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2023年中考数学
二轮专题复习
专题六 一次函数的图象和性质
例题 1
1
2
一次函数是初中函数内容的基础,其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关系以及变化规律,不仅从形的角度刻画了一次函数的性质,同时也架起了联系一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式的桥梁.利用一次函数的性质及变量的限制条件,可以解决某些实际生活中的选优问题.一次函数的图象与性质在中考中占有重要的地位,是中考热点之一,发展了学生的空间观念和推理能力的核心素养.
题型讲解
类型一 一次函数的图象和性质
3
4
解决函数图象与性质的问题,关键是由一次函数的解析式确定函数图象,由函数图象的位置判断解析式中k,b的符号,体现了数学中的数形结合的重要思想.
方法点拨
例题 1
1
2
3
4
解题技巧
(1)利用等量关系写出所求的函数关系式,运用待定系数法确定函数的解析式;
(2)根据题目中的不等关系,求出自变量x的取值范围,借助一次函数的图象和性质分析问题,解决问题.
例题 1
1
2
3
4
(2022 河北威县三中一模)如图,已知直线l1经过点A(0,2)和C(6,-2),直线l2:y=x+与l1交于点M.
例题1
例题 1
1
2
3
4
(1)求直线l1的函数解析式;
解：设直线l1的函数解析式为y=kx+b,将点A(0,2)和C(6,-2)代入该解析式,
得解得
∴直线l1的函数解析式为y=-x+2.
利用待定系数法解答;
思路指导
例题 1
1
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3
4
(2)求线段AM的长;
联立联立l1和l2的解析式得解得交点坐标M,再利用勾股定理解答;
思路指导
例题 1
1
2
3
4
(2)求线段AM的长;
解：联立l1和l2的解析式得解得
∴点M,
∴AM==.
例题 1
1
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(3)若直线x=a(a>0)与直线l1,l2及x轴有3个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
求得两直线与直线x=a(a>0)交点的纵坐标,分三种情况讨论即可解答.
思路指导
例题 1
1
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3
4
解：把x=a(a>0)代入直线l1:y=-x+2得y=-a+2.
把x=a(a>0)代入直线l2:y=x+得y=a+.
(3)若直线x=a(a>0)与直线l1,l2及x轴有3个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
例题 1
1
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4
根据题意,其中两点关于第三点对称,分三种情况讨论:
当第三点在x轴上时,-a+2+a+=0,∴a=13.
当第三点在l1上时,2×(-a+2) =a+,∴a=.
当第三点在l2上时,2×(a+ )=-a+2,∴a=.
综上所述,a的值为或或13.
例题 1
1
2
3
4
1.函数y=kx-k(k≠0)的图象经过点P,且y的值随x的增大而增大,则点P的坐标不可以为(　　)
A.(0,3)　　　　　B.(-1,2) 　　　　　C.(-1,-1) 　　　　　D.(3,-2)
当堂检测
B
例题 1
1
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2.在平面直角坐标系中,将直线y=3x先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后的新直线与x轴的交点为(m,0),则m的值为(　　)
A.-1　　　　　B.-3　　　　　C.1　　　　　D.3
A
例题 1
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3
4
3.如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点A(-1,-2),B(3,-1),若直线y=kx+2与线段AB有交点,则k的值可能是(　　)
A.2 B.3
C.- D.-4
D
例题 1
1
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4.(2022 石家庄模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=kx+b经过第一象限的点A(1,2)和点B(m,n)(m>1),且mn=2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C,△ABC的面积为2.
例题 1
1
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3
4
解：∵点A(1,2),B(m,n)(m>1),
∴在△ABC中,BC=m,BC上的高为h=2-n,
∴S△ABC=m(2-n)=m(2-)=m-1=2,
∴m=3,∴n=,
∴点B的坐标为.
(1)求点B的坐标;
例题 1
1
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解：∵直线l1经过A,B两点,
∴解得
∴直线l1的函数表达式为y=-x+.
(2)求直线l1的函数表达式;
例题 1
1
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3
4
解：∵将A(1,2)代入y=ax,得2=a,
∴a=2.
