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浙教版八年级下册
第四章平行四边形章末复习
---------“蝶形”的遐想
齐声朗读
齐声朗读
“蝶形”的遐想
在数学的百花园里，有一类几何图形就像蝴蝶一样美丽娇艳，这就是“蝶形”.我们在欣赏“蝶形”之美的同时，也让我们产生了对“蝶形”的遐想.
新知导入
平行线间的“等积三角形”
1.在两条平行线间的两个三角形有一条公共边在其中的一条直线上，第三个顶点在另一条直线上，则这两个三角形的面积相等．
如图1，若m∥n，
请写出图中面积相等的各对三角形.
(1) S△ABC＝S△ABP
(2) S△ACP＝S△BCP
(3) S△AOC＝S△BOP
(1) 平行线间的距离处处相等
(2)同底等高的三角形面积相等
“蝶形”.
新知导入
(1) 若a∥b，
则 S△BOD＝S△AOC
反过来，若S△BOD＝S△AOC
则 a∥b，
平行线构造等面积三角形---------
平行造等积
（2）如果A、B、C为三个定点，点D在a上移动，
那么无论D点移动到任何位置总有：
(1) S△ABC＝S△BCD
(2) S△ABD＝S△ACD
(3) S△AOC＝S△BOD
新知导入
过M作MP⊥AB
由
故
S =MP·BC
ABCD
ABCD
平行四边形一边上的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等
B
D
A
C
M
P
∟
2.若M为 ABCD中AD边上一点,试说明△CMB的面积与 ABCD的面积 有什么关系
新知导入
平行类的同底等高
由图2猜想：
S△DCM
、S△ADM
、S△BCM
三者关系
S△DCM
=S△ADM
+S△BCM
50
50
50
3.探究：S ABCD=100，M是AB所在直线上的一点。
（1）当点M与点B重合时，S△DCM= 。
（2）当点M与点A、B都不重合时，S△DCM= 。
（3）当点M在AB延长线上时，S△DCM= 。
新知讲解
(1) S△ABN＝S△BCM＝
S□ABCD
(2) S△BCN＋S△ADN[来＝S△ABM＋S△CDM＝
S□ABCD
4.如图，在 ABCD中，点M，N分别为边AD，CD上的点，可得:
新知讲解
A
B
C
D
·
E
F
=
ABCD
=
ABCD
∴
=
5.在 ABCD中,E为BC边上一点,且AE交DC延长线于F,连接 BF,试问 的面积与 的面积有什么关系
课堂练习
1.P是 ABCD上一点,已知S△ABP=3,
S△PCD=1,则 ABCD的面积是 .
８
夯实基础，稳扎稳打
S△BCP＝S△ABP＋S△PCD＝
S□ABCD
课堂练习
2. l1∥l2,AD∥BC,CD∶CF=2∶1,若S△CEF=3,则S四边形ABCD= .
12
几个重要结论:
如果两个三角形的底和高分别相等，那么这两个三角形的面积相等。
如果两个三角形的底相等，那么它们的面积之比，等于它们高的比。
如果两个三角形的高相等，那么它们的面积之比，等于它们底的比。
课堂练习
D
A
F
E
C
B
a
=
ABCD
=
ABCD
平行线间的“等积三角形”
3.如下图， ABCD的面积为a，E、F是两边延长线上的两点，连结DF、AF、AE、BE，求图中阴影部分面积和？
课堂练习
4.如图，在□ABCD中，E是DA延长线上一点，连结CE交AB于点F，求证：S△BEF＝S△AFD
证明 ∵DE∥BC，∴S△BEF＝S△AFC
连续递推，豁然开朗
期待蝴蝶的出现-----
平行造等积
课堂练习
∵ BC∥AF，∴ S△ ACE ＝ S△ BEF=6
∵ AB∥CD，∴ S△ ADE ＝ S△ ACE=6
期待蝴蝶的出现-----
平行造等积
5.在图中，直线CF与 ABCD的AB边相交于E点，如果 BEF的面积为6平方厘米，求 ADE的面积是多少？
△
△
6．如图，点E，G在四边形ABCD的边上，且折线EFG将四边形的面积均分，
求作一直线，满足下列条件：（1）直线过点E；（2）将四边形的面积均分．
思维拓展，更上一层
课堂练习
课堂练习
蝴蝶出现---------
割补法
课堂练习
7.如图,在四边形ABCD中,画一直线,将四边形的面积均分．
三角形的中线------面积等分线
课堂练习
蝴蝶出现------
课堂练习
蝴蝶出现------
割补法
谢谢
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夯实基础，稳扎稳打
1．如图，的对角线，相交于点O，，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，求阴影区域的面积与的面积比
2.如图,O是 ABCD的对角线交点,E为AB的中点,DE交AC于点F,若S ABCD=16,求S△DOE为
3.如图 在 ABCD中,AB=4,BC=6,∠ABC,∠ADC的平分线分别交AD,BC于点E,F.若S ABCD=18,求四边形BFDE的面积
4.如图,在ABCD中,A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别是AB和CD的五等分点,B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点.已知四边形A4B2C4D2的面积为1,求ABCD的面积.
