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2023 年安徽中考数学总复习专题：圆的综合题
1．如图，AB 为半圆 O 的直径，BC 切半圆 O 于点 B，连结 AC 交半圆于点 D，点 E 为 的
中点，连结 BE 交 AC 于点 F．
（1）求证：CB＝CF．
1
（2）若 = 3，BC＝6，求 AB 的长．
2．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，DC 与⊙O 相切于点 C．连接
BC，AC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若∠D＝45°，⊙O 的半径为 2，求线段 AD 的长．
1
3．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以 AB 为直径作⊙O，交 AC 于点
D，过点 D 作⊙O 的切线 DM 交 BC 于点 M．
（1）求证：CM＝BM．
（2）若 AD＝2 3，P 为 AB 上一点，当 PM+PD 为最小值时，求 AP 的长．
4．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 DC 于点 F，点 P 在 AB 的延长线上，CP 与⊙O 相切于
点 C．
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若⊙O 的直径为 4，弦 DC 平分半径 OB，求：图中阴影部分的面积．
2
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作⊙O
的切线交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，连接 OE．
（1）求证：CE＝AE；
（2）若 OB＝3，CF＝2，求 AE 的长．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 是⊙O 上两点，CE 与⊙O 相切，交 DB 延长线于点
E，且
DE⊥CE，连接 AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若 DE＝2CE，AC＝8，求 BE 的长度．
3
7．如图，在△ABC 中，以△ABC 的边 AB 为直径作⊙O，交 AC 于点 D，DE 是⊙O 的切线，
且 DE⊥BC，垂足为点 E．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若 DE＝3，AC＝6 10，求⊙O 的半径．
8．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是 AB 上一点，AC＞BC，AC 的垂直平分线交⊙O 于点
E，交 AC 于点 D，过点 A 作⊙O 的切线交 CE 的延长线于点 F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）若 OD＝1，OC＝2，求 AF 的长．
4
9．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且对角线 BD 为直径，过点 A 作⊙O 的切线
AE，与 CD 的延长线交于点 E，已知 DA 平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若⊙O 的半径为 5，CD＝6，求 AD 的长．
10．如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 E，AD⊥CE
于 D，连结 AC．
（1）求证：∠ACD＝∠ABC
3
（2）若 tan∠CAD = 4，AD＝8，求⊙O 直径 AB 的长．
5
11．阅读下列材料，完成相应任务：
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其
中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连
接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
（1）任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的
“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图 1，P 是⊙O 外一点，　 　．
求证：　 　．
证明：
（2）任务二：如图 2，在任务一的条件下，CD 是⊙O 的直径，连接 AD、BC，若∠ADC
＝50°，∠BCD＝70°，OC＝6，求 OP 的长．
6
参考答案
1．（1）证明：如图，连结 AE，
∵BC 是⊙O 的切线，
∴BC⊥OB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣∠ABE，
∴AB 是⊙O 的直径，
∴∠E＝90°，
∴∠CFB＝∠AFE＝90°﹣∠DAE，
∵点 E 为 的中点，
∴ = ，
∴∠ABE＝∠DAE，
∴90°﹣∠ABE＝90°﹣∠DAE，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CB＝CF．
（2）解：如图，作 CG⊥BF 于点 G，
∵BC＝CF＝6，
1
∴GF＝GB = 2FB，
1
∵ = 3，
1
∴EF = 3FB，
1
2
∴ =
3
1 = 3，
2
∵∠FGC＝∠E＝90°，∠AFE＝∠DFG，
∴△AFE∽△CFG，
2
∴ = = 3，
2 2
∴AF = 3CF = 3 × 6＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+6＝10，
∴AB = 2 ― 2 = 102 ― 62 = 8，
7
∴AB 的长是 8．
2．（1）证明：连接 OC，
∵DC 是⊙O 的切线，
∴∠OCD＝90°，即∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠OBC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：在 Rt△OCD 中，∠D＝45°，OC＝2，
∴OC＝CD＝2，
∴OD = 2OC＝2 2，
∴AD＝OA+OD＝2+2 2．
3．（1）证明：连接 OD，OM，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵DM 与⊙O 相切于点 D，
∴∠ODM＝90°，
∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，
∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），
8
1
∴∠DOM＝∠BOM = 2∠DOB＝30°，
∴∠A＝∠BOM，
∴AC∥OM，
∵OA＝OB，
∴BM＝CM；
解法二：连接 BD，
∵DM，BC 都是⊙O 的切线，
∴MD＝MB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∵∠C+∠CBD＝90°，∠CDM+∠BDM＝90°，
∴∠C＝∠MDC，
∴MC＝MD，
∴CM＝MB．
（2）连接 DB，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，并延长交⊙O 于点 D′，
则 DE＝D′E，
∴点 D 与点 D′关于 AB 对称，
连接 D′M 交 AB 于点 P，连接 DP，此时 PM+PD 的值最小，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝2 3，∠DAB＝30°，
3
∴BD＝AD tan30°＝2 3 × = 2，
3
∴AB＝2BD＝4，
1
∴OA＝OB＝OD = 2AB＝2，
3 4
在 Rt△ABC 中，BC＝AB tan30°＝4 × = 3，
3 3
9
1 2
∴CM＝BM = 32BC = 3 ，
∵∠DOB＝60°，
∴△DOB 是等边三角形，
∵DE⊥OB，
1
∴OE＝EB = 2OB＝1，
∴DE = 3OE = 3，
∴DE＝D′E = 3，
∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，
∴△MBP∽△D′EP，

