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(共64张PPT)
第1课时　余弦定理
第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
导语
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？
课时对点练
二、已知两边及一角解三角形
三、已知三边解三角形
四、利用余弦定理判断三角形形状
随堂演练
一、余弦定理的推导
内容索引
余弦定理的推导
一
问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
那么c＝a－b， ①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
问题2　在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例.
知识梳理
1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边_______
减去这两边与它们夹角的余弦的　　　　 .
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ .
平方的
和
积的两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
已知两边及一角解三角形
二
　　(1)(教材P43例5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
例1
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
(2)在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，求a的值.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边.
反思感悟
跟踪训练1
　　　 (1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ .
2
3
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝22＋b2－2×2bcos A，
已知三边解三角形
三
问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？
知识梳理
余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝ .
余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
注意点：
例2
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
　　　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
跟踪训练2
∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
又∵0°∴最大角A为120°.
利用余弦定理判断三角形形状
四
问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示　A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)；
A为钝角 b2＋c2　　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
例3
由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
反思感悟
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
反思感悟
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
　　　 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
跟踪训练3
√
在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
(3)余弦定理的简单应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件.
随堂演练
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√
设第三条边长为x，
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√
∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
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4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是 .
直角三角形
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因为bcos C＋ccos B＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.
故△ABC为直角三角形.
课时对点练
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基础巩固
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c＝5，则A的大小为
A.30° B.60° C.45° D.90°
√
又0°1
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由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
所以△ABC为直角三角形，A＝30°.
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3.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于
A.90° B.120° C.135° D.150°
√
又0°＜B＜180°，所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
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4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是
A.45° B.60° C.90° D.135°
√
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√
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
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由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
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7.在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝ ，AC边上的高
为 .
由余弦定理的推论，可得
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由题意得，a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
9.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
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∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
(2)若b＋c＝2a＝2 ，试判断△ABC的形状.
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∴△ABC为等边三角形.
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10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
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(2)若a＝2 ，b＝2，求c的值.
由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
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综合运用
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所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
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设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
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13.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有
A.sin(B＋C)＝sin A
B.cos(B＋C)＝cos A
C.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D.若a2＋b2√
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依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；
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－19
设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
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拓广探究
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∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
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16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－ sin A)cos B＝0.
(1)求B的大小；
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(2)若a＋c＝1，求b的取值范围.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
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