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2023高考数学概率统计解答题专题
一．解答题（共18小题）
1．某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
思想政治 地理 化学 生物
物理类 100 120 200 180
历史类 120 140 60 80
（1）利用上述样本数据填写以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．
科类 生物学科选法
选 不选 合计
物理类
历史类
合计
（2）假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E（X）．
附：
α 0.1 0.05 0.001 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2．现有编号为2至5号的黑色、红色卡片各一张．从这8张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于10且颜色均相同，得2分；若抽取的三张卡片的编号和等于10但颜色不全相同，得1分；若抽取的三张卡片的编号和不等于10，得0分．
（1）求随机抽取三张卡片得0分的概率；
（2）现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色3号卡片和红色5号卡片，乙抽到了黑色2号卡片，求两人的得分和X的分布列和数学期望．
3．某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次．为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次．假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若a＝0.2，n＝20，试估算该小区化验的总次数；
（2）若a＝0.9，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费n+9元．求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小．
（注：当p＜0.01时，（1﹣p）n≈1﹣np）
4．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示．
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：．
5．甲、乙两名射手在一次射击中射中的环数为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．
（1）求ξ、η的分布列；
（2）求ξ、η的期望与方差，并比较甲、乙的射击技术．
6．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．
（1）现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；
（2）从中抽取3个球进行检测，随机变量X表示取出黑球的个数，求X的分布列及期望．
7．某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这50名职工考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数t（精确到0.01）；
（2）若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其中“μ近似为50名职工考核成绩的平均数近似为样本方差s2，经计算得s2＝27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？（结果四舍五入保留整数．）
附参考数据与公式：，X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
8．为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．
男学生 女学生
不低于90分 8 2
低于90分 22 28
（1）判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；
（2）现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
α＝P（χ2≥k） 0.05 0.01 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
9．某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
（2）记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
10．为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动，活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其它垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称，每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中，按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分，比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子得0分，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照（0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成如下频率分布直方图．
（1）分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和（20，40]内的人数；
（2）从所抽取的20人内，得分落在[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望．
11．某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．若a，b，c成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（Ⅲ）若用频率估计概率，从该中学学生中抽取5人，成绩在区间[90，100]内的学生人数为X，求X的数学期望．
12．根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整．其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：
性别 接种情况 男 女
未接种 20 10
已接种 230 240
（1）估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？
（3）以（1）中统计比例作为该地区老人接种疫苗的概率，随机调查10名老人，记接种疫苗人数为X，求X的均值．（结果保留到个位）
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
13．2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．
（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．
14．根据教育部的相关数据，预计2022年中国大学毕业生将达到1076万人，比2021年增长167万人，规模和数量将创历史新高．国家对毕业生就业出台了许多政策，某公司积极响应国家政策决定招工400名（正式工280名，临时工120名），有2500人参加考试，考试满分为450分，考生成绩符合正态分布．考生甲的成绩为270分，考生丙的成绩为430分，考试后不久甲仅了解到如下情况：此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人．
