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最小角定理与最大角定理的应用
目录
最小角定理与最大角定理的应用 1
知识梳理 2
例题精选 4
1 三余弦定理 4
2 三正弦定理 9
3 最小角定理 12
4 最大角定理 17
5 两个定理综合应用 23
知识梳理
一、最小角定理
1． 直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫作这条斜线和平面所成的角．
为什么要这样定义 因为线面角的定义是为了反映直线相对于平面的倾斜程度的， 而任何一条直线和 平面内的所有直线所成的角的最大值都是 ， 而最小值可以反映直线的倾斜程度， 由此也可以引出下面的 最小角定理．
2． 最小角定理
线面角是平面的一条斜线与该平面内的直线所成角的最小值．
证明　如图， 是平面 的一条斜线， 点 在平面 内的射影是点 ， 直线 是平面 内除 以 外的的任意一条直线． 作 于点 ， 则
从而 ， 得证； 故三余弦定理可以直接推出最小角定理．
说明　三余弦定理有时也被称作“爪子定理”， 此外三余弦定理也是三面角余弦定理的特例．
二、最大角定理
1． 二面角的大小的定义
先直观的感受一下如下几个二面角的大小关系：
二面角大小的定义: 在二面角 的棱上任取一点 , 分别在半平面 内作 垂直 , 则 叫作 的平面角, 的度数就是二面角的度数.
为什么这样定义二面角的大小
因为 是半平面 内的所有直线与另一个半平面 所成角的最大值. (对于任意给定一个二面 角, 此最小值均为 0 )
先发挥一下空间想象力, 以 为圆心 , 定长 为半径, 在 内作半圆 , 设半圆弧的中点为 , 点 是 半圆上一动点, 它在 内的射影点为 . 则当点 从点 移动到点 的过程中, 点 的高度越来越高; 点 从点 移动到点 的过程中, 点 的高度越来越低. 从而当点 在点 处时, 即 时, 与 成的 角 的正弦值 最大, 从而角 最大.
2. 最大角定理
二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值.
证明　如图, 是二面角 的平面角,且 是 上异于点 的任一点,则 .
(即三正弦定理: 线线角· 面面角 线面角).
从而 , 得证.
例题精选
1 三余弦定理
例 1 从点 出发的 3 条射线 , 每两条射线的夹角是 , 则直线 与平面 所成角 的余弦是
答案 .
解析 如图, 在 上取点 作 平面 , 垂足为 为 的射影, 则 是 与平 面 所成角, 由题意知: 为 的交平分线, 根据三余弦定理得:
即 , 故 .
例2 已知平面 , 直线 与 所成角的正切值为 , 直线 , 直线 , 且 和 所成 的角为 , 那么 与 所成的角为
答案 .
解析 如图, 设 为直线 在平面 上的射影, 则 . 又 , 由三垂线定理知 , 且 . 在平面 内作 , 设 和 所成的角为 , 则 , 由三余弦定理得
解得 , 即 . 所以 与 所成的角为 .
例3 如图,已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点, 则二面角 的余弦值为 ; 若点 为线段 上的动点 (不包括端点), 设异面直线 与 所成的角 为 , 则 的取值范围是
答案 .
解析 如图, 连接 , 设 , 易得 平面 , 所以 是二面角 的 平面角,易得 .
连接 , 则 为异面直线 与 所成的角或其补角, 由三余弦定理得到
即 , 又而 , 故 .
例 为空间单位向量, , 若空间向量 满足 . 且对任意 的最小值为 4 , 则 的最小值为
A. B. C. D.
答案 选 .
解析 设 为空间单位向量, 是棱长为 1 的正四面体.
空间向量 满足 ,
在平面 内的投影 是 的平分线, 且 在 上的投影为 ,
对任意的 的最小值为 点 到平面 的距离为 , 三余弦定理 得 , 故 .
的最小值即为点 到直线 的距离. 以下用两种方法求此距离:
法一 以 为圆心, 直线 为 轴, 在平面 内建立平面直角坐标系, 则点 到直线 : 的距离为 .
法二 利用三角函数角差求出正弦
由题意可得 , 所以 , 则 .
例5 (2018 全囯 I 卷理) 如图, 四边形 为正方形, 点 分别为 的中点, 以 为折痕 把 折起, 使点 到达点 的位置, 且 .
(1) 证明: 平面 平面 ;
(2) 求 与平面 所成角的正弦值.