∴ ′ = ，
2 3
3
∴ = 1 ― ， 3
2
∴BP = 5，
18
∴AP＝AB﹣BP = 5 ，
18
∴AP 的长为 5 ．
解法二：以 B 为原点，构造平面直角坐标系．
作点 D 关于 x 轴的对称点 F，连接 FM 交 AB 于点 P，连接 PD，此时 PD+PM 的值最
小．
2 3
由方法一可知 F（﹣1， ― 3），M（0， ），
3
设直线 FM 的解析式为 y＝kx+b，
10
― + = ― 3
则有 = 2 3 ，
3
3 3
∴直线 FM 5放解析式为 y = x + 2 ，
3 3
2
令 y＝0，可得 x = ― 5，
18
∴AP＝AB﹣PB = 5 ．
4．（1）证明：连接 OC，
∵CP 与⊙O 相切，
∴OC⊥PC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB⊥DC，
∴∠PAD+∠ADF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，
∴∠PCB＝∠PAD；
（2）解：连接 OD，
1
在 Rt△ODF 中，OF = 2OD，
则∠ODF＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵AB⊥DC，
∴DF＝FC，
∵BF＝OF，AB⊥DC，
∴S△CFB＝S△DFO，
11
60 × 22 2
∴S 阴影部分＝S 扇形 BOD = 360 = 3π．
5．（1）证明：连接 CD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠CDB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC 为半径，
∴AC 是⊙O 的切线，
∵ED 是⊙O 的切线，
∴DC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴CE＝AE；
（2）解：连接 OD，
∵OB＝3，CF＝2，
∴OB＝OC＝OD＝3，OF＝5
∵DE 是⊙O 的切线，
∴∠ODF＝90°，
∴DF = 2 ― 2 = 4，
∵∠ODF＝∠ECF＝90°，
12
∵∠F＝∠F，
∴△CEF∽△DOF，
2
∴ = ，即4 = 3 ，
3
∴CE = 2，
3
∴AE＝CE = 2．
6．（1）证明：连接 OC，
∵CE 与⊙O 相切，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠ABD＝∠BOC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A，
∴∠ABD＝2∠A；
（2）解：连接 BC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE＝2CE，
1
∴tanD = = 2，
由圆周角定理得：∠A＝∠D，
1
∴tanA = = 2，
∴BC＝4，
∴AB = 2 + 2 = 82 + 42 = 4 5，
∵∠A＝∠BCE，∠ACB＝∠CEB，
∴△ACB∽△CEB，
4
= 4 5∴ ，即 = ， 4
4 5
解得：BE = ．
5
13
7．（1）证明：连接 OD，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥BC，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC；
（2）解：连接 BD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
1
∴AD＝CD = 2AC＝3
10，
∵DE⊥BC，
14
∴∠DEC＝90°，
在 Rt△DEC 中，DE＝3，
∴CE = 2 ― 2 = (3 10)2 ― 32 = 9，
∵∠ADB＝∠DEC＝90°，∠A＝∠C，
∴△ADB∽△CED，

∴ = ，

= 3 10∴3 10 ， 9
∴AB＝10，
∴⊙O 的半径为 5．
8．（1）证明：∵AF 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，
∴AF⊥AB，
∴∠CAF＝90°，
∴∠CAE+∠EAF＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∵ED 垂直平分 AC，
∴EA＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠F＝∠EAF，
∴EA＝EF；
（2）解：连接 OE，
∵OD＝1，OC＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵ED 垂直平分 AC，
∴AD＝DC，
∴OA＝OE＝OD+AD＝1+3＝4，
∴DE = 2 ― 2 = 42 ― 12 = 15，
15
∵AE＝EF，AE＝CE，
∴EF＝CE，
又∵AD＝CD，
∴DE 为△ACF 的中位线，
1
∴DE = 2 ，
∴AF＝2DE＝2 15．
9．（1）证明：连接 OA，
∵AE 是⊙O 切线，
∴∠OAE＝90°，
∵DA 平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠ADE，
∴OA∥DE，
∴∠E＝180°﹣∠OAE＝90°，
∴AE⊥DE；
（2）解：过点 O 作 OF⊥CD，垂足为 F，
1
∴DF＝FC = 2DC＝3，∠OFD＝90°，
∵∠OAE＝∠E＝90°，
∴四边形 AEFO 是矩形，
16
∴EF＝OA＝5，AE＝OF，
∴DE＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，
在 Rt△OFD 中， = 2 ― 2 = 52 ― 32 = 4，
∴AE＝OF＝4，
在 Rt△AED 中， = 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，
∴AD 的长是2 5．
10．（1）证明：连接 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE 与⊙O 相切于点 C，
∴∠DCO＝90°，
∴∠DCO﹣∠ACO＝∠ACB﹣∠ACO，
∴∠DCA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC；
（2）解：∵AD⊥CE，
∴∠D＝90°，
3
∵tan∠CAD = 4，AD＝8，
3
∴CD＝AD tan∠CAD＝8 × 4 = 6，
∴AC = 2 + 2 = 82 + 62 = 10，
∵∠D＝∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABC，
∴△ADC∽△ACB，

∴ = ，
17
8 10
∴10 = ，
25
∴AB = 2 ，
25
∴⊙O 直径 AB 的长为 2 ．
11．解：（1）已知：如图 1，P 是⊙O 外一点，PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、B，连接
AB、OP，
求证：OP 垂直平分 AB．
证明：连接 OA、OB，
∵PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、B，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP 垂直平分 AB，
故答案为：PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、B，连接 AB、OP；OP 垂直平分 AB；
（2）连接 OA、OB，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠DAO＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠DCB＝∠OBC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，
∴∠AOB＝∠180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，
∵PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、B，
∴OA⊥PA，∠AOP＝∠BOP＝30°，
6
∴OP = ∠ = 3 = 4
3．
2
18

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