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2023届复习精品资料---高中数学解题小结大汇总
熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。
一、集合与简易逻辑
1. 集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性
集合元素的互异性：如：，，求；
2. 集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；
；
空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
　 3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 则A的个数为个
(14) 则B的个数为个
4.“交的补等于补的并，即”；“并的补等于补的交，即”.
8.分清条件和结论是关键 满足条件，满足条件，
若；则是的充分非必要条件；
若；则是的必要非充分条件；
若；则是的充要条件；
9 全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。含有全称量词的命题叫做全称命题。表示“对M中任意一个x有p(x)成立”简记为 它的否定
全称命题p：， 它的否定：，
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；
特称命题p：； 特称命题p的否定p：；
10 全称（特称）命题的否定与命题的否定的区别，全称（特称）命题的否定将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论
二、函　数
1.指数式、对数式，
（1）分数指数幂
(2) （，且）(2)（，且）3）．根式的性质（1）（2）当为奇数时，；当为偶数时，
(4)．有理指数幂的运算性质
(1) (2)
(3)
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
(5)指数式与对数式的互化式:
(6)对数的换底公式 : (,且,,且, )
对数恒等式：(,且, )推论 (,且, )
(7)．对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1); (2) ;
(3); (4)
(8)设函数,记若的定义域为,则且;若的值域为,则，且
(9) 对数换底不等式及其推广：设，，，且，则
（1）　　　（2）
(10) 平均增长率的问题（负增长时）
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有
(2)函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.
3.单调性和奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.　对于偶函数而言有：.
（2）若奇函数定义域中有0，则必有.即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件.
（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.
（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.
(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.
(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
5.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
(4)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
6函数的单调性的等价关系
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数
7如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数也是增函数
6.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）
(1)函数与函数的图像关于直线（轴）对称.
推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称.
推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称.
(2)函数与函数的图像关于直线（轴）对称.
推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）.
(3)函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.
推广：函数与函数的图像关于点中心对称.
(4)函数与函数的图像关于直线对称.
推广：曲线关于直线的对称曲线是；
曲线关于直线的对称曲线是.
(5)绕原点逆时针旋转，得，若有反函数，则得.
(6)类比“三角函数图像”得：
若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为.
若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为.
如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为.
　如果是R上的周期函数，且一个周期为，那么.
　特别：若恒成立，则.
若恒成立，则.若恒成立，则.如果是周期函数，那么的定义域“无界”.
　 记住函数的几个重要性质：
函 数 满 足 的 条 件 对称轴(中心)
满足的函数的图象[或]
满足的函数的图象[或]
满足的函数的图象
满足的函数的图象
满足的函数的图象(偶函数)
满足的函数的图象(奇函数)
满足与的两个函数的图象
满足与的两个函数的图象
满足与的两个函数的图象
y=f(ax+b)是奇函数满足f(ax+b)=-f(-ax+b)
y=f(ax+b)是偶函数满足f(ax+b)=f(-ax+b)
7.图像变换
(1)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.
(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“双钩函数”及函数等）相互转化.
注意：①形如的函数，不一定是二次函数.
②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系.
③形如的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线(由分母为零确定)、直线(由分子、分母中的系数确定)，双曲线的中心是点.
