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查漏补缺（五）
数学选择性必修三 第七章——第2节
主编：袁*
基础知识
1.随机变量
(1)定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.
(2)表示:通常用大写英文字母表示随机变量,用小写英文字母表示随机变量的取值.
(3)随机变量与函数的关系联系:随机变量与函数都是一种对应关系,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间Ω相当于函数的定义域.
区别:样本空间Ω不一定是数集,随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化,而函数是数集到数集的对应.
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.
3.离散型随机变量X的分布列
1.定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2.分布列的表格表示
3.离散型随机变量分布列具有的两个性质
(1)pi≥0,i=1,2,…,n; (2)p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布（0-1分布）
Part1检漏查缺
1. 某农户在2021年年初开始种植某新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2 000元,根据前期各方面调查发现,该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性,且两者互不影响,其具体情况如下表:
设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元,求X的分布列.
2. 某超市举办酬宾活动,单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动,
活动规则如下:盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球,其中3个红球、2个白球和2个黑球,从中不放回地随机抽取2个球,每个球被抽到的机会均等.每抽到1个红球记0分,每抽到1个白球记50分,每抽到1个黑球记100分.若抽取2个球的总得分为200分,则可获得10元现金,若总得分低于100分,则没有现金,其余得分可获得5元现金.
(1)设抽取2个球的总得分为X分,求X的分布列;
(2)设每位顾客参与一次抽奖可获得现金Y元,求Y的分布列.
思路点拨 (1)由题意得X的可能取值为0,50,100,150,200,分别求出相应的概率,由此得出X的分布列.
(2)由题意得Y的可能取值为0,5,10,分别求出相应的概率,由此得出Y的分布列.
Part2补漏填缺
题组一　随机变量及离散型随机变量的概念
1.下面给出四个随机变量:
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ;
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点,它在该直线上的位置η;
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话的次数X;
④某同学离开学校的千米数Y.
其中是离散型随机变量的为 (　　)
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用X表示甲所得分数,则X=3表示 (　　)
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3.(多选)抛掷两枚骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,则“ξ=4”表示的试验结果是 (　　)
A.第一枚6点,第二枚2点
B.第一枚5点,第二枚1点
C.第一枚2点,第二枚6点
D.第一枚1点,第二枚5点
4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回袋中5次”的事件为 (　　)
A.X=4 B.X=5
C.X=6 D.X≤4
5.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是 (　　)
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标
D.第4次击中目标
6.在一个盒子中放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片,标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.写出随机变量X的可能取值,并说明随机变量X所表示的随机试验的结果.
题组二　离散型随机变量的分布列
7.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么 (　　)
A.n=3 B.n=4
C.n=10 D.n=9
8.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为 (　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
9.袋中装有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.
(1)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;
(2)若从袋中一次摸出3个小球,且3个小球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为X,求X的分布列.
10.某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏,游戏规则如下:参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球(这5个球仅颜色不同)的盒子中轮流不放回地摸出1球,摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束,得到最后1个黑球的一方获胜.设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求先摸球的一方获胜的概率,并判断这场游戏是否公平.
题组三　离散型随机变量分布列的性质
11.某电话亭中装有一部公用电话,在观察使用这部电话的人数时,设在某一时刻,有n个人正在使用或等待使用电话的概率为P(n),P(n)与时刻t无关,统计得到:
P(n)=那么在某一时刻,这个电话亭一个人也没有的概率P(0)的值为 (　　)
A. B. C. D.
12.某一随机变量ξ的分布列如下表所示,且m+2n=1.2,则n-的值为 (　　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.2
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
13.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X-3|=1)=　　　　.
14.设随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5).则
(1)a的值为　　　　;
(2)P=　　　　;
(3)P=　　　　.
15.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y题组四　两点分布
16.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则P(ξ=0)= (　　)
A.0 B. C. D.
17.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a= (　　)
A. B. C. D.
18.已知袋中有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为　　　　　　　.
答案与解析
Part1检漏查缺
1.
X 25 000 34 000 46 000
P 0.2 0.5 0.3
2.
Part2补漏填缺
1.C
2.D　
3.AB　由题意可知,第一枚骰子掷出的点数是6,第二枚骰子掷出的点数是2或第一枚骰子掷出的点数是5,第二枚骰子掷出的点数是1时,ξ=4.故选AB.
4.C　根据题意可知,如果没有抽到红球,那么将黑球放回,然后继续抽取,抽取次数X的可能取值为1,2,3,…,所以“放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以X=6,故选C.
5.C　因为击中目标或子弹打完就停止射击,所以射击次数ξ=5说明前4次均未击中目标.故选C.
6.解析　因为x,y的可能取值均为1,2,3,所以|x-2|=0或1,|y-x|=0或1或2,
所以X的可能取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片号码为x,第二次抽到的卡片号码为y,则随机变量X取各值的意义如下:
X=0表示(2,2);
X=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
X=2表示(1,2),(3,2);
X=3表示(1,3),(3,1).
7.C　由X<4知X=1,2,3,所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3=,解得n=10.
8.D　由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,
P(X=1)=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38,
P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D.
9.解析　(1)摸出的2个小球为异色球的情况种数为+=19,从8个小球中摸出2个小球的情况种数为=28,故所求概率 P=.
(2)由题意知,随机变量X的可能取值为1,2,3.
符合条件的摸法有以下三种:
①摸得1个红球,1个黑球,1个白球,共有=12种不同摸法,
②摸得2个红球,1个其他颜色的球,共有=24种不同摸法,
③摸得的3个球均为红球,共有=4种不同摸法,
故符合条件的不同摸法有12+24+4=40(种).
故P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
可得X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P
10.解析　(1)由题可得X的所有可能取值为2,3,4,
P(X=2)=×=,
P(X=3)=××+××+××=,
P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=,
∴X的分布列为
X 2 3 4
P
(2)先摸球的一方获胜,包含以下几种情况:
①双方共摸3次球,出现黑白黑,白黑黑,白白白这三种情形,即P(X=3)=;
②双方共摸4次球,出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形,
其概率为×××+×××+×××=,
∴先摸球的一方获胜的概率为+=.
∵>,∴这场游戏不公平.
11.A　由题意知,P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=1,即P(0)=1,解得P(0)=.故选A.
12.A　由分布列的性质可得,0.1+m+n+0.2=1,即m+n=0.7,
又∵m+2n=1.2,∴m=0.2,n=0.5,
∴n-=0.5-0.1=0.4.故选A.
13.答案　
解析　由分布列的性质得+m++=1,解得m=,故P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
14.答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)由分布列的性质,得P+P+P+P+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
(2)P=P+P+P(X=1)=++=.
(3)P=P+P+P=++=.
15.解析　(1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
且P(Y=0)=,
P(Y=1)=+==,
P(Y=4)=+==,
P(Y=9)=.
可得随机变量Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)∵P(Y16.B　设P(ξ=1)=p,则P(ξ=0)=1-p.依题意知,p=2(1-p),解得p=.故P(ξ=0)=1-p=.故选B.
17.C　∵离散型随机变量X服从两点分布,
∴P(X=0)+P(X=1)=1,
∴P(X=1)=1-P(X=0),
又P(X=0)=3-4P(X=1)=a,
∴3-4(1-a)=a,解得a=.
故选C.
18.答案　
　
X 0 1
P
解析　由题意得,X的可能取值为0,1,
P(X=0)==,
P(X=1)==.
可得X的分布列如表所示.
X 0 1
P

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