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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第6讲 平面向量
平面向量的线性运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题．
平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现.
平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
1．（2022 乙卷）已知向量（2，1），（﹣2，4），则||＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021 甲卷）已知向量（3，1），（1，0），k．若⊥，则k＝　 　．
3．（2021 甲卷）若向量，满足||＝3，||＝5， 1，则||＝　 　．
4．（2022 甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2） 　 　．
5．（2022 乙卷）已知向量，满足||＝1，||，|2|＝3，则 （　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（2022 新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）
A．32 B．﹣23 C．32 D．23
7．（2022 新高考Ⅱ）已知向量（3，4），（1，0），t，若，，，则t＝（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
8．（2021 新高考Ⅱ）已知向量，||＝1，||＝||＝2，则 　 　．
9．（2022 北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是（　　）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
10．（2022 甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝　 　．
11．（2021 天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2|的值为 　 　；（） 的最小值为 　 　．
（多选）12．（2021 新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（　　）
A．||＝|| B．||＝||
C． D．
13．（2023 江西模拟）已知向量，，，则向量在上的投影等于（　　）
A．﹣8 B．﹣7 C．6 D．7
14．（2023 广州二模）已知非零向量（x1，y1），（x2，y2），则“”是“∥”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2023 江西模拟）如图，平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P若xy，则x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
16．（2023 漳州模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
17．（2023 湖南模拟）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
18．（2022秋 齐齐哈尔期末）在△ABC中，，则（　　）
A． B． C． D．6
19．（2023 涪城区校级模拟）已知平面向量，，，若||＝||＝1，，|2|＝||，则|λ|（λ∈R）的最小值是（　　）
A．1 B．1 C． D．1
20．（2023 沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，CA⊥CB，且CA＝CB＝4，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣3
21．（2023 山东模拟）已知等边三角形ABC的边长为1，动点P满足．若，则λ+μ的最小值为（　　）
A． B． C．0 D．3
22．（2022秋 锦州期末）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，则△ABP面积的最大值是 　 　，的取值范围是 　 　．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第6讲 平面向量
平面向量的线性运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题．
平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现.
平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
1．（2022 乙卷）已知向量（2，1），（﹣2，4），则||＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：，
故，
故选：D．
2．（2021 甲卷）已知向量（3，1），（1，0），k．若⊥，则k＝　　．
【解答】解：因为向量（3，1），（1，0），k，
由⊥，则32+12+k （3×1+1×0）＝10+3k＝0，
解得k．
故答案为：．
3．（2021 甲卷）若向量，满足||＝3，||＝5， 1，则||＝　　．
【解答】解：由题意，可得，
因为||＝3， 1，所以，
所以．
故答案为：．
4．（2022 甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2） 　11　．
【解答】解：由题意可得，
则．
故答案为：11．
5．（2022 乙卷）已知向量，满足||＝1，||，|2|＝3，则 （　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：因为向量，满足||＝1，||，|2|＝3，
所以|2|3，
两边平方得，13﹣49，
解得1，
故选：C．
6．（2022 新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）
A．32 B．﹣23 C．32 D．23
【解答】解：如图，
，
∴，即．
故选：B．
7．（2022 新高考Ⅱ）已知向量（3，4），（1，0），t，若，，，则t＝（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【解答】解：∵向量（3，4），（1，0），t，
∴（3+t，4），
∵，，，
∴，∴，
解得实数t＝5．
故选：C．
8．（2021 新高考Ⅱ）已知向量，||＝1，||＝||＝2，则 　　．
【解答】解：方法1：由得或或，
∴（）2＝（）2或（）2＝（）2或（）2＝（）2，
又∵||＝1，||＝||＝2，∴5+2 4，5+24，8+21，
∴ ， ， ，∴ ．
故答案为：．
方法2： ．
故答案为：．
9．（2022 北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是（　　）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
【解答】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（3，0），B（0，4），C（0，0），
设P（x，y），
因为PC＝1，
所以x2+y2＝1，
又（3﹣x，﹣y），（﹣x，4﹣y），
所以x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，
设x＝cosθ，y＝sinθ，
