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人教版物理必修二
第七章 万有引力与宇宙航行
第三节 7.3万有引力理论的成就（2）
双星问题（多星系统）
计算天体质量
复习回顾：
1.万有引力大小近似等于重力
2.万有引力提供圆周运动的向心力
一、双星系统
定义：两颗相距较近，质量相差不是很大的天体在万有引力的作用下绕两者连线上的一点相互环绕做圆周运动，形成稳定的系统称为双星系统。
0
m1
m2
L
r1
r2
ω
特点：
2.以两天体连线上的某点为中心转动
1.由双星间相互作用的万有引力提供向心力
3.转动角速度(周期)相等
T1＝T2，ω1＝ω2
4.轨道半径r与质量m成反比。
5.两星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
双星系统的规律
T1＝T2，ω1＝ω2
r1＋r2＝L
由
得：
二、三星系统
1.三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
m
m
m
ω
r
r
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
2.三颗质量相等的行星位于正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
L＝2r cos 30°
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
ω
三、四星系统
1.四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动
m
m
m
m
L
0
ω
对四星中任一星体，由牛顿第二定律有：
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
2.三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。（四颗星是在同一个平面内，不是正四面体）
m
m
m
M
对三颗星中任一星体，由牛顿第二定律有：
外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。
0
L
L
L
ω
1.天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是(　 )
D.它们两两之间的万有引力大小为????????????????????????????????????????
?
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为????????????????????????????????
?
C.它们的线速度大小均为????????????????????
?
D
解析：三颗星在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周运动,可知它们相互间的万有引力大小相等,可得三颗星的质量相等,故A错误.
由几何关系可知 ????????????=cos 30°,则F向=m????????????=m????????????????????R=m????????????????????×????????l,
F万=????????????????????,又????向????????万=cos 30°,联立解得m=????????????????????????????????????,v=????????????????????????,
F万=????????????????????????????????????????,D正确,B、C错误.
?
2.两个黑洞互相绕转形成一个双星系统,如图所示,若黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg,球心间的距离为2×105 m,产生的引力波周期和黑洞做圆周运动的周期相当,则估算该引力波周期的数量级为(G=6.67×10-11 N·m2/kg2)( 　)
A.10-1 s B.10-2 s
C.10-3 s D.10-4 s
解析：设两黑洞的质量分别为m1和m2,运动的半径分别为r1和r2,由向心力公式得G????????????????????????=m1ω2r1=m2ω2r2,解得m1=????????????????????????????,m2=????????????????????????????,两黑洞总质量m1+m2=????????????????(????????+????????)????=????????????????????,周期T=????????????=2π????????????(????????+????????)≈6×10-3 s,选项C正确.
?
C
3.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在,证实了GW150914是两个黑洞并合的事件.GW150914是一个质量为太阳质量的36倍的黑洞和一个质量为太阳质量的29倍的黑洞并合事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动,且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响,则关于这两个黑洞的运动,下列说法正确的是 (　 　)
A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C.质量为太阳质量的36倍的黑洞和质量为太阳质量的29倍的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
D.随两黑洞间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小
D
解析:设两个黑洞的间距为L,质量为太阳质量的36倍的黑洞质量为m1,轨道半径为r1,质量为太阳质量的29倍的黑洞质量为m2,轨道半径为r2.这两个黑洞做圆周运动,角速度相等,向心力大小相等,则m1r1ω2=m2r2ω2,所以r1∶r2=m2∶m1=29∶36,由线速度v=rω可知,线速度大小之比为29∶36,选项A、C错误;
由向心加速度an=rω2可知,这两个黑洞的向心加速度大小不等,选项B错误;
对质量为太阳质量的36倍的黑洞,有G????????????????????????=m1r1????????????????,对另一黑洞,有G????????????????????????=m2r2????????????????,又r1+r2=L,联立得G????????+????????????????=(r1+r2)????????????????,即T2=????????????????????????(????????+????????),所以随着两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小,选项D正确.
?
4.(多选)假设宇宙中有一双星系统由 ????、???? 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得 ???? 星的周期为 ???? , ????、???? 两颗星的距离为l , ???? 、 ???? 两颗星的轨道半径之差为 ???????? ( ???? 星的轨道半径大于 ???? 星的轨道半径),则( )
?
A. ???? 星公转的周期为 ?????????????????+????????????
B. ???? 星公转的线速度大小为 ????????+????????????
C. ???? 、 ???? 两颗星的半径的比值为 ?????????????????
D. ???? 、 ???? 两颗星的质量的比值为 ?????????????????+????????
?
BD
解析: 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,则周期相等,所以 b 星的周期为 T ,选项A错误;根据题意可知, ra+rb=l , ra?rb=Δr ,解得 ra=l+Δr2 , rb=l?Δr2 ,由线速度公式 v=2πrT 可得， rarb=l+Δrl?Δr ,选项B正确,C错误;双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,有 maω2ra=mbω2rb ,解得 mamb=rbra=l?Δrl+Δr ,选项D正确.
?
5.某双星系统中两个星球 A、B 的质量都是 m ，相距为 L ，引力常量为 G，它们围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动.实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0 ，且 ????????????=?????????
A. 2πL2Gm ， 1+k24km
?
B.2πL32Gm ， 1+k24k2m
?
C. 2π2GmL3 ， 1+k24km
?
D.2πL32Gm ， 1?k24k2m
?
D
解析: ???? 、 ???? 做匀速圆周运动的周期相同，设为 ???????? ，由万有引力提供向心力，有 ????????????????????=?????????????????????????????????????=????????????????????????????????????? ， ????????+????????=???? ，解得 ????????=???????????????????????????? ；由于 ???? 的存在， ???? 、 ???? 、 ???? 构成三星系统，则 ???? 星的向心力由B、C对它的万有引力的合力提供，即 ????????????????????+????????????????????????????=????????????????????????????????? ,又 ????????????=???? ，解得 ????????=????????????????????????????? ，故选项D正确.
?
冥王星为什么会被“降级”？
国际天文学联合会大会24日投票决定，不再将传统九大行星之一的冥王星视为行星，而将其列入“矮行星”。许多人感到不解，为什么从儿时起就一直熟知的太阳系“九大行星”概念如今要被重新定义，而冥王星又因何被“降级”？
“行星”这个说法起源于希腊语，原意指太阳系中的“漫游者”。近千年来，人们一直认为水星、金星、地球、火星、木星和土星是太阳系中的标准行星。19世纪后，天文学家陆续发现了天王星、海王星和冥王星，使太阳系的“行星”变成了9颗。此后，“九大行星”成为家喻户晓的说法
不过，新的天文发现不断使“九大行星”的传统观念受到质疑。天文学家先后发现冥王星与太阳系其他行星的一些不同之处。冥王星所处的轨道在海王星之外，属于太阳系外围的柯伊伯带，这个区域一直是太阳系小行星和彗星诞生的地方。20世纪90年代以来，天文学家发现柯伊伯带有更多围绕太阳运行的大天体。比如，美国天文学家布朗发现的“2003UB313”，就是一个直径和质量都超过冥王星的天体

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