∵将B代入y=ax,
得=3a,∴a=,
∴a的取值范围是(3)直线l2:y=ax经过线段AB上一点P(P不与A,B重合),求a的取值范围.
例题 1
1
2
3
4
类型二 反比例函数的图象和性质
题型讲解
纵观近几年的全国各地中考题,考查反比例函数与几何图形的综合、与相似的结合的题目层出不穷:一是考查反比例函数中k的几何意义,二是考查反比例函数与一次函数的联系,试题综合性强,灵活性强,常考常新.
例题 2
5
6
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方法点拨
解答这类题时,常常要利用函数的基本性质及其意义;一般用待定系数法求函数的解析式;在同一个坐标系中,利用函数的图象与性质比较一次函数与反比例函数的大小;利用函数与方程组及不等式的关系解决综合问题等,所以要熟练掌握一次函数和反比例函数的性质并会运用其解决某些实际问题,领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法,才能更好地解决问题.
例题 2
5
6
7
8
9
解题技巧
解决此类问题一般从三个方向思考:
(1)借助图象的增减性完成比较大小和取值范围类问题的求解.
(2)借助“k”的几何意义解决面积类的问题.
(3)借助图象的对称性和交点坐标,解决综合类的问题.
例题 2
5
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如图,线段OA与函数y= (x>0)的图象交于点B,且AB=2OB,点C也在函数y=(x>0)图象上,连接AC并延长AC交x轴正半轴于点D,且AC=3CD,连接BC,若△BCD的面积为3,则k的值为　　　　.
例题2
例题 2
5
6
7
8
9
分别过点A,B,C作x轴的垂线,垂足分别为G,E,F.设点B的坐标为(a,b),则△OBE∽△OAG,△DCF∽△DAG,由相似三角形的性质分别求出点C的坐标,OD的长;由△BCD的面积为3,根据等高三角形的面积比等于对应底的比可得出△BOD的面积,利用△BOD的面积得出等式求解即可.
思路指导
例题 2
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当堂检测
5.反比例函数y=图象如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.k>0
B.y随x的增大而减小
C.若图象上点B的坐标是(-2,1),则当x<-2时,y的取值范围是y<1
D.若矩形OABC面积为2,则k=-2
D
例题 2
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8
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6.已知函数y=,下列说法:①函数图象分布在第一、三象限;②在每个象限内,y随x的增大而减小;③若A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该图象上,且x1+x2=0,则y1=y2.其中说法正确的是(　　)
A.①③　 　B.②　 　C.③　 　D.①②填表
C
例题 2
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7.正比例函数y1=ax(a≠0)与反比例函数y2= (k≠0)图象的一个交点为A(2,3).
例题 2
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(1)求a,k的值;
解：将A(2,3)代入正比例函数解析式得3=2a,即a=,
故y1=x;
将A(2,3)代入双曲线解析式得3=,即k=6,
故y2=.
例题 2
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(2)画出两个函数图象,并根据图象直接回答y1>y2时,x的取值范围.
解：如图,
由图象可得:当y1>y2时,-22.
例题 2
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8.(2022 石家庄新华区模拟卷)如图,矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O,其面积为8,反比例函数y=的图象经过点D,则m的值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
A
例题 2
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9.(2022 滦州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y= (x>0)的图象G与直线l:y=2x-4交于点A(3,a).
(1)则k=　　　　.
6
例题 2
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(2)已知点P(0,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,与图象G交于点B,与直线l交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段AC,BC围成的区域(不含边界)为W.
①当n=5时,区域W内的整点个数为　　　;
解析：当n=5时,则B,C.
∴在区域W内有3个整点:(2,4),(3,3),(3,4).
3
②若区域W内整点恰好为3个,则n的取值范围是　　　　　　 　.
4例题 2
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二次函数是初中数学最重要的函数模型,重点考查分类讨论、数形结合、函数与方程、转化等数学思想,综合性高.每年中考必考,难度较大,主要考查二次函数的图象与性质,以及二次函数与其他函数的关系及应用.二次函数性质和图象特征的应用的主要着手点:对称性、增减性、交点、等面积、取值范围等.