答案 (1) 略; (2) .
解析 (2) 作 , 垂足为 , 由 (1) 知: 平面 . 不妨设 , 则 1 , 从而 , 又 , 故 . 于是 , 故斜线角 , 射影角 , 且 .
设 与平面 所成角为 , 则由三余弦定理知: , 从而 , 即 .
(1) 求证: ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
答案 (1) 见以下证明过程; (2) .
解析 (1) 证明:因为平面 平面 , 所以由三余弦定理得:
设 , 则 . 在 中, 由余弦定理得：
所以 , 从而
由勾股定理的逆定理可知 , 又因为三棱台中 , 所以 .
(2) 略.
注 这里三余弦定理起了关锂作用,由三余弦定理得到得 的余弦值,进而通过计算证得 , 两道小题都是通过转化的思想, 将直线进行平移后进行处理. 第 (1) 小题是把直线 平移到 , 第 (2) 小题是把直线 平移到 .
2 三正弦定理
例1如图, 在正三棱柱 中, 已知 在棱 上, 且 , 若 与平面 所成的角为 , 则
A. B. C. D.
答案 选 D.
解析 由题意可知, 二面角 的大小为 , 线线角 , 由三正弦定理 得: , 从而 .
例 2 如图, 在坡面 与水平面 所成二面角为 的山坡上, 有段直线型道路 与坡脚成 的角, 这段路直通山顶 . 已知此山高 米. 若小李从 点沿者这条路上山, 并且行进速度为每分钟 30 米, 那么小李到达山顶 需要的时间是 分钟.
答案 .
解析 作 平面 于点 , 作 于点 . 由题意可知 , 由三正弦定理得 ,
在 中, 由 , 所以小李到达山顶 需要的时间 是 分钟.
例3 已知棱长为 1 的正四面体 的中点为 , 动点 在线段 上, 则直线 与平面 所成角的正切值的取值范围是
答案
解析 设二面角 的平面角为 , 易得 .
设直线 与平面 所成的角为 , 由三正弦定理得
又 ,所以 ,进而可得 .
例4 (2018 年全囯 II 卷理) 如图, 在三棱锥 中, 为 的中点.
(1) 证明: 平面 ;
(2) 若点 在棱 上, 且二面角 为 , 求 与平面 所成角的正弦值.
答案 (1) 略; (2) .
解析 (1) 证明: 由题意知, 为 中点,所以 , 且 .
又由 知 , 所以 平面 .
(2) 由题意知, 线线角 , 二面角 大小等于 , 所以, 由三正弦定理得 .
3 最小角定理
例1 已知在平行四边形 中, 分别为 上异于点 的两点, 把 沿 翻折, 记翻折后的 为 , 直线 与平面 所成的角为 , 与直线 所成的角为 , 则
A. B. C. D. 不确定
答案 选 .
解析 与平面 所成的角 , 就是 与它在平面 内的射影所成的角.
由最小角定理可知, 小于 与平面 内作射影之外的其他任何直线所成的角, 所以 , 故选 C.
注 点评: 本题主要考查空间线面位置关系及空间角的相关知识, 考查考生的空间想象能力及逻斩推 理能力, 常规解法是作出 在平面 内的射影, 进而分别作出 , 利用三角形相关知识来比较角的 大小. 侗若借助最小角定理,则可以很快找到答安.
例 2 已知二面角 是直二面角, , 设直线 与 所成的角分别为 , 则
A. B. C. D.
答案 选 .
解析 如图, 过点 分别作 的垂线, 分别交于点 , 则 , 由最小角定理知: , 又 , 所以 .
例3 如图, 在侧棱垂直于底面的三棱柱 中, 是棱 上的动点. 记直线 与平面 所成的角为 , 与直线 所成的角为 , 则 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定
答案 选 C.
解析 由题意可知 是线面角, 是线线角, 由最小角定理知: , 又 不是 在底 面的射影,故 .
注 这道题如果按照线面角、线线角的定义进行计算,再比较大小,需要构造三角形,解三角形, 利用三 角函数的定义、单调性求解,计算复杂,耗时较长,但如果用最小角定理则可秒杀.
例 4 已知三棱锥 的所有棱长为 是底面 内部一个动点 (包括边界), 且 到三个 侧面 的距离 成单调递增的等差数列. 记 与 所成的角分别为 , 则下列正确的是
A. B. C. D.
答案 选 D.
