠BED+∠DBE＝90°．∴∠ABD+∠DBE＝90°．即：AB⊥BE．∴BE与⊙O相切．
（2）解：∵AB⊥BE，CD∥BE，∴AB⊥CD．∵AB为⊙O直径，∴CM＝MD＝CD．∵AM＝CD，∴CM＝MD＝AM．设CM＝x，则AM＝2x．在Rt△ACM中，∵AM2+CM2＝AC2，∴．解得：x＝±4（负数不合题意，舍去）．∴CM＝DM＝4，AM＝8．∴cos∠CAM＝．∵∠BDM＝∠CAM，∴cos∠BDM＝．在Rt△BDM中，∵cos∠BDM＝=，∴BD＝2．
4．【答案】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC=ED，
∴ ∠ECD=∠EDC ，
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解；由（1）得∠ODF=90°，
∵ ∠B=30°，
∴∠DOF=60°，
∴∠F=30°，
∵在Rt△ABC中，AC=4，
∴AB=8， ， ， ，
∴在Rt△ODF中， ，
阴影部分的面积 ．
5．【答案】（1）证明：连接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又 OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：连接DB，
∵直径AB=2 ，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=OD= ，OC= =2，
∴BC=OC﹣OB=2﹣ ．
6．【答案】（1）证明：连结OA.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA.
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA.
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形.
∴OF=AE=8cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF= CD=6cm.
在Rt△ODF中， =10cm，
即⊙O的半径为10cm.
7．【答案】（1）证明：连接OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°
∴∠ABE=120°
∵AB=EB
∴∠E=∠BAE=30°
∵OA=OB
∴∠ABO=∠OAB=30°
∴∠OBC=30°+60°= 90°
∴OB⊥CE
∵OB是半径
∴EC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2
过O作OH⊥AM于H
则四边形OBCH是矩形
∴OH=BC=2，OH∥EC
∴∠AOH=∠E=30°
∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°
∵OA=OM，∠OAH=60°
∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°
∴．
8．【答案】（1）证明：连接OD、OE、DF，如图，∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
而∠C=90°，
∴DF∥BC，
∵DE=EF，∴ = ∴OE⊥DF，
∴OE⊥BC，
∴BC为⊙O的切线
（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，
∴∠BOE=90°﹣40°=50°，
∴∠OFE= （180°﹣50°）=65°，
∴∠CDE=∠AFE=65°
（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在Rt△OHD中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，
∵HF∥BE，
∴△OHF∽△OEB，
∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，
∴BE=
9．【答案】（1）证明：连接AD，
∵⊙A与BC相切于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝90°，
∴CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AF＝AD，AE＝AE，
∴△AFE≌△ADE（SAS），
∴∠ADE＝∠AFE＝90°，
∵AF是⊙A的半径，
∴EF是⊙A的切线；
（2）解：过点C作CG⊥AE，垂足为G，
在Rt△BFE中，BE＝5，EF＝4，
∴BF＝ ＝3，
∵△AFE≌△ADE，
∴EF＝DE＝4，
∴BD＝BE+DE＝9，
在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+81＝（AF+3）2，
∴AD＝AF＝12，
∴AE＝
∵CA＝CE，CG⊥AE，
∴EG＝ AE＝2 ，
∵∠ADE＝∠CGE＝90°，∠AED＝∠CEG，
∴△AED∽△CEG，
∴
∴
∴CG＝6 ，
∴点C到EA的距离为6 ．
10．【答案】（1）证明：连接
∵ 为 的直径，∴
∴
又∵∴
∵∴∴
∴
∴
∵∴
∴∴
∴ 与 相切
（2）解：过 作 于 ，
可得四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴
11．【答案】（1）解：证明：连接OE，如图，
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA．
∵EF=PF，
∴∠EPF=∠PEF
∵∠APH=∠EPF，
∴∠APH=∠EPF，
∴∠AEF=∠APH．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°．
∴∠OAE+∠APH=90°．
∴∠OEA+∠AEF=90°
∴∠OEF=90°
∴OE⊥EF．
∵OE是 的半径
∴EF是圆的切线，
（2）∵CD⊥AB
∴ 是直角三角形
∵
∴
设 ，则
由勾股定理得，
由（1）得， 是直角三角形
∴
∴ ，即
∵
∴
解得，
12．【答案】（1）证明：连 ， ，如图所示，
为 的直径，
是 的中点，
，即
，
为 的切线
（2）证明： 为 的切线，
为 的直径，
，
又 为公共角
13．【答案】（1）证明：连结OD∵∠ACB＝90°，
∴∠OED+∠EGC＝90°，
∴OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD ，
∵∠AGD＝∠EGC，
∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，
∴OD⊥AB ，
∵OD为半径，
∴AB是⊙O的切线
（2）解：连接OF．∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，
∴CF：CE＝4：3．
又∵EF＝5，
∴CF＝4，CE＝3．设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．
在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝ ．
∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，
∴△CEF∽△DBO，
∴ ＝ ，
∴BD＝ ．
14．【答案】（1）证明：∵ 是矩形
∴ ，即
∵CD是 的半径
∴ 是 的切线.
（2）解：∵ ，即
∴
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是矩形
∴
∴
∴
∴ ，即
∴
∴
15．【答案】（1）证明：如图1
，
作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AB=AC，O为BC的中点，
∴∠CAO=∠BAO．
∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∴OD=OE，
∵AB经过圆O半径的外端，
∴AB是半圆O所在圆的切线；
（2）解：cos∠ABC= ，AB=12，得
OB=8．
由勾股定理，得
AO= =4 ．
由三角形的面积，得
S△AOB= AB OE= OB AO，
OE= = ，
半圆O所在圆的半径是
16．【答案】（1）证明：如图，连接OD
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠ACB，
∴∠B=∠ODC，
∴OD//AB，
∴∠ODF=∠AEF=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵∠F=30°，OD=4，OD⊥EF，
∴OF=2OD=8，
∴AF=OF+OA=8+4=12，DF= = ，
∴AE= AF=6，EF= = ，
∴DE=EF-DF= - =

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