类型三 二次函数的图象和性质
例题 3
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题型讲解
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方法点拨
解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出二次函数图象,通过图象分析出函数的平移、最值、增减性等知识,利用函数的性质或者转化为几何图形等,解决相关的问题.
例题 3
10
11
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13
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解题技巧
解决这类问题一般遵循这样的方法:
(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方程;
(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
例题 3
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(3)根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
(4)二次数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和图象上的已知点关于对称轴对称的点的坐标,或已知函数图象与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
例题 3
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列结论:①abc>0;②a-b+c>0;③m为任意实数,则a+b>am2+bm;④3a+c<0;⑤若a+bx1=
a+bx2且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确结论的个数有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
例题3
B
例题 3
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(1)由抛物线的开口方向判断a与0的关系;
(2)由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系;
(3)然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
思路指导
例题 3
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14
当堂检测
10.已知二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是(　　)
A.b≥ B.b≥1或b≤-1
C.b≥2 D.1≤b≤2
A
例题 3
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11.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为(　　)
A. 　 B.2 C. D.
C
例题 3
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12.若二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),对称轴为直线x=m,c>2a>0,则m的取值范围是(　　)
A.m<-2 B.m<-1.5 C.m<0 D.m<1
B
例题 3
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13.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),给出下列四个判断:①a>0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a+b+c<0.以其中三个判断作为条件,余下一个判断作为结论,可得到四个命题,其中,真命题的个数有(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
C
例题 3
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C
14.核心素养·模型观念 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③b-a>c;④若B,C为函数图象上的两点,则y1>y2;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的个数是(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
例题 3
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函数图象与性质综合类题型主要考查与函数图象相关的应用题,考查学生对图象提供的数据进行整理分析的能力.明确图象隐含的实际意义,然后将数据转化为函数的相关已知元素,以此求出函数的关系式,再运用相应的函数性质、方程(组)以及不等式等知识和有关的数学思想方法解决实际问题.
例题 4
类型四 函数的图象与性质综合
例题 6
15
题型讲解
例题5
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方法点拨
函数图象与性质综合类题型,一般是给定直角坐标系和函数的部分条件或者几何图形,求(已知)函数的解析式,在解答过程中进行函数图象的研究,利用函数的图象和性质、几何图形的相关性质解答问题.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
解题技巧
函数图象与性质综合类题型往往是将直角坐标系和几何图形直接给学生,先求函数的解析式,再进行图形的研究,求点的坐标或图形的某些性质.求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是根据已知条件,运用数形结合的思想,利用几何图形的特殊性用几何法和代数法解决问题.
例题 4
例题 6
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例题5
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(2022 河北模拟)如图①,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=-x2+2x+3分别交x轴,y轴于点A,B和点C,抛物线C2与抛物线C1关于直线y=对称,两条抛物线的交点为E,F(点E在点F的左侧).
例题4
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
(1)求抛物线C2的表达式;
先将抛物线C1表示成顶点式,求出顶点坐标,根据对称性可得C2的顶点坐标,由于C1和C2形状、大小相同,开口方向相反,据此可写出C2的表达式.
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4).
∵点(1,4)关于直线y=的对称点为(1,-1),抛物线C2与抛物线C1关于y=对称,
∴抛物线C2的顶点为(1,-1),且抛物线C2与抛物线C1的形状、大小相同,开口方向相反,
∴抛物线C2的表达式为y=(x-1)2-1=x2-2x.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(2)如图②,将抛物线C2沿x轴正方向平移,使点E与点C重合,求平移的距离;
由C1:y=-x2+2x+3得C(0,3),设出C2平移之后的表达式,将C(0,3)代入即可求解;
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
解：在y=-x2+2x+3中,令x=0得y=3,
∴C(0,3),
设抛物线C2向右平移m个单位长度后E与C(0,3)重合,即y=(x-m)2-2(x-m)过(0,3),
∴3=m2+2m,解得m=1或m=-3(舍去),
∴平移的距离是1.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(3)在(2)的条件下:规定抛物线C1和抛物线C2在直线EF下方的图象所组成的图象为C3,点P(x1,y1)和Q(x2,y2)在函数C3的图象上(点P在点Q的右侧),在(2)的条件下,若y1=y2,且x1-x2=1,求点P坐标.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
在(2)的条件下,求出平移之后C2的表达式,根据点P在点Q的右侧,可对Q所在位置进行分类讨论:①Q在C点左侧时,P在抛物线C2上;②Q在C,B之间时,P分两种情况:P在抛物线C1上或P在C,B之间的图象上,再根据点P,Q的坐标特征求解即可.