解析 设此正四面体各个面的面积为 , 则
即 , 设过 的重心 且平行于 的直线分别交 于点 , 则点 在 线段 上,
设线段 的中点分别为 在 内 (不含 边), 在 内 (不含 边),
所以点 在 内 (不含 边, 边), 故点 的轨迹是线段 (不含点 ).
注意到 也是 与底面所成的角, 由最小角定理可知 ；
又 与 的夹角都是 , 根据三余弦定理:
所以 , 即 .
例 5 在三棱维 中, , 点 在平面 内, 且 , 设异面直线 与 所成角为 , 则 的最小值为
A. B. C. D.
答案 选 A.
解析 取 中点 , 连结 , 因为 , 所以 , 进而知 为等边三角形, 也知 为二面角 的平面角, 取 的中点 , 连接 , 则 , 且 平面 ,
易得 , 所以点 的轨迹是以 为圆心 , 半径为 的圆.
由最小角定理可知: 异面直线 与 所成角的最小值即为直线 与平面 所成的角, 即
例6 如图, 在棱长为 3 的正方体 中, 点 是平面 内一动点, 且满足 , 则直线 和直线 所成角的余弦值的取值范围为
A. B. C. D.
答案 选 .
解析 设 面 , 则 , (利用等积法或截面平几法 皆可轻松证明)
因为 , 所以点 在以 为焦点的椭球面上, 此椭球的焦距为 , 长 轴为 ;
又点 是平面 内一动点, 易知平面 截粗球的图形为圆面, 故点 的轨迹是以 为圆心的 圆, 即 为定值, 易求得 .
所以直线 和直线 所成角即为 和直线 所成角, 由最小角定理可知, 和底面 所成的线面角 即为 和直线 所成角的最小值，
易知 , 且 和直线 所成角的最大值为 , 故直线 和直线 所成角的余弦值的取值 范围为 .
4 最大角定理
例1 如图, 已知三棱锥 , 记二面角 的平面角是 , 直线 与平面 所成的 角是 , 直线 与 所成的角是 , 则
A. B. C. D.
答案 选 A.
解析 由最大角定理知: , 故选 .
下面来个画蛇添足吧: 由最小角定理得 与 的大小关系不确定, 可以考虑极端情况:
当二面角 趋向于 0 时, ; 当二面角 趋向于 时, .
例 2 如图, 已知三棱锥 的所有棱长均相等, 点 满足 , 点 在棱 上运动, 设 与平面 所成角为 , 则 的最大值为
答案 .
解析 因为 是平面 内的一条动直线, 所以 与平面 所成角 的最大值即为二面角 的大小. 问题转化为求二面角 的正弦值.
设 为正四面体 的底面 的中心, 设 的中点为 , 连接 , 如下图, 易知 为二 面角 的平面角.
设正四面体的棱长为 6 , 则 , 所以 的最大值为
注 本题跟例 1 几乎一模一样,都是把线面角的最大值转化为二面角.
例3如图, 某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练. 易 知点 到墙面的距离为 , 某目标点 沿墙面上的射线 移动, 此人为了准确瞄准目标点 , 需计算由 点 观察点 的仰角 的大小. 若 , 则 的最大值是
(仰角 为直线 与平面 所成角).
答案 .
解析 法一 常规方法
. 设 点到地面垂足为 , 则
, 则
, 即 的最大值 为 .
法二 最大角定理
如下图, 不妨取 平面 , 再过 作 于点 , 连 , 可得 , 故 为 二面角 的平面角.
由最大角定理可知: 与平面 所成角的最大值即为二面角 的大小.
因为 , 且 垂直墙面, 所以由勾股定理得 , 易得 .
所以 ,
, 即 的最大值为 .
注 的最大仰角, 即为 与平面 所成角的最大值. 因为点 在射线 上移动, 则 是 平面 内的一条动直线, 由最大角定理, 与平面 所成角的最大值, 即为二面解 的 大小,问题转化为求二面角 的正忉值.
例 4 如图, 在长方体 中, , 点 是 的中点, 点 为的 棱 上的动点, 则平面 与平面 所成的锐二面角正切的最小值是
答案 .