(3)：将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像；上不变下折上
(4)：将函数的图象在y轴左侧的部分去掉，函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像。.右不变，右折左
(5)若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象
函数平移找零点
(6)．互为反函数的两个函数的关系：
8几个常见的函数方程
(1)正比例函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
(5)余弦函数,正弦函数，，
9几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），或,则的周期T=2a；
10常见函数的图像：
11．函数零点的求法：
⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
12闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则；
，，
(2)当a<0时，若，则，
若，则，
13定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
(1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是
(2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是
(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是
(4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是
14．导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；
⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷复合函数的导数：
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
①是增函数；②为减函数；③为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。
(6)导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
补充：
关于抽象函数构造之与
定理1：；
定理2：当时，；
关于
定理3：；
定理4：由于；
关于或
定理5：正弦同号，余弦反号定理
；当
Xlnx模型
定理6：
记忆方法：将式子全部转化为形式，首先满足导数构造中加乘减除符号不变性，若括号内无则是；若括号内是，则是；
非对称的构造
定理7：平移模型：
倍数模型：
奇偶模型：为奇函数；
为偶函数（为奇函数）内是，则是．
放缩，
常见放缩，将和同时放缩成直线，这种方法叫做改头换面。如图所示，，此时取等条件都相同，原因是他们在处的切线平行；恒成立，则整数的最大值为2，无法取等（图3）；当，无法恒成立．
较大比较大小用：
①；；（利用）；
这一系列放缩的取等条件就是，或者；
②；；（利用）；
这一系列放缩的取等条件就是，或者；
③；；（利用），这一系列放缩的取等条件就是，或者．
同构式问题构造xex与xlnx 我们发现，在，而在，在，在考查同构式的类型中，构造来求取值范围，构造来判断零点个数及分布；同构式模型：①，②；③
若不是存在或者之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的进行放缩，但在区间内重点考虑切线放缩，通常放缩有：①；②（取等条件）；③（取等条件）；④；⑤（取等条件）；⑥； ⑦（取等条件）；⑧（取等条件以及
两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为 对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，，可设，（I）先证：……①
不等式①
构造函数，则.
15常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）柯西不等式：
（5）
（6）(当且仅当a＝b时取“=”号)
16最值定理:已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值
（3）已知，若则有
（4）已知，若则有
17一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间；
18含有绝对值的不等式 ：
(1)
或>g(x)或f(x)<-g(x)
2．绝对值不等式：
3．不等式的性质：
⑴；⑵；⑶；
；⑷；；
;⑸;⑹
19指数不等式与对数不等式
(1)当时,;　
(2)当时,
;　
三、数列
1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前项和公式的关系：(必要时请分类讨论).
注意：；
.
2.等差数列中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.
（2）；.
(3)、也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)仍成等差数列.
（6），，，
，.
(7)；；.
(8)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和；
(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.
（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.
(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).
3.等比数列中：
（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.
（1）； .
(3) 、、成等比数列；成等比数列成等比数列.
(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
(5)成等比数列.
（6）.
　特别：.
(7) .
(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
（10）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数同号时，实数存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.
(11) 2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP ③成GP
成AP, ④成GP,
4.等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列.
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.
注意：(1)公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.但也有少数问题中研究，这时既要求项相同，也要求项数相同.(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法.
5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），
③，，
，.
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：其中
（注意是次方）
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①， ②，③，
，
④ ，⑤,
⑥,
⑦，⑧.
9、nn!=(n+1)!-n! 10、
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.
（8）数列通项转换法。
类型1 这种类型数列求的方法一般采用叠加法
例1（2008天津）在数列中，，，
且（）．
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；
解：（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，…，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，上式对显然成立．
类型2 这种类型的数列求的方法一般采用叠乘法
例2（2004全国）已知数列满足 ，
求数列的通项公式；
解：已知
－（2）得
所以将n个式子相乘，得
所以
类型3这种类型一般采用等式两边取倒数转化为等差或等比数列求解
例3（2008陕西）已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
类型4 这种类型的数列求的方法一般采用
验证n=1是否满足 ，若满足则写成若不满足则写成上式
例4．(2008全国2)设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
解：（Ⅰ）依题意，，即，
由此得．因此，所求通项公式为，．
练习（2007重庆）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1，且
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；答案：．
类型5
这种类型的数列求的方法一般采用待定系数法构造新数列为等比数列，即令 解得 从而转化为是公比为p的等比数列
例5．（全国2）设数列的首项．
（1）求的通项公式；
解：（1）由 整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得
类型6 当时 将等式两边同时除以得
从而转化为是以为公差的等差数列
例6：在数列中，，.
(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；（2）并求通项公式
解：(Ⅰ)
即，所以数列是等差数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)，所以一般采用待定系数法构造新数列为等比数列即令 解得
从而转化为是公比为p的等比数列
例7（2006全国1）设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3,
6.数列应用问题
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
四、三角函数
1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上).