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
解：由(2)知,抛物线C2向右平移1个单位长度,
可得y=(x-1)2-2(x-1)=x2-4x+3,
∵x1-x2=1,∴x2=x1-1,∴Q(x1-1,y2),
当Q在C左侧图象上时,如图1:
例题 4
例题 6
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例题5
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17
∵Q在抛物线C1上,P在抛物线C2上,
∴y2=-(x1-1)2+2(x1-1)+3,y1=-4x1+3.
∵y1=y2,∴-(x1-1)2+2(x1-1)+3=2-4x1+3,
解得x1=2+(舍去)或x1=2-,
∴P1.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
当Q在C,B之间的图象上时,分两种情况:
①P在抛物线C1上,如图2:
∵y1=-+2x1+3,y2=(x1-1)2-4(x1-1)+3,且y1=y2,
∴-+2x1+3=(x1-1)2-4(x1-1)+3,
解得x1=2+或x1=2-(舍去),
∴P2.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
②P在C,B之间的图象上,如图3:
∵y1=-4x1+3,y2=(x1-1)2-4(x1-1)+3,且y1=y2,
∴-4x1+3=(x1-1)2-4(x1-1)+3,
解得x1=,∴P3.
综上所述,点P的坐标为 2-, 或 2+,- 或 ,- .
例题 4
例题 6
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例题5
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当堂检测
15.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式.
解：∵抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(2)如图,直线y=x+与抛物线交于A,D两点,与直线BC交于点E.若P(m,0)是线段AB上的动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点H.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
①当m<0时,是否存在一个m值,使得S△EFG=S△OEG,如果存在,求出m的值,如果不存在,请说明理由;
解：如图1,
∵抛物线的表达式为y=-x2+x+4,抛物线与y轴交于点C,
∴C(0,4).
设BC的解析式为y=kx+n,
又∵B(4,0),
∴解得
∴BC的解析式为y=-x+4.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
∵直线y=x+与y轴交于点N,与直线BC交于点E,∴N,
当-x+4=x+时,解得x=1,∴E(1,3).
∵P(m,0)且PH⊥x轴,∴G,F .
∵S△EFG=S△OEG,即FG·(xE-xF)=ON·(xE-xF),
∴ -m2+m+4-m- (1-m)=(1-m).
整理得4m2+5m+6=0.
∵Δ=52-4×4×6=-71,
∴此方程无解.
∴m<0时,不存在一个m值,使得S△EFG=S△OEG.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
②当△EFH是以点F为直角顶点的等腰直角三角形时,求出点P的坐标.
解：存在,理由如下:
如图2,∵FH⊥x轴,
∴△EFH以点F为直角顶点时,即FH⊥EF.
∴EF∥x轴.
∵B(4,0),C(0,4),
∴OB=OC=4,∠COB=90°.
∴∠OBC=45°.
∴∠HEF=∠OBC=45°.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
此时,△EFH是以点F为直角顶点的等腰直角三角形.
∵P(m,0),且FH⊥x轴,∴F.
由上问得E(1,3).
∴-m2+m+4=3.解得m1=,m2=.
∴P的坐标为或.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
如图,一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=的图象相交于A,
B两点,点C在x轴负半轴上,点D(-1,-2),连接OA,OD,DC,AC,四边形OACD为菱形.
