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2022-2023学年山西省名校高二（下）联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共16小题，共80.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，为的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3. 设，那么( )
A. B. C. D.
4. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 某大学共有本科生人，其中一、二、三、四年级的人数比为：：：，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )
A. B. C. D.
7. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点如图已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交与点，，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则( )
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，，若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上有且仅有个极值点
C. 在区间上有且仅有个零点
D. 在区间上存在极大值点
11. 已知椭圆：的离心率为，则的长轴长为( )
A. B. C. D.
12. 设等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
13. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
14. 若过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个交点，则实数的值不可能是( )
A. B. C. D.
15. 已知数列，，，若数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
16. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题有多项符合题目要求）
17. 设是数列的前项和，且，，则( )
A. B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和最大 D.
18. 已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在上有极大值 D. 在上有极小值
19. 下列说法正确的是( )
A. 两个相交平面组成的图形称为二面角
B. 异面直线，分别和一个二面角的两个面垂直，则，所成的角与这个二面角相等或互补
C. 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角
D. 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
20. 已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 存在，使得
B. 当时，与垂直
C. 对任意，都有
D. 当时，在方向上的投影为
21. 已知为等差数列，，，则( )
A. 的公差为 B. 的公差为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 二面角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
23. 已知函数，，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
24. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，，，该数列的特点如下：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
25. 已知是定义域为的奇函数，且当时，则 ．
26. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，则的最小值为 ．
27. 在直角梯形中，，，，为的中点将和分别沿，折起，使得点，重合于点，构成四面体若四面体的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为______ ．
28. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
29. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
30. 古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论设，这个人走的第段距离为，则满足这个人走的前段距离的总和的的一个值可以为 ．
31. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率若曲线和在处的曲率分别为，，则 ．
32. 已知抛物线：的焦点为，为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 ，该抛物线上一点非顶点处的切线与圆：相切，则 ．
四、解答题（本大题共12小题，共142.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
33. 本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______．
求；
若的面积为，为的中点，求的最小值．
34. 本小题分
设数列的前项的和为，且，数列满足，且对任意正整数都有，，成等比数列．
求数列的通项公式；
证明数列为等差数列；
令，问是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由．
35. 本小题分
如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为等边三角形，，点为的中点，点为上一点与点，不重合．
证明：；
当为何值时，直线与平面所成的角最大？
36. 本小题分
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上当时，．
求双曲线的方程．
设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．
37. 本小题分
为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为画分数的频率分布直方图设“”时，发现满足，，．
试确定的所有取值，并求；
组委会确定：在第一阶段比赛中低于分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖．
求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
已知学生和都获奖，记，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
38. 本小题分
已知函数，，为的导函数．
讨论的极值；
若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
39. 本小题分
在数列中，，．
求；
设，求数列的前项和．
40. 本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求实数的取值范围；
若，试问过点向曲线可作几条切线？
41. 本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点．
证明：E.
