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7.5正态分布专项练习
一、单选题
1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
B．该市这次考试的数学平均成绩为80分
C．该市这次考试的数学成绩的标准差为10
D．可以简记为：数学成绩服从正态分布
2．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为（ ）
A．0.48 B．0.36 C．0.18 D．0.10
3．随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B．1 C． D．3
4．某班有60名学生，一次考试的成绩服从正态分布，若，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．40
5．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ）
A．①、② B．②、① C．①、① D．②、②
6．随机变量服从正态分布，若，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某校高三年级1000人全部参加四月份的市第二次教学质量检测，其中数学成绩服从正态分布.据统计110分以上的同学有220人，则数学成绩不低于90分的学生人数为（ ）
A．560 B．620 C．780 D．800
8．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则，
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立
B．一组数据的平均数为4，则的值为1
C．五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种
D．若随机变量，且，则
10．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
11．某班同学在一次数学测验中的成绩x服从正态分布（试卷满分为100分），该班共有50名同学，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．本次考试一定有同学考到80分 B．本次考试分数大于90分的同学的有6人
C．在本次考试中可能有考出满分的同学 D．
12．已知的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3，12)，则不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的_____.
14．如果随机变量,且,且,则__________.
15．给出如下命题：
①已知随机变量服从二项分布，若，，则
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
③设随机变量服从正态分布，若，则
④若某次考试的标准分服从正态分布，则甲 乙 丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为
其中正确的命题序号为___________．
16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D正常工作；②元件C正常工作或部件A，B同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(100，)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．
四、解答题
17．若，则X位于区域内的概率是多少？
18．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．
附：（1）数据，，…的方差，
（2）若随机变量X服从正态分布，则；；．
(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差；
(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
(3)某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望．
19．5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组： …，，统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.
20．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：
阶段 幼年期 成长期 成年期
体重
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为．
（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．
（参考数据：若，则）
21．某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100件产品的技术指标值的中位数；
(2)根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X近似地服从正态分布.根据上表计算出样本平均数，样本方差，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，求；
(3)如果产品的技术指标值在与之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率.
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，.
22．世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.7.5正态分布专项练习解析版
一、单选题
1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
B．该市这次考试的数学平均成绩为80分
C．该市这次考试的数学成绩的标准差为10
D．可以简记为：数学成绩服从正态分布
【答案】D
【分析】由可得该正态分布为，然后逐一判断即可.
【详解】由可得该正态分布为
所以分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，
该市这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10
故选项D错误
故选：D
【点睛】本题考查的是正态分布的相关知识，较简单.
2．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为（ ）
A．0.48 B．0.36 C．0.18 D．0.10
【答案】D
【分析】根据正态分布概率的对称性即可求解.
【详解】根据题意可得，
故选：D.
3．随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】利用正态分布曲线的对称性列出概率的等式后求解．
【详解】或，又，
故，则，得，
故选：B．
4．某班有60名学生，一次考试的成绩服从正态分布，若，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．40
【答案】A
【分析】利用正态分布曲线关于对称，从而求得的值，进而求得的概率值，即可得到答案.
【详解】因为服从正态分布，
所以，
所以，
所以该班数学成绩在100分以上的人数为（人）.
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ）
A．①、② B．②、① C．①、① D．②、②
【答案】B
【分析】分别比较甲、乙走线路①、②的概率大小，由此可得出结论.
【详解】对于甲，若有分钟可走，走第一条线路赶到的概率为，
走第二条线路赶到的概率为，
，所以甲应走线路②；
对于乙，若有分钟可走，走第一条线路的概率为，
走第二条线路赶到的概率为，
，所以乙应走线路①.
故选：B.
【点睛】结论点睛：若，作变换，则，.
6．随机变量服从正态分布，若，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性求解.
【详解】因为，，
所以，
即，
所以.
故选：C.
7．某校高三年级1000人全部参加四月份的市第二次教学质量检测，其中数学成绩服从正态分布.据统计110分以上的同学有220人，则数学成绩不低于90分的学生人数为（ ）
A．560 B．620 C．780 D．800
【答案】C
【分析】由正态分布的性质得，由此求得，再利用对立事件求得，从而可得答案.
【详解】解：，则，
所以，
数学成绩不低于90分的人数为.
故选：C.
8．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则，
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.
故选：A.
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立
B．一组数据的平均数为4，则的值为1
C．五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种
D．若随机变量，且，则
【答案】AD
【分析】根据相互独立事件、互斥事件、平均数、排列、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若相互独立，则不互斥；若互斥，则不相互独立，所以A选项正确.
B选项，，解得，B选项错误.
C选项，五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，
则不同的排队方法有种，C选项错误.
D选项，，所以，D选项正确.
故选：AD
10．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】AC
【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D的正误，从而可得正确的选项.
【详解】由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称.
所以，，，故A正确，C正确；
因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图像的最高点为，即，
故，故D错误.
故选：AC.
11．某班同学在一次数学测验中的成绩x服从正态分布（试卷满分为100分），该班共有50名同学，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．本次考试一定有同学考到80分 B．本次考试分数大于90分的同学的有6人
C．在本次考试中可能有考出满分的同学 D．
【答案】CD
【分析】对于A：说法过于绝对，所以不正确
对于B: 直接求出本次考试分数大于90分的同学的概率，即可判断
对于C: 在本次考试中可能有考出满分的同学,成立，故C正确；
对于D：直接求出，即可判断
【详解】对于A：本次考试一定有同学考到80分，说法绝对，所以不正确；
对于B: 由，可得，本次考试分数大于90分的概率为，若本次考试分数大于90分的同学的有6人，则其概率为，故B不正确；
对于C: 在本次考试中可能有考出满分的同学,成立，故C正确；
对于D：因为x服从正态分布，所以考试分数小于75和大于85的概率相等，
因为考试分数在概率为，
所以考试分数小于75和大于85的概率和为1-0.6827=0.3173，
所以考试分数小于75的概率为，
所以
故D正确；
故选：CD
12．已知的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用正态密度曲线的性质结合条件即得.