（1）请用你所学的统计知识估计甲能否被录用，如录用能否被录为正式工？
（2）考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人．”请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6828；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974．
15．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：
（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2．（用每组的中点代表该组的均值）
（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N（μ，σ2），用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ估计值．
（ⅰ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件个数，求P（X≥1）及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中xi为各区间的中点，pi为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，，，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733．
16．甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得﹣1分；若甲未投中，乙投中，甲得﹣1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）求甲、乙两人最终平局的概率；
（3）记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．
17．长沙某中学发现越来越多的学生就餐时间不去食堂，而是去面包房或校园商店．考虑到学生的饮食健康及身体营养问题，校领导要求教育处就学生对食堂的菜品及服务质量等问题进行满意程度调查．教育处从三个年级中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：[40，50），[50，60）， ，[90，100]，统计结果如图所示．
（1）由直方图可认为学生满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s＝14.31．若该学校有3000名学生，试估计该校学生中满意度得分位于区间（56.19，99.12]内的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）为吸引学生就餐时间去食堂，教育处协同后勤处举行为期一周的活动，每天每位学生可去食堂，领取一盒早餐奶券（价值2元）或参加抽奖活动（只能二选一），其中抽奖活动规则如下：每人最多有4轮抽奖，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为，每一轮抽奖，若中奖，可获用餐券一张（价值2元，用餐时抵扣）；若未中奖，则抽奖活动结束．李同学参与了此次活动．
①若李同学选择抽奖，求他获得6元用餐券的概率；
②李同学选择哪种活动更合算？请说明理由．
参考数据：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545．
18．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮．某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动
男性 80 40
女性 60 60
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）现从参与调查且喜爱足球运动的观众中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人进行有奖竞答．
①求男、女性观众各选取多少人？
②若从这7人中随机抽取4人进行本届世界杯赛事集锦分享，求抽到男生人数X的分布列和数学期望E（X）．
附：χ2＝，（n＝a+b+c+d）．
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2023高考数学概率统计解答题专题
参考答案与试题解析
一．解答题（共18小题）
1．某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
思想政治 地理 化学 生物
物理类 100 120 200 180
历史类 120 140 60 80
（1）利用上述样本数据填写以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．
科类 生物学科选法
选 不选 合计
物理类
历史类
合计
（2）假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E（X）．
附：
α 0.1 0.05 0.001 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）由题意可得：选择物理类的总人数有600，其中选择生物学科的人数为180，不选择生物学科的人数为420，
选择历史类的总人数有400，其中选择生物学科的人数为80，不选择生物学科的人数为320，
据此完善2×2列联表，如下：
科类 生物学科选法
选 不选 合计
物理类 180 120 300
历史类 80 120 200
合计 260 240 500
零假设H0：两类学生对生物学科的选法没有差异，
可得，
由于19.231＞10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001可知假设不成立，
故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于0.001；
（2）记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择的地理和化学”为事件C，
则，
故，
由题意可得，则，
故随机变量X的均值E（X）＝16．
2．现有编号为2至5号的黑色、红色卡片各一张．从这8张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于10且颜色均相同，得2分；若抽取的三张卡片的编号和等于10但颜色不全相同，得1分；若抽取的三张卡片的编号和不等于10，得0分．
（1）求随机抽取三张卡片得0分的概率；
（2）现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色3号卡片和红色5号卡片，乙抽到了黑色2号卡片，求两人的得分和X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）三张卡片编号和等于10有3种可能，分别为：2+3+5，3+3+4，2+4+4，
其中，三张卡片编号均不同的情况共有：种，
有两张卡片编号相同的情况共有：N2＝2×2＝4种，
设“随机抽取三张卡片得分为0分”为事件A，
∴，
即随机抽取三张卡片得0分的概率为；
（2）得分和X的可能值为0，1，2，3，4，
①若X＝4，则甲乙各得2分，
即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），有1种情况，
∴，
②若X＝3，则甲得2分乙得1分，
即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+4（红）+4（黑）有1种情况，