终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).
终边与终边关于轴对称.
终边与终边关于轴对称.
终边与终边关于原点对称.
一般地：终边与终边关于角的终边对称.
与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.
2.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).
3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.
注意：，
，.
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；
5．⑴对称轴：；对称中心：；
⑵对称轴：；对称中心：；
7．三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
②③ 。
9．二倍角公式：①；
②；③。
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
如， ，
，等.
常值变换主要指“1”的变换：
等.
三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.
注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征.“正余弦‘三兄妹—’的内存联系”(常和三角换元法联系在一起
).
辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为的情形.有实数解.
8.三角函数性质、图像及其变换：
(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性
注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定. 如的周期都是, 但的周期为， y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函数吗？
(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.
(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法.
9.三角形中的三角函数：
(1)内角和定理：三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补
（4）考点一、①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件
③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有
考点二：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．
考点三：由正弦定理推出的几个结论
①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．②
③由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．
④A考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论
①，
所以，同理，，
，同理，，
，同理，，
所以，同理，，
考点五：三角形面积公式
S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
由正弦定理可得
海伦公式：，其中
三角形面积和内切圆半径的关系：（其中为三角形内切圆的半径）
(5)在三角形中，则三角形ABC的面积
（6）正切恒等式
（7）射影定理在中，，，.
（8）余弦定理推导式：，（把当做一个整体）
（9）张角定理
如图，在中，为边上的一点，连接，设，，，则一定有．
证明：，，
同除以得：．
推论：①当时，，（角平分线张角定理）
②（张角底边比值问题）
定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍．以此类推到三角形中线定理，若AM是的中线，则．
(2)异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是，.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的范围依次是.
五、向 量
1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.
2.几个概念：零向量、单位向量(与共线的单位向量是，特别：)、平行(共线)向量(无传递性，是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（在上的投影是).
3.两非零向量平行(共线)的充要条件 .
两个非零向量垂直的充要条件 .
特别：零向量和任何向量共线. 是向量平行的充分不必要条件
4.平面向量的基本定理：
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量、 (≠ )，∥存在实数λ使=λ．
三点共线
、共线且不共线且不共线
（2）共面向量定理
向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使．
推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，
或对空间任一定点O，有序实数对，使
（3）对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．四点共面与、共面
（平面ABC）
（4）空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x＋y＋z．
（5）推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
向量中三终点共线存在实数使得：且.
（6）.向量的数量积：，，
，.
注意：为锐角且不同向；为直角且；为钝角且不反向是为钝角的必要非充分条件.
向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即，切记两向量不能相除(相约).
（7）.
注意：同向或有；
反向或有；
不共线.(这些和实数集中类似)
（8）.平移与定比分点
(1)线段的定比分点坐标公式
设P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且，则.，.
特别：分点的位置与的对应关系.
中点坐标公式， 为的中点.
中，过边中点；；.
为的重心；特别为的重心.
为的垂心；
所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心.
.
奔驰定理
奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于
(2)极化恒等式:
证明：①；②
两式相减得：
特别地，如图在中，若为的中点，.
考点二：平面向量的矩形大法
如图：若四边形为矩形，为矩形所在平面内任一点，则。
对角线向量定理：
七、直线和圆
1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况？
2.知直线纵截距，常设其方程为或；知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或.知直线过点，常设其方程为或.
注意：(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？）
与直线平行的直线可表示为；
与直线垂直的直线可表示为；
过点与直线平行的直线可表示为：；
过点与直线垂直的直线可表示为：.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.
(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是，而其到角是带有方向的角，范围是.相应的公式是：夹角公式，直线到角公式.注：点到直线的距离公式.
特别：；
；
.
4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.
5.圆的方程：最简方程；标准方程；
一般式方程；
参数方程为参数)；直径式方程.
注意：(1)在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是.
(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：
，，
，.
6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”
(1)过圆上一点圆的切线方程是：，
过圆上一点圆的切线方程是：
，
过圆上一点圆的切线方程是：.
如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程，(为圆心到直线的距离).