【详解】由正态密度曲线的性质可知，的正态密度曲线分别关于对称，越小密度曲线越“高瘦”，
由题图可知，，故AB正确；
当，故C错误；
由于正态密度曲线与轴之间的面积为1，由题图可知，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3，12)，则不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的_____.
【答案】4.6%
【分析】根据正态分布的性质计算可得；
【详解】解：零件尺寸属于区间[μ-2σ，μ+2σ]，即零件尺寸在[1，5]内取值的概率约为95.4%，
故零件尺寸不属于区间[1，5]内的概率为1-95.4%=4.6%.
故答案为：4.6%
14．如果随机变量,且,且,则__________.
【答案】
【分析】根据题目中，μ＝Eξ＝3，σ2＝Dξ＝1，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．
【详解】对正态分布，μ＝Eξ＝3，σ2＝Dξ＝1，
P（3≤X≤4）P（2≤X≤4）＝0.3413，
观察下图得，
∴P（X＞4）＝0.5﹣P（3≤X≤4）＝0.5﹣0.3413
＝0.1587．
故答案为0.1587．
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．
15．给出如下命题：
①已知随机变量服从二项分布，若，，则
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
③设随机变量服从正态分布，若，则
④若某次考试的标准分服从正态分布，则甲 乙 丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为
其中正确的命题序号为___________．
【答案】②③④
【分析】对于①，根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算；对于②，根据数据方差的计算公式可以判断；对于③，由正态分布的图象的对称性可以判断；对于④，利用独立重复试验的概率计算公式计算即可.
【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以①错误；
根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；
由正态分布的图象的对称性可得，所以③正确；
甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故④正确.
故答案为：②③④
16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D正常工作；②元件C正常工作或部件A，B同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(100，)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．
【答案】
【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N(100，)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.
【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(100，)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为，
设A元件能用100小时以上为事件A，B元件能用100小时以上为事件B，C元件能用100小时以上为事件C，D元件能用100小时以上为事件D，
则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：
．
故答案为：．
四、解答题
17．若，则X位于区域内的概率是多少？
【答案】.
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合原则，即可求解.
【详解】由题意，随机变量，可得,
根据正态分布曲线的对称性，
可得.
故答案为：.
18．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．
附：（1）数据，，…的方差，
（2）若随机变量X服从正态分布，则；；．
(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差；
(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
(3)某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中的数据先求出平均数，再结合给出的方差公式可求得方差.
（2）根据题意可得，则，根据题目给出的数据，结合正态分布曲线的性质可得答案.
（3）由(2)可得鱼的质量在的概率为，则，由二项分布的数学期望公式可得答案.
(1)
，．
(2)
该鱼塘鱼质量满足，其中，，即
则，
∴．
(3)
由(2)可得鱼的质量在的概率为.
由题意可知，
由二项分布的数学期望公式可得，的数学期望为．
19．5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组： …，，统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.
【答案】(1)（人）
(2)（元）
【分析】（1）根据正态分布所提供的数据计算即可；
（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用数学期望公式计算即可.
(1)
由题意知样本平均数为，
∴，∵，所以，，
而
故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）
(2)
由题意可知X的可能取值有0 100 200 300，
∴（元）
20．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：
阶段 幼年期 成长期 成年期
体重
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为．
（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．
（参考数据：若，则）
【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元.
【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为，根据猪的体重近似服从正态分布，
分别求得，，即可.
（2）随机变量的所有可能取值为900，300，，分别求得其概率，列出分布列，再根据分布列利用均值公式求解.
【详解】（1）设各阶段猪的数量分别为，
∵猪的体重近似服从正态分布，
，
（头）；
（头）；
，
（头）
∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头．
（2）随机变量的所有可能取值为900，300，．
，
的分布列为
900 300
（元），
由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为（元）．
【点睛】方法点睛： (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意性质的应用：若随机变量X的均值为E(X)，则对应随机变量aX＋b的均值是aE(X)＋b，方差为a2D(X)．
21．某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100件产品的技术指标值的中位数；
(2)根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X近似地服从正态分布.根据上表计算出样本平均数，样本方差，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，求；
(3)如果产品的技术指标值在与之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率.
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，.
【答案】(1)130.375
(2)
(3)
【分析】（1）设中位数为，由频率分布直方图计算中位数的方法计算即可；
（2）由正态分布的性质得出质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率，再根据二项分布得出；
（3）根据正态分布的性质得出，进而得出次品件数，再由概率公式计算即可.
(1)
设中位数为.
因为，
所以，解得.
所以估计这100件产品的技术指标值的中位数为130.375.
(2)
依题意，得，所以
.
所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率为0.8185.
这50件产品中质量指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，则Y服从二项分布，
.所以.
(3)
依题意，产品的技术指标值在与之间为合格品，其概率为
，
所以每抽取100件产品中合格品件数为95件，次品件数为5件.
所以从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率为
.
22．世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设三个社区的居民人数为，分别求出三个社区每周运动总时间超过5小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.
（2）由正态分布的性质求出，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】（1）因为三个社区的居民人数之比为，
设三个社区的居民人数为，
所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
该居民每周运动总时间超过5小时的概率.
（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，
所以，由（1）知，，
所以，
因为随机变量服从正态分布，且关于对称，
所以，
所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：
.

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