解析 法一 几何法,利用垂线法作出二面角的平面角
延长 交 于 , 连接 , 过 作 于 , 连接 , 由 平面 , 得 , 所以 平面 , 则 , 故 就是所求锐二面角的平面角, 所以
当点 在棱 上运动时, 动直线 过定点 , 两个临界位置是 , 所以点 到直线 的距 离 的最大值为 (当 时), 所以 .
二面角的一个面固定, 即半平面 固定, 另一个半平面在变动, 注意到这个不停变化的半平面经过 定直线 , 所以由最大角定理可知, 二面角的最小值就是 与另一个半平面 所成的线面角.
法二 建系法
以 为坐标原点, 分别以直线 为 轴、 轴 轴建立空间直角坐标系.
设平面 与平面 所成的锐二面角为 , 点 的坐标为 , 平面 的一 个法向量为 , 那么
取 得, , 又因为平面 的一个法向量为 , 所以
又 , 当 时, 取得最小值
法二 投影面积法
在平面 上的投影为 , 记平面 与平面 所成二面角的平面角为 , 则 . , 所以只需求 的面积最小值即可.
以 为坐标原点, 分别以直线 为 轴、 轴 轴建立空间直角坐标系.
.
, 故 , 从而 .
例5如图, 已知 中, 是 的中点, 沼直线 将 翻折成 , 所成二面角 的平面角为 , 则A. B. C. D.
答案 选 B.
解析 法一 考虑极端情况
当二面角 趋向于 0 时, ; 当二面角 趋向于 时, . 故选 项 和选项 都不对.
当二面角 趋向于 0 时, ; 当二面角 趋向于 时, 趋向于 . 故选 B.
法二 (1) 当 时, ;
(2) 当 时, 如图, 点 投影在 上. , 连结 .
因为等腰 和等腰 有公共底边, 且 , 所以 , (其实就是最大角 定理) , 即 . 故选 B.
5 两个定理综合应用
例1 已知三棱锥 , 平面 平面 ,记二面角 的平面角 与底面 所成的角为 与平面 所成的角为 , 则
A. B. C. D.
答案 选 A.
解析 由最大角定理可知 . 因为 可看作 与 成的角 (线线角), 是 与平面 所 成的角 (线面角), 所以由最小角定理得 , 故选 .
注 线面角可以找到对应的线线角,这个线线角必小于等于其他的线面角
例2已知四棱锥 的底面是正方形, 侧棱长均相等, 是线段 上的点 (不含端点), 设 与 所成的角为 与平面 所成的角为 , 二面角 的平面角为 , 则A. B. C. D.
答案 选 D.
解析 由题可知, 四棱锥 是正四棱锥, 如图, 设底面正方形的中心为 的中点为 . 则 , 由最大角定理可知: .
又 与 所成的角为 , 所以 也是 与 所成的角,
又 可看作 与平面 所成的角,故由最小角定理可知: .
综上可知: , 选 .
注 题目以正四棱锥为背京, 同时考查了空问中的三种角:线线角、线面角、二面角之问的关系.
如果用常规思路, 通过解三角形来处理, 计算难度较大, 但如果回到问题的本质, 回到线面角, 二面角的 定义,反而更容易处理,可以遲免作过多的辅助线和繁杂的计算.
例3 如图, 已知 是正三棱柱, 是 的中点.
(1) 证明: 平面 ;
(2) (理) 假设 , 求以 为棱, 与 为面的二面角的度数;
(2) (文) 假设 , 求线段 在侧面 上的射影长.
答案 (1) 略; (2) (理) 文) .
解析 (2) (理) 取 的中点 , 则 是 在平面 上的射影, 由三射线定理得 , 设垂足为点 .
设 ,则由平面几何中直角三角形射影定理得:
所以 . 所以 . 又因为 , 所以由三余弦定理知
故 . 设所求二面角为 , 再由三正弦定理得:
例4 (2017全国卷 理) 如图, 在四棱锥 中, 侧面 为等边三角形, 且垂直于底面 是 的中点.
(1) 证明: 直线 平面 ;
(2) 点 在棱 上, 直线 与底面 所成锐角为 , 求二面角 的余弦值.
答案 (1) 略; (2) .
解析 (2) 如图, 作 于点 , 则 平面 , 即 是 在平面 内的射影.
记点 在平面 内的射影为 , 二面角 的大小为 , 设 , 因为直线 与底面 所成锐角为 , 所以 , 从而 , 即 , 解得 , 故 .
由三余弦定理知 , 所以 .
再由三正弦定理得 , 解得 , 所以 .

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