连续递推，豁然开朗
5.如图,△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=2,求S四边形ABNM.
6．如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝20cm2，求阴影部分的面积.
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，求图中阴影部分的面积
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，求图中阴影部分的面积
思维拓展，更上一层
9．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，求阴影部分的面积
10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，求线段PQ的长度．
11．如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（　　）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
12．我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。
（1）如图1，在 ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；
（2）如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；
（3）如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 ABCP的面积。
参考答案：
1.【解析】∵是中心对称图形，
∴S△OEH= S△OFG，∴S阴影=S△OCD=，
2.　[解析] ∵O,E分别是BD,AB的中点,∴S△DOE=S△BDE=×S△ABD=××S ABCD=×16=2.
3.　[解析] 在 ABCD中,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB,∠ADF=∠DFC=∠CDF,∴AB=AE,DC=CF.∵AB=4,BC=6,
∴DE=BF=2,∴四边形BFDE是平行四边形.∵ ABCD与 BFDE的高相等,
∴S ABCD∶S BFDE=AD∶DE=6∶2,∴S BFDE=6.
4.解:将每个小格的面积设为k,
根据等分点可知:S ABCD=15k,而=15k-k-2k-2k-k=9k=1,∴k=,∴S ABCD=15×=.
5.　[解析]连结AN.∵M,N分别是AC,BC的中点,∴S△ABC=2S△ACN=2×2S△CMN=8,
∴S四边形AMNB=S△ABC-S△CMN=8-2=6.
6.【解析】连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ，同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，∴S四边形EPFQ=30cm2，
7．解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，
∴S图中阴影部分的面积＝S ABCD＝，
8.解;如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO∥BC，EO＝ BC＝10，
又∵GF＝10，∴EO＝GF，∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝ S四边形EOFG＝S△EOG，又∵EO∥BG，∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，∴等腰△ABC中BC边上的高为 ＝24，
∴S△ABC＝ ×20×24＝240，∵O是AC的中点，∴S△ABO＝ S△ABC＝ ×240＝120，∴阴影部分的面积为120，
9【解析】如图，过点作于点，
设和的和边上的高分别为和，
，，
，，
，
，
，
，
，
.
10．【解答】解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：
∵四边形ABC是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∵PQ将平行四边形的面积平分，∴O在PQ上，由平行四边形的中心对称性可知CQ＝AP＝2，
∴DP＝BQ＝1，∵∠MDC＝∠ABC＝60°，∴∠MCD＝30°，
∴DM＝CD＝1，CM＝DM＝，∴DM＝DP，∴M，P重合，
∴CP＝，∠PCQ＝∠DPC＝90°，∴PQ＝＝＝，
11【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵O是EF的中点，∴O也是AD的中点，
如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，
∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，
，
∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），
在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，
根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，
故答案为：A．
12【答案】（1）证明：在 ABCD中，AD=BC， AB=CD，
∵CE=CB，∴AD=CE，
∵点E为AB上不与点A、B重合的点，∴AB>AE，∴CD≠AE，
∴四边形AECD为单等对边四边形。
（2）解：点E位置如图所示
（3）解：延长AP交CD于点H，连结AC，
∵ ABCP，∴BC∥AP，
∵∠BCD=90°，∴∠PHC=90°，
设PH=x，则CH= ，
∵ ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，
∴S△ABC：S△ACD=1：5，∴
整理得x2+x-12=0，∴x1=-4 (舍)，x2=3，∴CH= =4，
∴ ABCP的面积为1×4=4

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