设，若到平面的距离为，求．
42. 本小题分
已知等比数列满足，是，的等差中项，数列的前项和为．
求的通项公式；
求数列的前项和．
43. 本小题分
法国数学家加斯帕尔蒙日创立的画法几何学对世界各国科学技术的发展影响深远在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆已知双曲线：的实轴长为，其蒙日圆方程为．
求双曲线的标准方程；
设为双曲线的左顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值．
44. 本小题分
已知函数．
求在上的极值；
若，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知，，
由，解得或，
所以或，
则．
故选：．
首先求解集合，再求．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：复数满足，
，
，
故选：．
先求出的值，再求出其共轭复数即可求解结论．
本题考查求复数的共轭复数，注意解题方法的积累，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
先由条件结合指数函数的单调性，得到，再由指数函数和幂函数的单调性求解．
本题主要考查指数函数、幂函数的单调性．
【解答】
解：且在上是减函数．
指数函数在上是减函数
幂函数在上是增函数
故选：．

4.【答案】
【解析】解：，不等式恒成立，
当且仅当时取等号，
当时，，
，
故选：．
当时，不等式恒成立，，利用基本不等式可求得，从而可得答案．
本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：在中，
令可得；再令可得得，
两式相乘可得，
故选：．
在所给的等式中，分别、令可得两个等式，再把这两个等式相乘，即可得到要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为的样本，
一、二、三、四年级的学生比为：：：，
三年级要抽取的学生是，
故选：．
要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为：：：，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．
本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
7.【答案】
【解析】解：如图，
由椭圆的光学性质可得，，三点共线．
设，则，．
故，解得又，所以，．
所以．
故选：．
结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，最后由可得答案．
本题考查椭圆的定义及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又，若是棱的中点，
则，，，，
则，，
则，，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：．
取的中点，的中点，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合求解即可．
本题考查了异面直线所成的角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：在数列中，，，
则，
又，
即，
则，
故选：．
由已知可得，又，然后求解即可．
本题考查了数列的递推式，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：由导函数的图象可知，
当时，，
当时，，
在，上单调递减，在，上单调递增．
则在区间上不单调，故A错误；
在区间上有且仅有个极值点，故B错误；
在区间上零点个数不确定，故C错误；
在区间上存在极大值点，故D正确．
故选：．
由导函数的图象可得原函数的单调区间，结合选项得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：椭圆的离心率为，
，解得，
故椭圆：的长轴长为，
故选：．
根据椭圆的方程，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，考查对应思想，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据条件：．
故选：．
根据等差数列的通项公式和前项和公式可得出，然后即可得出答案．
本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
令，则，在同一坐标系内分别画出函数和的图象如下图所示：
方程只有一个解，
只有一个解，
函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为．
故选：．
根据条件可得出，，根据图象可判断方程的解的个数，从而可得出函数在上的“拉格朗日中值点”的个数．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据图象判断方程解的个数的方法，理解拉格朗日中值点的定义，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图，
曲线即表示以为圆心，为半径的上半圆，
因为直线：即与半圆相切，所以，解得，
因为，，所以，
又直线与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，可得，
两边取倒数，可得，
即有，
则，
即有，
，
所以．
故选：．
由原数列的递推式可得，两边取倒数，再两边同时减去，结合等比数列的定义和通项公式，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数且，
因为，，令，则有，
解得，
因为，
所以，又，
所以，
由，得，所以是以为周期的周期函数，
所以，
由，得，
又，所以，
所以，
所以是以为周期的周期函数，所以，
所以．
故选：．