例题5
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
由菱形的性质可知A,D关于x轴对称,可求得点A的坐标,把点A的坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值;
思路指导
例题 4
例题 6
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例题5
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17
解：如图,连接AD,交x轴于点E,
∵D(-1,-2),
∴OE=1,DE=2.
∵四边形AODC是菱形,
∴AE=DE=2,EC=OE=1,
∴A(-1,2),
例题 4
例题 6
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例题5
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17
将A(-1,2)代入直线y=mx+1,得-m+1=2,
解得m=-1,
将A(-1,2)代入反比例函数y=,得2=,
解得k=-2.
∴一次函数的解析式为y=-x+1,
反比例函数的解析式为y=-.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(2)根据图象,直接写出反比例函数的值小于2时,x的取值范围;
由(1)可知点A的坐标为(1,2),结合图象可知在点A的下方时,反比例函数的值小于2,可求得x的取值范围;
思路指导
例题 4
例题 6
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例题5
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17
解：∵当x=-1时,反比例函数的值为2,
∴当反比例函数图象在A点下方时,对应的函数值小于2,
∴x的取值范围为x>0或x<-1.
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(3)设点P是直线AB上一动点,且S△OAP=S菱形OACD,求点P的坐标.
根据菱形的性质可求得点C的坐标,可求得菱形面积,设点P的坐标为(a,a+1),根据条件可得到关于a的方程,可求得点P的坐标.
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
解：∵OC=2OE=2,AD=2DE=4,
∴S菱形OACD=OC·AD=4.
∵S△OAP=S菱形OACD,
∴S△OAP=2,
设点P的坐标为(a,-a+1),AB与y轴相交于点F,则F(0,1),
∴OF=1.
∴S△OAF=×1×1=,
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
当P在A的左侧时,S△OAP=S△OFP-S△OAF=(-a)·OF-=-a-,　
∴-a-=2,∴a=-5,-a+1=5+1=6,∴P(-5,6);
当P在A的右侧时,S△OAP=S△OFP+S△OAF=a·OF+=a+,
∴a+=2,∴a=3,-a+1=-2,∴P(3,-2).
综上所述,点P的坐标为(-5,6)或(3,-2).
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
当堂检测
16.如图,反比例函数y1=的图象过点A(-1,-3).连接AO并延长交反比例函数图象于点B,点C为反比例函数上一点,且横坐标为-3.一次函数y2=ax+b的图象经过B,C两点,与x轴交于点D,连接AC,AD.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(1)求反比例函数y1和一次函数y2的解析式;
解：将(-1,-3)代入y1=得-3=-k,解得k=3,∴y1=.
∵A,B在反比例函数图象上,∴点A,B关于原点成中心对称,
∴点B的坐标为(1,3),
把x=-3代入y1=得y1=-1,∴点C的坐标为(-3,-1),
将(1,3),(-3,-1)代入y2=ax+b,得解得
∴y2=x+2.
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
(2)当y1解：由图象可得当-31时,
曲线在直线BC下方,
∴当y11.
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(3)求△ACD的面积.
解：如图,作DE∥y轴交AC于点E,
设AC所在直线解析式为y=mx+n,
将(-1,-3),(-3,-1)代入y=mx+n,得解得
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
∴AC所在直线解析式为y=-x-4,
将y=0代入y2=x+2得x+2=0,解得x=-2,
∴点D的坐标为(-2,0),
把x=-2代入y=-x-4得y=-2,
∴点E的坐标为(-2,-2),DE=2,
∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=DE·(xD-xC)+DE·(xA-xD)
=×2×[-2-(-3)]+×2×[-1-(-2)]=2.
例题 4
例题 6
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例题5
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(2022 江苏扬州)如图,直线y=x+1与x轴交于A,与y轴交于B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,且与y轴交于点C(0,4),P为x轴上一动点,按逆时针方向作△CPE,使△CPE∽△AOB.
例题6
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(1)求抛物线解析式.
先根据一次函数y=x+1确定A的坐标,然后运用A,C的坐标采用待定系数法解答即可;
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
解：对于直线y=x+1,
当y=0时,x=-2,∴A(-2,0),
把(-2,0)(0,4)代入抛物线中,
得
解得c=4,b=1,
∴y=-x2+x+4.