7.曲线与的交点坐标方程组的解；
过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.
八、圆锥曲线
1椭圆焦长以及焦比问题
体:过椭圆的左焦点F1的弦与右焦点F2围成的三角形的周长是4a；
焦长公式：A是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．
体面积：，
2焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，，令，即，代入弦长公式可得
3双曲线的焦点三角形问题
周长问题：双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为（如图1）
图1 图2 图3
焦长公式：（1）当AB交双曲线于一支时，，（图2）；
（2）当AB交双曲线于两支时，，（图3）．
双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：
令，即，代入弦长公式可得．
若交于两支时，，代入弦长公式可得
4抛物线焦长公式及性质
1．．2．．
3．．4．设,则．
5．设AB交准线于点P，则；．
椭圆焦点三角形的性质
椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则；
证明：设
推论与应用：（注意：r为内切圆半径）
直角三角等面积法：如右图，当时，有；
，．
（2）任意角度的等面积法：．
（3）最大面积、最大夹角问题：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积原理，此时．
（4）直角顶点的讨论：当时，取得最大值，若，则，；同理，若，则，；若，则，．在分析直角顶点个数时，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。（注意：与的区别）
（5）已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则．
双曲线焦点三角形性质
双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，
，则
证明：
推论与应用：
（1）直角三角等面积法：当时，有；；
（2）任意角度的等面积法：；
（3）内切圆的圆心横坐标一定等于；证：如图，；
（4）椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图，椭圆和双曲线共焦点，由于两个式子不同，将椭圆写成，双曲线写成可以知道，
①当时，椭圆和双曲线的离心率；
②当时，一定有．
证明：．
双曲线焦点到渐近线距离为b
定理一：双曲线C：的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数
定理二：双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
椭圆联立与设点设线
椭圆与直线相交于AB两点，求AB的弦长．
设 设则
（常规设点设线）
．
椭圆与直线交点的判别式：用来判断是否有交点问题．
面积问题：椭圆与直线相交与两点，为AB外任意一点，求.设C到的距离为，则．
若椭圆中出现，或者椭圆与过定点的直线l，则直线设为，如此消去，保留，构造的方程如下：
（就是将）
．
椭圆与直线交点的判别式：用来判断是否有交点问题．
双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）
双曲线与直线相交于AB两点，求AB的弦长。
设 设则
将代入得：
双曲线与直线交点的判别式：用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线相交与两点，为AB外任意一点，求。设C到的距离为，则
直线与双曲线交点问题：
(1)直线与双曲线有两个交点时，；，有仅有一个交点；，没有交点；
(2)过点的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：
①当时，点在渐近线上，当时，有两条直线（一条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；②当时，且在双曲线外部，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；
③当时（点在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率时，有一交点，当直线斜率时，有两个交点．
过原点的向量乘积问题
椭圆与双曲线与直线相交于两点，O为坐标原点，求
解：设
将代入得： 将代入得：
将（1）（2）分别代入（3）得：
椭圆 双曲线
抛物线角平分线定理
抛物线与直线相交于两点，联立得消去得：
；即※；由此推出三大定理。
定理1：抛物线准线与坐标轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被坐标轴轴平分
定理2：过对称轴上任意一定点的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角被对称轴（NG所在直线）平分。
定理3：过点的任一直线交抛物线于AB两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，三点共线。（对称之点，三点共线
抛物线的设线问题如图1，已知AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，是抛物线的准线，，N为垂足．则：（1）以AB为直径的圆与准线l相切．（2）（3）则（重点）（4）设，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上（重点）与抛物线联立的直线只能是，故可得两种直线与抛物线的联立形式定理：已知AB是抛物线的弦，则令AB方程为，故（k为直线AB斜率的倒数）（5）（中点弦问题）（k为直线AB斜率的倒数）（6）（图2）故抛物线的弦AB中点，则AB中垂线过定点（7）直线过定点(图3)时，（垂直问题）已知AB是抛物线弦，则令AB方程为，故（k为直线AB斜率）（8）（中点弦问题）（k为直线AB斜率）（9） （中垂线过定点问题）故抛物线的弦AB中点，则AB中垂线过定点（10）直线过定点
中点问题找点差，直径问题问点差
中点弦问题：若椭圆(双曲线)与直线交于两点，为中点，则可以采用点差法
定理1：（椭圆）；（双曲线）中垂线问题：若A、B关于直线或者对称，可以知道线段AB被直线垂直平分，设N为与坐标轴交点，则能得出以下定理：
定理2：(椭圆)，（双曲线）；(椭圆)，（双曲线）
直径问题：若过原点，则为椭圆（双曲线）直径，为椭圆（双曲线）上异于任意一点，
定理3：（椭圆）；（双曲线）
定比点差法原理
定比分点：若，则称点M为AB的定比分点，若，则
若且，则称M，N调和分割A，B，根据定义，那么A，B也调和分割M，N.