根据为偶函数，得出为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出，的周期即可求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数的奇偶性与周期性，导数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】
【解析】解：，，
或舍，故选项A正确；
又，，
，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，
，
数列的前项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，
故选项D错误．
故选：．
令可得即可求判断，利用，的关系可得即可判断，，取求得即可判断．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性质，属于中档题．
18.【答案】
【解析】解：由，可得，
设函数，其导数，
则，
由，得，
则，
所以，，
所以在上单调递减，故A错误；
又，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故B、C错误，D正确，
故选：．
依题意，可求得，求得的解析式后，求导分析其单调性可判断；对求导分析其单调性与极值，可判断、、，从而可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】
【解析】解：对于，根据二面角的定义知，错；
对于，因为异面直线，分别和一个二面角的两个面垂直，所以异面直线，的方向向量分别是二面角的两个面的法向量，所以，所成的角与这个二面角相等或互补，所以对；
对于，二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角，没有点最小值，所以错；
对于，根据二面角的定义知，对．
故选：．
根据二面角定义判断；根据二面角的平面角与二面角半平面所在平面的法向量成角关系判断；用极限思想求解；根据二面角定义判断．
本题考查了二面角的基本概念，属于中档题．
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用向量平行的关系验证可判断；利用同角三角函数求出与的关系，结合向量垂直性质即可判断；通过向量的模的求法求解判断；利用向量的数量积结合同角三角函数的关系可求得，进而利用投影向量的定义即可判断．
【解答】
解：对：若，则，即，
故不存在这样的使得，故A错误；
对：当时，则，
则
，则与垂直成立，故B正确，
对：若，则，
得，即，此时存在，故C错误；
对：因为，即，
结合，解得，，
所以
在方向上的投影为，故D正确．
故选BD．

21.【答案】
【解析】解：为等差数列，，，
，解得，，故A正确，B错误；
，
由，得，
的前项和为：
，故C错误，D正确．
故选：．
利用等差数列的前项和公式、通项公式能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】
【解析】解：以为原点，中点和的连线、所在直线，所在直线，分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，
于是，，设，所成的角为，则，故A错误；
，，，设平面的法向量，可得，
令，则，故直线与平面所成角的正弦值为：，故B正确；
设平面的法向量为：，，，则，
令，则，设二面角的平面角为，由题可知为锐角，则，故C正确；
设点到直线的距离为，，
则，故D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，写出对应直线的方向向量、平面的法向量，根据公式计算即可．
本题考查空间向量在立体几何问题中的应用，属于中档题．
23.【答案】
【解析】解：因为若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，
所以与在上有两个交点，即有两个零点，整理得，
只需满足与有两个交点即可，
令，则有，
所以，，单调递减；时，，单调递增，
在处取得最小值，
所以只需即可．
故选：．
将问题转化为与在上有两个交点，可构造函数研究．
本题考查导数的应用，
24.【答案】
【解析】解：由题意可得数列满足，
将中的各项除以所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，
则，，，
依次类推：，，，，
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，，即选项B正确；
对于选项C，，，，，上式累加可得，即选项C正确；
对于选项D，，即选项D错误，
故选：．
先阅读题意，可得数列满足，则，，，，然后结合累加法逐一判断即可得解．
本题考查了数列的递推式，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
25.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，
而，则，所以，
由是奇函数，则；
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
26.【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
即，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：．
先由正弦定理，结合，得到，再结合“”的代换，利用基本不等式求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了正弦定理的应用，属于中档题．
27.【答案】
【解析】解：如图．由题意可知，折叠后所构成的四面体中，，，不可能为直角．
在中，由可知，为直角，即．
因为，，，，平面，所以平面，则有．
又因为，所以平面，则有．
所以四面体外接球的球心为的中点，半径为在直角梯形中，
设，则有，，由，解得负值已舍去，
则因此，四面体外接球的半径为．
故答案为：．
画出折叠前后，折叠后所构成的四面体说明为直角，即证明平面，推出转化求解外接球的半径即可．
本题考查空间几何体的特征，外接球的半径的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