∴；
③若X＝2，则甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分，
若甲得2分乙得0分，则甲为2（红）+3（红）+5（红），对应乙有4种情况：2（黑）+3（黑）+4（黑），2（黑）+3（黑）+4（红），2（黑）+4（黑）+5（黑），2（黑）+4（红）+5（黑），
若乙得2分甲得0分，则乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），对应甲有2种情况：3（红）+4（红）+5（红），3（红）+4（黑）+5（红），
∴；
④若X＝1，则乙得1分甲得0分，
即乙为2（黑）+4（红）+4（黑），对应甲有2种情况：3（红）+3（黑）+5（红），3（红）+5（黑）+5（红），
∴；
⑤若X＝0，则甲和乙均得0分，
∴，
∴得分和X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
∴．
3．某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次．为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次．假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若a＝0.2，n＝20，试估算该小区化验的总次数；
（2）若a＝0.9，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费n+9元．求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小．
（注：当p＜0.01时，（1﹣p）n≈1﹣np）
【解答】解：（1）设每位居民需化验的次数为X，
若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，，，
所以2000名居民总化验次数约为2000×0.09＝180次；
（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则Y＝n+9，若混合血样为阳性，则Y＝11n+9，
所以P（Y＝n+9）＝0.991n，P（Y＝11n+9）＝1﹣0.991n，
所以E（Y）＝（n+9）×0.991n+（11n+9）（1﹣0.991n）＝11n﹣10n×0.991n+9，
每位居民的化验费用为：元，
当且仅当，即n＝10时取等号，
故n＝10时，每位居民化验费用的期望最小．
4．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示．
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：．
【解答】解：（1）2×2列联表：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
根据独立性检验公式可知，，
∴有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门，男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，
假设各人射门相互独立，则3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
对应概率为，，，，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
∴．
5．甲、乙两名射手在一次射击中射中的环数为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．
（1）求ξ、η的分布列；
（2）求ξ、η的期望与方差，并比较甲、乙的射击技术．
【解答】解：（1）依题意得0.5+3a+a+0.1＝1，解得a＝0.1，
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
乙射中7环的概率，1﹣（0.3+0.3+0.2）＝0.2，
ξ，η的分布列为：
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）利用期望定义得：Eξ＝10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1＝9.2，
Eη＝10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2＝8.7，
Dξ＝0.5×（10﹣9.2）2+0.3×（9﹣9.2）2+0.1×（8﹣9.2）2+0.1×（7﹣9.2）2＝0.96，
Dη＝0.3×（10﹣8.7）2+0.3×（9﹣8.7）2+0.2×（8﹣8.7）2+0.2×（7﹣8.7）2＝1.21，
利用期望与方差的几何含义可知：甲选手的平均成绩比乙的优秀且成绩相对稳定．
6．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．
（1）现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；
（2）从中抽取3个球进行检测，随机变量X表示取出黑球的个数，求X的分布列及期望．
【解答】解：（1）设Ai表示事件“第i次取出红球”，Bi表示事件“第i次取出黑球”，i＝1，2．
P（B2）＝P（A1B2）+P（B1B2）＝P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）＝×+×＝．
（2）由题意可得X的取值为0，1，2．
∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝．
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴E（X）＝0×+1×+3×＝．
7．某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这50名职工考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数t（精确到0.01）；
（2）若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其中“μ近似为50名职工考核成绩的平均数近似为样本方差s2，经计算得s2＝27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？（结果四舍五入保留整数．）
附参考数据与公式：，X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
【解答】解：（1）依题意，这50名职工考核成绩的平均数为90×0.10+94×0.06+98×0.04＝84.80，
由频率分布直方图得t∈[84，88]，
∴0.01×4+0.03×4+0.07×4+0.09×（t﹣84）＝0.5，
∴中位数t≈84.67（分）；
（2）由题意得X～N（84.80，27.68），，
∴，
∴200×0.1587≈32（名），
∴估计该单位200名职工考核成绩高于90.06（分）的有32名．
8．为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．
男学生 女学生
不低于90分 8 2
低于90分 22 28
（1）判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；
（2）现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
α＝P（χ2≥k） 0.05 0.01 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）根据列联表可得，4.32＞3.841，
∵P（χ2≥3.841）＝0.05，
