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考前17天 导数及其应用
看看去年考了什么
（下面6个小题中有2个不正确，请在题后用“正确”或“错误”判定，并改正过来）
1、（2013广东）若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝－1．
2、（2013全国卷II）函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c具有以下四条性质： A．?x0∈R，f(x0)＝0 ；B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形；C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减；D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0。(　　)21·cn·jy·com
　
3、（2013安徽）若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是3. (　　)www.21-cn-jy.com
4、（2013全国卷I）若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．2·1·c·n·j·y
5、（2013湖北）已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1－ 。 (　　)【来源：21·世纪·教育·网】
6、（2013辽宁）设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x) 既有极大值又有极小值。(　　)21·世纪*教育网
再熟悉熟悉这些知识
1、导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点
处的切线的斜率，即；
2、导数在物理中的运用：函数在点处的导数，就是当物体的运动方程为
时，物体运动在时刻的瞬时速度，即；物体运动在时刻的加速度
；
3、曲线的切线的求法
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
4、关于导数的加减法则，可推广到有限多个的情况，如[f(x)＋g(x)＋h(x)]′＝f′(x)＋
g′(x)＋h′(x)等.
5、函数的最大值与最小值：求在上的最大值和最小值的步骤：
①求在内的极值；②将的各极值与，比较，确定的最大值与最小值；
6、不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(大)值问题，f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min，f(x)≤m恒成立即f(x)max≤m，方程的根的个数问题可转化为函数的零点问题. 21世纪教育网版权所有
7、若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．www-2-1-cnjy-com
读读高考评分细则
例题（2013福建卷17） （13分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
阅卷现场
规范解答
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.…………2分
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，………………4分
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.…………5分
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；………7分
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. ……………9分
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．…………11分
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．………13分
失分原因与防范措施
失分原因：1、不能对a分情况讨论，分类标准不明确；2、步骤不够完整，缺最后总结。
防范措施：对参数要分情况，步骤要完整。

3. 正确 [解析] 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0且3x2＋2ax＋b＝0的两根分别为x1，x2，所以f(x)＝x1或f(x)＝x2，当x1是极大值点时，f(x1)＝x1，x2为极小值点，且x2>x1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x1有两个实根，f(x)＝x2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根；当x1是极小值点时，f(x1)＝x1，x2为极大值点，且x2综合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根．
4. 正确 [解析] 方法一：因为f′(x)＝－4x3－3ax2＋2(1－b)x＋a，函数f(x)是连续可导函数，且关于直线x＝－2对称，所以f′(－2)＝0，即f′(－2)＝32－12a－4(1－b)＋a＝0，可得11a－4b＝28，① 又因为f(0)＝f(－4)，所以15a－4b＝60，②21教育网
①②联立方程组可得a＝8，b＝15，f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，f′(x)＝－4(x3＋6x2＋7x－2)，因为－2是函数f(x)的一个极值点，所以f′(x)＝－4(x＋2)，
可知当x∈时，f(x)单调递增，当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增，当x∈时，f(x)单调递减，且21cnjy.com
f＝f，所以f＝f＝f＝＝80－64＝16.
6. 错误 [解析] 因为函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝[x2·f(x)]′＝，所以当x>0时，′＝>0，令函数g(x)＝x2·f(x)，所以g(x)在x>0时递增．由f(2)＝，得g(2)＝.又f(x)＝，所以f′(x)＝＝＝，x>0.
令h(x)＝ex－2g(x)，则h′(x)＝ex，故当x∈(0，2)时，h′(x) <0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(2)＝e2－2g(2)＝0.所以f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，∞)单调递增．所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)即无极大值也无极小值．

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