28.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得．
【解答】
解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得，
解得
故答案为：．

29.【答案】
【解析】解：，则，
又，
则所求切线方程为．
故答案为：．
对函数求导，利用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式得解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
30.【答案】、、，只需写出一个答案即可
【解析】解：由题意得且，
当时，，
所以，
化简得，
所以数列是公比为，首项为的等比数列，
所以，
因为，所以，
即，所以，又，
所以的取值可以为、、．
故答案：、、，只需写出一个答案即可．
根据题意知数列是公比为，首项为的等比数列，求出前项和，列出不等式即可求正整数的取值．
本题考查根据数列的前项和作差求通项公式，等比数列的定义与求和公式的应用，属中档题．
31.【答案】
【解析】解：，则，，
，，，
，则，，
，，，
则．
故答案为：．
由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可．
本题以新定义为载体，主要考查了导数的求解，属于中档题．
32.【答案】
【解析】解：由题意，抛物线：的准线方程为，
设点在准线上的投影为，
根据抛物线的定义可知，
则，当，，三点共线时有最小值，
结合图像可知的最小值即为点到准线的距离；
可得抛物线：，焦点，
在抛物线上取一点，设抛物线在点的切线的方程为，
联立抛物线方程，，
所以切线的方程为，
整理得，
又因为切线与与圆：相切，设切点为，
由圆的方程可知圆心，，
则，解得舍去或，所以，
同理，点关于轴的对称点也符合题意，
则，
故答案为：．
设点在准线上的投影为，根据抛物线的定义可知，当，，三点共线时有最小值，结合图像列出方程即可求出的值；进而可得抛物线方程和焦点坐标，在抛物线上取一点，设抛物线在点的切线的方程为，联立抛物线方程，利用求出斜率，得到切线方程，再根据圆心到切线方程的距离等于半径，列出等式求得的值，得到点坐标，同理，点关于轴的对称点也符合题意，利用两点间距离公式即可求解．
本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
33.【答案】解：选时，，利用正弦定理：
，
由于，
所以，
故，
又，整理得，
因为，故C．
选时，，
结合正弦定理，整理得，
由于，
所以，
又，，故，
因为，故C．
选时，，
由正弦定理得，
又，整理得，
所以，
整理得，
因为，故C．
由于的面积为，
所以，解得．
由余弦定理得，
故BD，
当且仅当，即，时，，
所以的最小值为．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考查三角恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
选时，由正弦定理得，再由即可求解；
选时，利用以及化简可得，即可求解；
选时，利用正弦定理及两角差的余弦公式化简可得即可求解．
，再由余弦定理得，利用基本不等式可得的最小值．
34.【答案】解：，可得，
时，，
满足的首项，可得；
证明：数列满足且对任意正整数都有，，成等比数列．
可得，即有，
即有，即有，
当为奇数时，，可得；
当为偶数时，，而，可得，
可得；，
则数列为等差数列；
，
假设存在正整数，，使得，，成等比数列，
可得，即，
即，即，
可得，，，可得，，或，，或，．
则存在或，或，使得，，成等比数列．
【解析】运用数列的递推式可得所求通项公式；
由等比数列中项性质和等差数列的定义，即可得证；
求得，假设存在正整数，，使得，，成等比数列，运用等比数列的中项性质和整除的概念，可得所求值．
本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力，属于中档题．
35.【答案】证明：因为三角形是等边三角形，且是中点，所以，
又因为面，面面，面面，
所以面，
又因为面，所以，
因为是矩形，所以，
设，所以，即，所以，
因为，，，面，面，
所以面，
又因为面，
所以．
解：设是中点，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由已知得，
设，则，
设面的法向量为，则，
令，有，
所以，
当且仅当时取等号，
即当时，直线与面所成角最大．
【解析】由题意可得面，则，由空间几何关系可证得，从而面，结合面面垂直的定义可得．
建立空间直角坐标系，由题意求得直线与平面所成的角的函数表达式，然后结合基本不等式求解其最值即可确定的长度．
本题主要考查线面垂直的判定与应用，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
36.【答案】解：双曲线，则，
，
，
，即．
又，
，，
，
双曲线的方程为；
的面积为定值，
由得双曲线的渐近线方程为，
设，，其中，，
为线段的中点，，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
设，则，
又，，，
，，
，
又，
，
的面积为定值．
【解析】由题意得，结合题意可得，整理得，求解即可得出答案；
由得双曲线的渐近线方程为，设，，其中，，可得，将代入双曲线方程得，设，则，
可得，表示出的面积，求解即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
37.【答案】解：根据题意，在内，按组距为可分成个小区间，
分别是，，，，，，
，由，，
，，，，，，
每个小区间对应的频率值分别是
．
，解得，
的对值是，，，，，，．
由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，
由知，学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是：
，
我们用符号或表示学生或在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，
其中，