∴有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关．
（2）根据题意可知，设获得纪念品的女生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，
对应概率为；；．
故X的分布列为
X 0 1 2
P
对应期望为．
9．某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
（2）记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
【解答】解：（1）设事件A为：“至少有一名女生参加活动“，
设事件B为；“恰有一名女生参加活动“，
则P（AB）＝＝，
P（A）＝＝，
∴在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：
P（B|A）＝＝；
（2）∵女生参加活动得分为，
男生参加活动得分为＝25，
设恰有Y名女生参加活动，则有2﹣Y名男生参加活动，
∴P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，
∴E（Y）＝＝，
又X＝15Y+25（2﹣Y）＝50﹣10Y，
∴E（X）＝50﹣10E（Y）＝50﹣10×＝．
∴X的期望为．
10．为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动，活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其它垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称，每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中，按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分，比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子得0分，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照（0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成如下频率分布直方图．
（1）分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和（20，40]内的人数；
（2）从所抽取的20人内，得分落在[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有0.0050×20×20＝2（人），
得分落在组（20，40]的人数有0.0075×20×20＝3（人），
∴所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组（20，40]的人数有3人；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
故．
11．某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．若a，b，c成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（Ⅲ）若用频率估计概率，从该中学学生中抽取5人，成绩在区间[90，100]内的学生人数为X，求X的数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，c＝120÷500÷10＝0.024，
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c且（0.005×2+a+b+c）×10＝1，解得a＝0.036，b＝0.03；
（Ⅱ）设估计中位数为t，
则t∈[70，80），
∴（0.005+0.036）×10+（t﹣70）×0.03＝0.5，解得t＝73，即中位数估计为73，
故估计平均数为：55×0.05+65×0.36+75×0.3+85×0.24+95×0.05＝73.8；
（Ⅲ）成绩在区间[90，100）内的概率为0.005×10＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
X～B（5，），
则E（X）＝．
12．根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整．其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：
性别 接种情况 男 女
未接种 20 10
已接种 230 240
（1）估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？
（3）以（1）中统计比例作为该地区老人接种疫苗的概率，随机调查10名老人，记接种疫苗人数为X，求X的均值．（结果保留到个位）
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
【解答】解：（1）由表格数据可知该地区老人中，已接种疫苗的比例为＝94%；
（2）根据表格将数据代入可得：
K2＝≈3.546＜6.635，
∴没有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关；
（3）由已知得X～B（10，0.94），
∴E（X）＝10×0.94＝9.4≈9．
13．2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．
（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，
最终甲以11：9赢得比赛的概率为：；
（2）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴．
14．根据教育部的相关数据，预计2022年中国大学毕业生将达到1076万人，比2021年增长167万人，规模和数量将创历史新高．国家对毕业生就业出台了许多政策，某公司积极响应国家政策决定招工400名（正式工280名，临时工120名），有2500人参加考试，考试满分为450分，考生成绩符合正态分布．考生甲的成绩为270分，考生丙的成绩为430分，考试后不久甲仅了解到如下情况：此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人．
（1）请用你所学的统计知识估计甲能否被录用，如录用能否被录为正式工？
（2）考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人．”请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6828；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974．
【解答】解：（1）设此次测试的成绩记为X，则X～N（μ，σ2），
由题意知μ＝171，
因为，且，
所以，
因为，且，
所以前400名的成绩的最低分低于μ+σ＝26，
又270＞261，所以甲能被录用，
当X＝270时，，
又0.1586×2500＝396.5≈397，所以甲能被录用为临时工；
（2）假设乙所说的为真，则μ＝201，
因为，且，
所以，则μ+3σ＝201+3×75＝426＜430，
而，
答案示例1：可以认为乙同学信息为假．理由如下：
事件“X≥μ+3σ”为小概率事件，即“丙同学的成绩为43”是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假；
答案示例2：无法辨别乙同学信息真假．理由如下：
事件“X≥μ+3σ”即“丙同学的成绩为43”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假．
15．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：