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(2)若点E落在抛物线上,求出点P的坐标.
作EF⊥x轴于F,先求出OA和OB的比值,然后根据△CPE∽△AOB,再证明△CPO∽△PEF,利用相似性质,进一步得到EF与OP的关系,设P(t,0),则E(t+2,),然后将E的坐标代入解析式求解即可;
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
解：如图1,作EF⊥x轴于F,
∵直线AB交y轴于点(0,1),∴=.
又∵△CPE∽△AOB,∴==.
∵∠CPE=90°,∴∠CPO+∠EPF=90°.
又∵∠EPF﹢∠PEF=90°,
∴∠CPO=∠PEF,∴△CPO∽△PEF,
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
∴===2,∴PF=2,EF=OP.
设P(t,0),则E,∵E在抛物线上,
∴=-(t+2)2+(t+2)+4,解得t=,
∴P1,P2.
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(3)若△ABE是直角三角形,直接写出点P的坐标.
设P(t,0),则E,用t表示线段的长,再利用勾股定理可得.
思路指导
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
解：设P(t,0),则E ,而A(-2,0),B(0,1),
∴AE2=(t+4)2+,BE2=(t+2)2+,AB2=5.
①当∠ABE=90°时,如图2:
此时AB2+BE2=AE2,即5+(t+2)2+=(t+4)2+,
解得t=-,∴P;
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
②当∠BAE=90°时,如图3:
此时AB2+AE2=BE2,5+(t+4)2+=(t+2)2+,
解得t=-,∴P;
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
③当∠AEB=90°时,(t+4)2++(t+2)2+=5,即t2+11t+16=0,而Δ=121-160=-39<0,无实数解.
综上所述,P或P - .
例题 4
例题 6
15
例题5
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当堂检测
17.(2022 辽宁盘锦)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,9),点D在y轴正半轴上,OD=4,点P是线段OB上的一点,过点B作BE⊥DP,BE交DP的延长线于点E.
例题 4
例题 6
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例题5
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17
(1)求抛物线解析式;
解：将A(-3,0),C(0,9)代入抛物线y=-x2+bx+c,
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+9.
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(2)若=,求点P的坐标;
解：∵抛物线的解析式为y=-x2+x+9,
∴B(6,0).
∵BE⊥DP,∴∠E=∠DOP=90°.
∵∠DPO=∠BPE,∴△DPO∽△BPE,
∴===,
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
设OP=t(0∴BP=6-t,∴BE2=,PE2=,
在Rt△BPE中,由勾股定理可得BE2+PE2=PB2,
∴+=(6-t)2,解得t=58(舍)或t=2,
∴P(2,0).
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
(3)点F为第一象限抛物线上一点,在(2)的条件下,当∠FPD=∠DPO时,求点F的坐标.
解：如图,过点D作DG⊥PF于点G,过点G作GN⊥x
轴于点N,过点D作DM⊥GN交NG的延长线于点M,
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17
∴∠DOP=∠DGP=90°.
∵∠FPD=∠DPO,DP=DP,
∴△DPO≌△DPG(AAS),
∴OD=GD=4,OP=PG=2.
∵GN⊥x轴,DM⊥GN,
∴∠M=∠GNP=90°.
∵∠DGM+∠MDG=∠DGM+∠PGN=90°,　
∴∠MDG=∠PGN,
例题 4
例题 6
15
例题5
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17
∴△MDG∽△NGP,
∴DG∶GP=MD ∶ GN=MG ∶ PN=2 ∶ 1,
设PN=m,则MG=2m,
∴GN=4-2m,∴DM=8-4m,
∴8-4m=2+m,解得m=,
∴ON=2+=,GN=4-2×=,∴G,
例题 4
例题 6
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例题5
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17
设直线PF的解析式为y=kx+b',
∴解得
∴直线PF的解析式为y=x-,令x-=-x2+x+9,解得x=5或x=-(舍),
∴F(5,4).
例题 4
例题 6
15
例题5
16
17

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