记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，
则
．
学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是
，
，
，
，
的分布列为：
．
【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．
在内，按组距为可分成个小区间，分别是，，，，，，由，由，，能求出的对值和．
由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是，用符号或表示学生或在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，由此能求出学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率．
学生最终获得一等奖的概率是，学生最终获得一等奖的概率是，的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
38.【答案】解：由题意，函数，，
可得函数的定义域为，且，
设，，则，
当时，可得，所以在上单调递增，所以没有极值；
当时，若，则，在上单调递减，
若，则，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，在上没有极大值，
综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值．
由题意知，存在，使得，
即存在，使得，
构造函数，则，
当，即时，在上恒成立，单调递增，
所以，可得，与矛盾，不满足题意；
当，即时，若，则，单调递减，
若，则，单调递增，此时，
由，可得，所以，
因为，所以不等式不成立；
当，即时，在上恒成立，单调递减，
所以，可得，满足题意．
综上，实数的取值范围为．
【解析】求得，设，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；
根据题意转化为存在，使得，构造函数，求得，分、和，结合函数的单调性和极值、最值，即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，恒成立问题的求解，化归转化思想，属难题．
39.【答案】解：在数列中，，，
则当时，，
又满足上式，
即；
已知，
则，
则，
即数列的前项和．
【解析】由已知可得当时，，然后判断满足上式即可；
由已知可得，然后累加求和即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和，属基础题．
40.【答案】解：在上单调递减，
恒成立，
，
又当时，当且仅当时取等号，
，
即实数的取值范围为；
若，则，
．
设过点与曲线相切的直线与的切点坐标为，
则，即，
整理得，
令，
则，
令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
与轴有两个交点，
过点向曲线可作条切线．
【解析】依题意，得恒成立当时，，从而可得答案；
设过点与曲线 相切的切线的切点坐标为，利用导数的几何意义写出过点的切线方程，整理可得，令，求导分析，可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
41.【答案】证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，所以，，
所以，
所以，即；
解：因为，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，令，解得，
因为，
所以到平面的距离，
由题意可知，解得．
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应的点的坐标，再利用即可证得；
先求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可．
本题主要考查了利用空间向量证明两直线垂直，以及求点到平面的距离，属于中档题．
42.【答案】解：已知等比数列满足，是，的等差中项，
则，
设数列的公比为，
即，
即，
则；
由可得，
则，
设为数列的前项和，为数列的前项和，
则，
则，
两式相减可得，
即，
即，
又，
即数列的前项和．
【解析】设数列的公比为，由已知可得，然后求解即可；
由可得，则，设为数列的前项和，为数列的前项和，然后求出、即可得解．
本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
43.【答案】解：双曲线：的实轴长为，，．
双曲线的蒙日圆方程为，，
．
的标准方程为．
证明：设，
当直线的斜率存在时，设：，
则消去得，
则，即，
且，
，
，
化简得，
或，且均满足．
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线：，
联立方程组得舍去或，此时直线过定点．
，点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径．
故存在定点，使为定值．
【解析】由已知可得，易求，从而可求双曲线的标准方程；
设，联立方程组可得，利用，可得或，可得结论．
本题考查求双曲线的方程，考查运算求解能力，考查方程思想，属中档题．
44.【答案】解：，
令，解得，
在上，单调递减；在上，单调递增；
在上的极小值为，无极大值；
构造，
则，，，
令，则，
令，则，
在上，即单调递增；在上，即单调递减；
所以在处取极大值，
，即时，，则即单调递减，
又，所以在上，单调递增；在上，单调递减；
的极大值为，所以，符合题意；
，即时，此时，
所以存在，使在区间上，，即单调递增，
又，则在区间上，，
所以在上，单调递减，，不满足条件；
综上所述，的最小值为．
【解析】对函数求导，判断出单调性，可得函数的极值；
将不等式化简，构造函数，求导并对参数分类讨论，判断出单调性和极值，求得的最小值．
本题考查导数的应用，考查导数解决函数的极值，以及导数解决恒成立问题，考查学生思维能力和计算能力，属于中档题．
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