（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2．（用每组的中点代表该组的均值）
（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N（μ，σ2），用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ估计值．
（ⅰ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件个数，求P（X≥1）及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中xi为各区间的中点，pi为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，，，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得．s2＝（0.8﹣1）2×0.1+（0.9﹣1）2×0.2+（1﹣1）2×0.35+（1.1﹣1）2×0.3+（1.2﹣1）2×0.05＝0.011；
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标1.33＞1.315，故需停止生产并检查设备；
（ii）抽测一个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9973，
所以抽测一个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9973＝0.0027，
故X～B（10，0.0027），所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣0.997310≈1﹣0.9733＝0.0267，
X的数学期望E（X）＝10×0.0027＝0.027．
16．甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得﹣1分；若甲未投中，乙投中，甲得﹣1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）求甲、乙两人最终平局的概率；
（3）记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．
【解答】解：（1）根据题意可得X＝﹣1，0，1，
又P（X＝﹣1）＝（1﹣0.5）×0.6＝0.3，
P（X＝0）＝0.5×0.6+（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.5，
P（X＝1）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2，
∴X的分布列为：
X ﹣1 0 1
P 0.3 0.5 0.2
（2）∵甲、乙两人最终平局，∴甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：
①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为0.54＝0.0625，
②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，
其概率为，
③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，
其概率为4×0.2×0.3×0.2×0.3＝0.0144，
∴甲、乙两人最终平局的概率为0.0625+0.18+0.0144＝0.2569；
（3）∵Y＝2，3，4，
又P（Y＝2）＝0.3×0.3+0.2×0.2＝0.13，
P（Y＝3）＝2×0.3×0.3×0.5+2×0.2×0.2×0.5＝0.13，
P（Y＝4）＝1﹣P（Y＝2）﹣P（Y＝3）＝0.74，
∴Y的分布列为：
Y 2 3 4
P 0.13 0.13 0.74
∴E（Y）＝2×0.13+3×0.13+4×0.74＝3.61．
17．长沙某中学发现越来越多的学生就餐时间不去食堂，而是去面包房或校园商店．考虑到学生的饮食健康及身体营养问题，校领导要求教育处就学生对食堂的菜品及服务质量等问题进行满意程度调查．教育处从三个年级中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：[40，50），[50，60）， ，[90，100]，统计结果如图所示．
（1）由直方图可认为学生满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s＝14.31．若该学校有3000名学生，试估计该校学生中满意度得分位于区间（56.19，99.12]内的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）为吸引学生就餐时间去食堂，教育处协同后勤处举行为期一周的活动，每天每位学生可去食堂，领取一盒早餐奶券（价值2元）或参加抽奖活动（只能二选一），其中抽奖活动规则如下：每人最多有4轮抽奖，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为，每一轮抽奖，若中奖，可获用餐券一张（价值2元，用餐时抵扣）；若未中奖，则抽奖活动结束．李同学参与了此次活动．
①若李同学选择抽奖，求他获得6元用餐券的概率；
②李同学选择哪种活动更合算？请说明理由．
参考数据：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545．
【解答】解：（1）由题意知样本平均数为，
所以（μ﹣σ，μ+2σ]＝（70.5﹣14.31，70.5+2×14.31]＝（56.19，99.12]，
又，
故该校得分位于区间（56.19，99.12]内的人数约为3000×0.8186≈2456；
（2）①由题意可得李同学连续三次都抽中奖，第四次不中奖，李同学会获得6元用餐券，
故他获得6元用餐券的概率为，
②设李同学参加抽奖活动获得用餐券金额为X，X的可能取值为0，2，4，6，8，
则，，，，，
所以X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
所以，
所以李同学选领取早餐奶券更合算．
18．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮．某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动
男性 80 40
女性 60 60
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）现从参与调查且喜爱足球运动的观众中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人进行有奖竞答．
①求男、女性观众各选取多少人？
②若从这7人中随机抽取4人进行本届世界杯赛事集锦分享，求抽到男生人数X的分布列和数学期望E（X）．
附：χ2＝，（n＝a+b+c+d）．
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）由题意可知，χ2＝≈6.875＞6.635，
所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关；
（2）①根据分层抽样的原理，可知男生观众选取人，女生观众选取＝3人，
所以男、女性观众各选取4，3人，
②随机变量X的可能取值为1，2，3，4，
则 P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
所以X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P
所以E（X）＝1×+2×+3×+4×＝．

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