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考前13天 数列、推理与证明
看看去年考了什么
（下面6个小题中有两个不正确，请在题后用√或×判定，并改正过来）
1、（2013广东）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝20．（ ）
2、（2013重庆）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝62．（ ）21cnjy.com
3、（2013全国卷I）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1，2，3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则{Sn}为递增数列(　　)21·cn·jy·com
4、（2013安徽）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是an＝．（ ）www.21-cn-jy.com
5、（2013江苏）在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3. 则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为10．（ ）2·1·c·n·j·y
6、（2013湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈*，则(1)a3＝－；(2)S1＋S2＋…＋S100＝．（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
再熟悉熟悉这些知识
1、等差数列中以下性质须注意：
（1）等差数列中，若，则；
（2）等差数列中，若，则；
（3）等差数列中，若，则；；
（4）若，若p+q为偶数，则时，最大；若p+q为奇数则时，最大。
项数为奇数的等差数列，有，（为中间项），
；；；
2、等比数列中有以下性质须注意：
（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别q；|q|；
（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；
2、判定方法：
（1）等差数列的判定方法：
①定义法：或（为常数）是等差数列
②中项公式法：是等差数列
③通项公式法：（为常数）是等差数列
④前项和公式法：（为常数）是等差数列
注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。
（2）等比数列的判定方法：
①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列
②中项公式法：是等差数列
③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列
④前项和公式法：（是常数）是等差数列
注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。
3、数列的通项求法：
（1）观察法：如：①0.2，0.22，0.222，……；②）21，203，2005，20007，……
（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。
②递推式为：迭加法
如：已知中，，求；
③递推式为：迭乘法
如：已知中，，求；
④递推式为（为常数）：
构造法：Ⅰ、由相减得，则
为等比数列。
Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。
如：已知，求；
⑤递推式为（为常数）：
两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。
如：已知中，，，求；
⑥递推式为（为常数）：
将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。
如：已知中，，，求。
（3）公式法：运用，
①已知，求；②已知中， ，求；
③已知中，，求。
4、数列的求和法：
（1）公式法：
①等差（比）数列前项和公式：②；
③；④
（2）倒序相加（乘）法：
如：①求和：；
②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；
③若，则；
（5）并项法：如：求；
（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，
5、数列问题的解题的策略：
（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有
时才能用前项和公式，时
②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。
（2）设项的技巧：
①对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为；
对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为；
②对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；
对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；
读读高考评分细则
例题（2013湖北18）． 已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
阅卷现场
规范解答
解： (1)设等比数列{an}的公比为q，
则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.
(2)若an＝·3n－1，则＝()n－1，
故{}是首项为，公比为的等比数列，从而＝＝[1－()m]<<1.
若an＝(－5)·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，
故是首项为－，公比为－1的等比数列，从而
＝
故<1.
综上，对任何正整数m，总有<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．
失分原因与防范措施
失分原因：1、等比数列前项和公式写错了；2、当公比q为1或时为特殊数列，仍旧代入公式；
防范措施：1、熟练掌握和应用公式；2、特殊数列利用特殊求法。
答案
1、正确　[解析] 方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20.21世纪教育网版权所有
方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.
2、错误 [解析]设数列{an}的公差为d，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋×2＝64.21教育网
3、正确　　[解析] 因为an＋1＝an，所以an＝a1.又因为bn＋1＋cn＋1＝(bn＋cn)＋an＝(bn＋cn)＋a1，所以bn＋1＋cn＋1－2a1＝(bn＋cn－2a1)．因为b1＋c1－2a1＝0，所以bn＋cn＝2a1，故△AnBnCn中边BnCn的长度不变，另外两边AnBn，AnCn的和不变．
因为bn＋1－cn＋1＝－(bn－cn)，且b1－c1>0，所以bn－cn＝(b1－c1)，当n→＋∞时，bn→cn，也就是AnCn→AnBn，所以三角形△AnBnCn中BnCn边上的高随着n的增大而增大．设三角形△AnBnCn中BnCn边上的高为hn，则{hn}单调递增，所以Sn＝a1hn是增函数．
5、错误　[解析] 设{an}的公比为q.由a5＝及a5(q＋q2)＝3得q＝2，所以a1＝，所以a6＝1，a1a2…a11＝a＝1，此时a1＋a2＋…＋a11>1.又a1＋a2＋…＋a12＝27－，a1a2…a12＝26<27－，所以a1a2…a12>a1a2…a12，但a1＋a2＋…＋a13＝28－，a1a2…a13＝26·27＝25·28>28－，所以a1＋a2＋…＋a13＝－－＋2×－＝－＝.

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