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万有引力定律应用二
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【知识梳理】
一、解决天体运动问题的模型及思路
1．一种模型
无论自然天体(如地球)还是人造天体(如宇宙飞船)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．
2．两条思路
(1)在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)，此式两个用途：①GM＝gR2，称为黄金代换式；②求g＝，从而把万有引力定律与运动学公式相结合解题．
(2)天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即 G＝m＝mrω2＝mr＝ma.
例1　如图是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道Ⅰ上．在卫星经过A点时点火实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道Ⅱ上，最后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道Ⅲ.已知地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球的半径为R，求：
(1)近地轨道Ⅰ上的速度大小；
(2)远地点B距地面的高度．
二、“赤道上的物体”与“同步卫星”、“近地卫星”的比较
赤道上的物体、同步卫星和近地卫星都近似做匀速圆周运动，当比较它们的向心加速度、线速度及角速度(或周期)时，要注意找出它们的共同点，然后再比较各物理量的大小．
1．赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，由v＝ωr和a＝ω2r可分别判断线速度、向心加速度的关系．
2．不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由＝ma＝m＝mω2r＝mr可分别得到a＝、v＝、ω＝及T＝2π，故可以看出，轨道半径越大，a、v、ω越小，T越大．
3.同步卫星：指相对于地面不动的人造地球卫星。运行周期一定为 h；轨道一定在 上空；离地高度一定，约为3.6×104km；线速度大小一定；向心加速度大小一定。
4.赤道上的物体、近地卫星、同步卫星三类物体的比较
例2　如图所示，a为地面上的待发射卫星，b为近地圆轨道卫星，c为地球同步卫星．三颗卫星质量相同．三颗卫星的线速度分别为va、vb、vc，角速度分别为ωa、ωb、ωc，周期分别为Ta、Tb、Tc，向心力分别为Fa、Fb、Fc，则(　 　)
A．ωa＝ωc<ωb　　　 B．Fa＝FcC．va＝vcTb
三、人造卫星、飞船的发射和变轨问题
1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G＝m.
2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．
(1)当卫星的速度突然增加时，G(2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，卫星的发射和回收就是利用这一原理．
3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的公切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同．
4．飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接．
（1、）当两颗不在同一轨道上的卫星相距最近时称为相遇；从同一位置出发的两颗卫星第一次相距最近应满足，第一次相距最远满足
（2、）从不同轨道上的卫星要相互对接，就要改变自身的速度实现变轨对接，从低轨道上的要与高轨道上的卫星对接，必须在低轨道上 ，以使地球提供的引力小于需要的向心力做 运动，从而追上高轨道的卫星；从高轨道上的要与低轨道上的卫星对接，必须在高轨道上 ，以使地球提供的引力大于需要的向心力做 运动，从而追上低轨道的卫星。
【例3.】 如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A．经过时间 t=T1+T2两行星再次相距最近
B．经过时间 t=T1T2/(T2-T1)，两行星再次相距最近
C．经过时间 t=(T1+T2 )/2，两行星相距最远
D．经过时间 t=T1T2/2(T2-T1) ，两行星相距最远
例4　2013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功．“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务．如图3为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度
四、双星问题
两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星．
1．双星特点
(1)两星做圆周运动的向心力相等；
(2)两星具有相同的角速度和周期；
(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
2．处理方法
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力．即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
3．双星的两个结论
(1)运动半径：与质量成反比，即m1r1＝m2r2
(2)质量之和：m1＋m2＝
例5　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.
【天体运动规律的理解及应用】
1．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
【“赤道上的物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的区别】
2．四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图7所示，其中a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较(　　)
A．a的向心加速度最大
B．相同时间内b转过的弧长最长
C．c相对于b静止
D．d的运动周期可能是23 h
【卫星、飞船的发射和变轨问题】
3.如图8所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则(　　)
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为
B．飞船在A点处点火时，速度增加
C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度
D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
【双星问题】
4.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图9所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则(　　)
A．它们的角速度大小之比为2∶3
B．它们的线速度大小之比为3∶2
C．它们的质量之比为3∶2
D．它们的周期之比为2∶3

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