所以（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ，
当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，
当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，
所以∈[﹣4，6]，
故选：D．
10．（2022 甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝　　．
【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，
在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2 2x 2 cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，
在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2 x 2 cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，
要使得最小，即最小，
，
其中，此时，
当且仅当（x+1）2＝3时，即或（舍去），即时取等号，
故答案为：．
11．（2021 天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2|的值为 　1　；（） 的最小值为 　　．
【解答】解：如图，设BE＝x，
∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DEx，DC＝1﹣2x，
∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，
∴（2）2＝44 4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，
则|2|＝1，
∵（） （） （）
（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5，x∈（0，），
∴（） 的最小值为．
故答案为：1，．
（多选）12．（2021 新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（　　）
A．||＝|| B．||＝||
C． D．
【解答】解：法一、∵P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），
∴（cosα，sinα），（cosβ，﹣sinβ），
（cos（α+β），sin（α+β）），（1，0），
，，
则，，则||＝||，故A正确；
，
，
||≠||，故B错误；
1×cos（α+β）+0×sin（α+β）＝cos（α+β），
cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β），
∴ ，故C正确；
1×cosα+0×sinα＝cosα，
cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β+（α+β）]＝cos（α+2β），
∴ ，故D错误．
故选：AC．
法二、如图建立平面直角坐标系，
A（1，0），作出单位圆O，并作出角α，β，﹣β，
使角α的始边与OA重合，终边交圆O于点P1，角β的始边为OP1，终边交圆O于P3，
角﹣β的始边为OA，交圆O于P2，
于是P1（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P2（cosβ，﹣sinβ），
由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．
故选：AC．
13．（2023 江西模拟）已知向量，，，则向量在上的投影等于（　　）
A．﹣8 B．﹣7 C．6 D．7
【解答】解：已知向量，，，
则，12﹣4＝﹣16，
则向量在上的投影为，
故选：A．
14．（2023 广州二模）已知非零向量（x1，y1），（x2，y2），则“”是“∥”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：非零向量（x1，y1），（x2，y2），
则“” “”，
“” “”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
15．（2023 江西模拟）如图，平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P若xy，则x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由于ABCD是平行四边形，则，
则（），与已知比较可得：
x，y，则x+y．
故选：B．
16．（2023 漳州模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，，
故．
故选：C．
17．（2023 湖南模拟）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知，
∵点F在BE上，
∴（1﹣λ），
∴（）（），
∴，λ，
∴x．
故选：C．
18．（2022秋 齐齐哈尔期末）在△ABC中，，则（　　）
A． B． C． D．6
【解答】解：如图所示，因为3，所以，
又因为，所以（），
所以 （） （）2 94×316，
故选：B．
19．（2023 涪城区校级模拟）已知平面向量，，，若||＝||＝1，，|2|＝||，则|λ|（λ∈R）的最小值是（　　）
A．1 B．1 C． D．1
【解答】解：由||＝||＝1，，得，
，即，则|2|＝||＝1，
建立平面直角坐标系，
设，，则，
由|2|＝1，可得对应的点D的轨迹为以F为圆心，1为半径的圆，
又对应的点E的轨迹为x轴，
过圆心F作x轴的垂线，则垂线段长FH为，
则|λ|（λ∈R）的最小值是，
故选：B．
20．（2023 沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，CA⊥CB，且CA＝CB＝4，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则C（0，0），A（4，0），B（0，4），
又，
则N（2，0），
已知动点M在线段AB上移动，
设，0≤λ≤1，
则（4﹣4λ，4λ），
则M（4﹣4λ，4λ），
则（2﹣4λ，4λ） （4﹣4λ，4λ﹣4）＝32λ2﹣40λ+8，
又0≤λ≤1，
则当时，取最小值，
故选：B．
21．（2023 山东模拟）已知等边三角形ABC的边长为1，动点P满足．若，则λ+μ的最小值为（　　）
A． B． C．0 D．3
【解答】解：，
，两边同时平方可得，，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以λ+μ的最小值为．
故选：B．
22．（2022秋 锦州期末）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，则△ABP面积的最大值是 　34　，的取值范围是 　[﹣16，24]　．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，
则A（6，0），B（0，8），P（2cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π]，
则AB＝10，
设点O到直线AB的距离为d，
则，
即，
则点P到直线AB的距离的最大值为，
则△ABP面积的最大值是；
又 （2cosθ，2sinθ﹣8）＝4﹣12cosθ﹣16sinθ＝4﹣20sin（θ+φ），其中，
又sin（θ+φ）∈[﹣1，1]，
则，
即的取值范围是[﹣16，24]，
故答案为：34；[﹣16，24]．

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