定理：在椭圆或双曲线中，设A，B为椭圆或双曲线上的两点。若存在P，Q两点，满足，，一定有
证明：若， ，则
则，有 ①—②得：即
九、直线、平面、简单多面体
1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角，或建立空间坐标系转化为空间向量的夹角计算
(、、
、、
,
.
特别：，,
则- =.
，
2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线.
3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法()、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.
4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.
5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：
线线关系线面关系面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.
特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.
③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.
6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中：对角线长，棱长总和为，全(表)面积为，(结合可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，；
如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中：
7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥三棱柱平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .
8．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= 。
9．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。
10求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:
11.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法：。
12．结论：
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。
⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2，体积V=a3。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：
高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：。
（5）三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，AD是α的一条斜线AB在α内的射影，且BD⊥AD，垂足为D，设AB与α(AD)所成的角为， AD与AC所成的角为， AB与AC所成的角为．则
（6） 三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ;
(当且仅当时等号成立)
（7）空间两点间的距离公式
若A，B，则=
（8） 点到直线距离
(点在直线上，为直线的方向向量， =)
（9）异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离)
（10）点到平面的距离
（为平面的法向量，，是的一条斜线段）
外接球问题
十、排列、组合和概率
1.排列数、组合数中.
(1)排列数公式
；.
(2)组合数公式
；.
(3)组合数性质：
,,
.
2.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
3.解排列组合问题的规律是(优限法和间接法)：相邻问题捆绑法；不邻(相间)问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序问题用除法(组合法)；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法，特别地还有隔板法(什么时候用？)、字典法、构造法等.
4.(1)二项式定理：，其中各系数就是组合数，它叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项.某项“加数”的指数该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的上标.
(2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、等距性、单调最值性和.
（3）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶次(数)项”的系数和.如，奇(偶)次项系数和().
注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行.
二项式的应用主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩.
5.概率的计算公式：
(1)等可能事件的概率计算公式：；
(2)互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式是：P()=1－P(A)；
(4)独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A B)＝P(A) P(B)；
(5)独立事件重复试验的概率计算公式是：
(是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项).
6．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：；
⑶几何概型： ；
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差= ；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。（3）当r 大于0.75时两个变量的线性相关性越强
4．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：；⑵残差：；⑶残差平方和： ；
⑷回归平方和：－；⑸相关指数 。
注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②越接近于1，，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
联表
总计
a b a+b
c d c+d
总计 a+c b+d n=a+b+c+d
当时，没有充分的证据判断变量A,B没有关联时，有的把握判断变量A,B有关联时，有的把握判断变量A,B有关联 有的把握判断变量A,B有关联
3离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;（2）
（3）数学期望：
4数学期望的性质
（1）（2）若～,则
(3) 若服从几何分布,且，则
5方差：
6标准差：=
7方差的性(1)；(2）若～，则
(3) 若服从几何分布,且，则
8方差与期望的关系：
9正态分布密度函数：，
式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差
10标准正态分布密度函数：
11对于，取值小于x的概率：
12二项分布（独立重复试验）：
（1）若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。
⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；
（5）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；
当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P=0.6826；P=0.9544
P=0.9974
A
B
C
M
对称点共线
抛物线等角定理
图1
图2
图3
PAGE
4